几何的极值问题

1、几何中的最值问题（讲义）几何中的最值问题（讲义）一、知识点睛一、知识点睛几何中最值问题包括几何中最值问题包括： “面积最值面积最值”及及“线段（和、差）最值线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短” 、 “两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：一般处理方法：常用定理：常用定理：两点之间，线段最短（两个定点）垂线段最短（一个定点、一条定直线）三角形三边关系（两边长固定或其和、差固定）线段和差、周长最值几何变换、等线段转移构建三角形线段最值1折转直；集中线段长；目标线段转

2、化为相关线段.转化PA+PB 最小，需要点在异侧|PA-PB|最大，需要点在同侧1.如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm第 1 题图第 2 题图2.如图，正方形 ABCD 的边长是 4，DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P，Q 分别是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为.3.如图，在锐角ABC 中，4 2AB ，BAC=45，BAC 的平分线交 BC于点 D，点 M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点

3、，则 BM+MN 的最小值为_第 3 题图第 4 题图4.如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点 P、Q、K 分别为线段 BC、CD、BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为.5.如图，当四边形 PABN 的周长最小时，a=第 5 题图第 6 题图6.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上任意一点（可与点 B 或点C 重合） ，分别过点 B、C、D 作射线 AP 的垂线，垂足分别是 B、C、D，则 BB+CC+DD的最大值为，最小值为7.如图，两点 A、B 在直线 MN 外的同侧，A 到 MN 的距离 AC=8，B 到 MN 的距离 BD=5，CD=4

4、，P 在直线 MN 上运动，则PAPB的最大值等于第 7 题图第 8 题图8.点 A、B 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若 P 是 x 轴上使得PAPB的值最大的点，Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点，则OP OQ9.如图，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点，PEAB于 E，PFAC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为_第 9 题图第 10 题图10. 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和PB 为边作等边APC 和等边BPD，则 CD 长

5、度的最小值为11. 如图，点 P 在第一象限，ABP 是边长为 2 的等边三角形，当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时，点 B 随之在 y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点 P 到原点的最大距离是_.第 11 题图第 12 题图12. 动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3,AD=5如图所示，折叠纸片，使点A 落在 BC 边上的 A处，折痕为 PQ，当点 A在 BC 边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动若限定点 P、Q 分别在 AB、AD 边上移动，则点 A在 BC边上可移动的最大距离为13. 如图，直角梯形纸片 ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，点 E、F 分别在线段

6、AB、AD 上，将AEF 沿 EF 翻折，点 A 的落点记为 P（1）当 P 落在线段 CD 上时，PD 的取值范围为；（2）当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时，PD 的最小值等于多少？14. 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点， 将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM.（1）当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；（2） 当M 点在何处时， AMBMCM的值最小，并说明理由.15. 如图，已知平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为A（2，-3） ，B（4，-1）.（1）若 P（p，0）是 x 轴上的一个动点，则当 p_时，PAB 的周长最短；（2）若 C（a，0） ，D（a+3，0）是 x 轴上的两个动点，则当 a_时，四边形 ABDC 的周长最短；（3）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点 M（m，0） ，N（0，n） ，使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，请写出 m 和 n 的值；若不存在，请说明理由.1. 1522 2344357462，27583912510511.3+112213(1)84 3