因式分解法解一元二次方程典型例题

1、实用标准文案典型例题一例 用因式分解法解下列方程：(1) y2+ 7y+6=0;(2) t(2t 1)=3(2t 1) ; (3)(2 x1)( x1) = 1.解：(1)方程可变形为(y+1)(y+6)=0y+1=0或 y+6 = 0 y1 1, y2= 6(2)方程可变形为 t(2t 1)3(2t 1)=0 (2t1)( t3) = 0, 2t1 = 0 或 t3 = 0 3=1, 12= 3.2(3)方程可变形为2x2 3x=0x(2x 3) = 0, x = 0或 2x3=0- 一一 3 . x= 0, x2 =一2说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般

2、式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就 是原方程的两个解了.(2)应用因式分解法解形如(xa)(xb)=c的方程，其左边是两个一次因 式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(xe)( xf) =0的形式，这时才有 x1=e, x2 = f,否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x1= 1 或 x1 = 1.x= 1, x2 = 2.(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t1),请同学们思考典型例题二例用因式分解法解下列方程6x2 3 3x = 2 2x 6解：

3、把方程左边因式分解为：(2x . 3)(3x - 一 2) = 02x +氏=0 或 3x-行=0说明：对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式, 均可用因式分解法求出方程的解。典型例题三例用因式分解法解下列方程。22y =v 15解：移项得：2V2 y 15=0把方程左边因式分解得：(2y 5)(y 3) =02y+5=0或 y 3=0y1 =, y2 = 3.2说明：在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解 就是

4、原方程的两个解了。典型例题四例用因式分解法解下列方程(1) 6x2-13x+2=0；(2) 3(2x+1)2-9(V3x-2)2 =0 ；分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项 式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式 的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如(2) 符合平方差公式的结构特征.解：(1)原方程可变形为(6x -1)(x -2) =0,6x -1 = 0 或 x-2=0,1 9x1 = - , x2 = 2 .6(2)原方程可化为(2岛十，3)2 -(33x -6)2 = 0,即(2V3x+V3

5、+3V3x-6)(23x + & -3、，3x +6) =0 ,(53x+V3-6)(3+6-J3x)=0, 5d3x + V3-6=0 或出+6-岛=0 ,X2=12.3.2 .3 -1 X1 二5说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解， 起到了降次的作用.这种化未 知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法.典型例题五例 用因式分解法解方程：(1) x2 5x36=0;(2) 2(2x-3)2 3(2x-3)=0；(3) x2 -(2-2/10 ,2即1 1 x1 = 一、10 , x2 = -J10.2 2(2)展开，整理，得2-4x x =

6、 0.方程可变形为x(4x 1)=0x = 0 或 4x +1 =0 ,八1一x1 = 0, x2 = _ .4(3)展开，整理，得4x2 -16x + 15 = 0 ,方程可变形为(2x -3)(2x-5) =02x3=0 或 2x5 = 035x1 = , x2 = 一 .22(4) va=1,b = M73,c=10,b2 -4ac=(-4V3)2 -4m1m10 = 8a0,一(一 “ 二， 3说明：当一元二次方程本身特征不明显时，需先将方程化为一般形式2ax+bx+c =0(a =0),右b=0, a、c异方时，可用直接开平方法求解，如(1)题.若a#0, b=0,c=0时，可用因式

7、分解法求解，如(2)题.若a、b、c 均不为零，有的可用因式分解法求解，如(3)题；有的可用公式法求解，如(4) 题.配方法做为一种重要的数学方法也应掌握，如(5)题.而有些一元二次方程有较明显特征时，不一定都要化成一般形式，如方程(x +3)2 -4=0可用直接开平方法或因式分解法求解.又如方程(x -2)(4x+1) +(x-1)(x-2)也不必展开整理成一般形式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得(x-2)(4x+1)-(x-1)=0 ,用因式分解法求解，得 2 .X =2,x2 = -，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边都除以(x-2),这 3)一 3J 3一2 2=2、3 .

8、22 12x1 =2.32 , x2 =2 . 3-2(5)移项，得- 2_3x 7x = 4 ,方程各项都除以配方，得3,得2 74x _ x =.33x2 -7x (-7)236-3 (-6)2(x-7)2136解这个方程，得x.Z 二66会丢掉一个根x=2.也就是方程两边不能除以含有未知数的整式.典型例题七例 解关于 x 的方程 20m2x2+11mnx -3n2 = 0 (m#0)解法一：原方程可变形为(5mx - n)(4mx 3n) = 05mx 一 n = 0 或 4mx + 3n = 0: m#0,n3nx1 = , x2 = .5m4m解 法 二： = a=20m2, b=1

9、1mn ,c = 3n22222b2 -4ac =(11mn)2 -4 20m2 (-3n2)-11mn 19mn40m2= 361m2n2 之0 ,- 11mn _ 36m2n2x 二22 20m2n3n x1二,x2二一 .5m4m说明 解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给出的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.对于字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法，本题的解法一显然比解法二要简单.典型例题八例 已知m2=1,试解关于x的方程mx(x2)+2 = (x+1)(x 1).分析 由m -2 =1 ,容易得

10、到m = 3或m =1 .整理关干x的方程，得(m-1)x2-2mx + 3 = 0.题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此对二次项系数要进行讨论，当m-1=0时，方程是一元一次方程；当m-1#0时，方程是 一兀二次方程。解：由m-2 =1 ,得mb =3,m2 =1.整理 mx(x 2)+2 =(x+1)(x1),得(m -1)x2 -2mx 3=0.当m=3时，原方程为2x26x+3 = 0, 解得3 .33 - . 3x1, x2 ：22当m=1时，原方程为2x+3 = 0,解得3x =.2当m =3时,3 .33-3x1 =, x2 =22填空题1 .方程(x-2)2 =(x-2)

11、的根是2 .方程(x+3)(x+1) =6x+4 的解是23 .万程(2y+1) +3(2y + 1)+2=0的解是答案：1.x1= 2x2=32. x1 =1 + V2,x2= 1 - J23.y1= -1,y2 = _ .2解答题1 .用因式分解法解下列方程：(1) (x+2)2=2x+4；(2) 4(x-3)2 -x(x-3) = 0;(3) 10x2 11x6=0;(4) 9(x 2)2=4(x + 1)2。22(5) x +x =0 ; (6) x -2x-35=0;22(7) x 7x+10=0; (8) x +9x+18 = 0; 10x2 -11x-6=0; (10) 6x2+

12、11x-7=0.2.用因式分解法解下列方程：(1) (x3)(x+1)=5； (2) 14(x4)2+9(x4)65=0；1 21、(3) 3(1 -x)2 -5(x-1) -2 = 0 0223.用因式分解法解下列关于x的一元二次方程：(1) x2+x-k2x=0; (2) x2-2mx+m2 -n2 = 0 ;222 2(3) x +3mx-54m =0； (4) 15mx -17mx-18 = 0 (m =0);22. 2(5) abx -(a b )x ab =0 (ab =0)4.用适当的方法解下列方程：(1) 4x2-49 = 0； (2) 4x2-9x = 0;22(3) x -

13、x=2； (4) x -2x=624;(5) x2-x-1=0; (6) x2-2j5x+2=0.5.已知三角形的两边分别是1和2,第三边的数值是方程2x2-5x+3 = 0的根,求这个三角形的周长 答案：精彩文档1. (1) x1 = 2, x2=0;(2)X = 3, x2 = 4 ；(3) x =一，x2 = 一一 ；25(4)x1 二 8,x2(5)为=0,x2 = -1 (6) x1 = -5 ,x2 = 7 (7) x1 = 2 , x2 = 5 (8) x1 = -3,x2 - -6一 32x2(9) x = , x2 = - (10) x1252. (D X =2, x2 =4;(2) X =2，x2 =(3)3. (1) x1 =0, x2 =k2 -1 (2)x1 = m + n ,