空间直角坐标系向量的坐标表示和空间向量基本定理

1、课时提升作业(四十八)一、选择题1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()(A)y轴上(B)xOy平面上(C)xOz平面上(D)yOz平面上2.已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影,则|OB|等于()(A)(9,0,16)(B)25(C)5(D)133.以棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为()(A)(0,)(B)(,0,)(C)(,0)(D)(,)4.点M(x,y,z)在坐标平面xOy内的射影为M1,M1在坐标平面yOz内的射影为M2,M2在坐标平面

2、xOz内的射影为M3,则M3的坐标为()(A)(-x,-y,-z)(B)(x,y,z)(C)(0,0,0)(D)(,)5.已知向量a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),且ka-b与a-3b互相垂直,则k的值是()(A)1(B)(C)(D)-6.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=(3,)平行,则=()(A)(B)(C)-(D)-7.正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为()(A)8(B)27(C)64(D)1288.有以下命题:如果向量a,b与任何向量不能构成空间的一个基底,那么a,b的关系是不共线;O,A,B,C为空间四点,且向量,

3、不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面;已知a,b,c是空间的一个基底,则a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是()(A)(B)(C)(D)9.(2013·济宁模拟)设OABC是四面体,G1是ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()(A)(,)(B)(,)(C)(,)(D)(,)二、填空题10.(能力挑战题)正方体ABCD -ABCD的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时,·的取值范围是.11.给定空间直角坐标系

4、,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为,则该点的坐标为.12.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三个向量共面,则实数=.13.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则|的值是.14.如图,直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90°,D为BB1的中点, 则异面直线C1D与A1C的夹角的余弦值为.三、解答题15.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(,0),点D在平面yOz上,且BDC=90°,DCB=30&#

5、176;.(1)求向量的坐标.(2)设向量和的夹角为,求cos的值.答案解析1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.2.【解析】选C.由题意得点B的坐标为(3,0,-4),故|OB|=5.3.【解析】选B.由题意知所求点即为AB1的中点,由于A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为(,0,).4.【解析】选C.依题意得,M1的坐标为(x,y,0),M2的坐标为(0,y,0),M3的坐标为(0,0,0).【变式备选】在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M,则点M关于原点对称的点的坐标为()(A)(-2,0,-3)(B)(-3,0,

6、-2)(C)(2,0,3)(D)(-2,0,3)【解析】选C.由题意得,点M的坐标为(-2,0,-3),故点M关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧(1)关于哪个轴对称,对应轴上的坐标不变,另两个坐标变为原来的相反数.(2)关于坐标平面对称,另一轴上的坐标变为原来的相反数,其余不变.(3)关于原点对称,三个坐标都变为原来的相反数.(4)空间求对称点的坐标的方法,可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆.5.【解析】选D.ka-b=(k+1,-k-2,k-1),a-3b=(4,-7,-2),(ka-b)(a-3b),4(k+1)-7(-k-2)-2

7、(k-1)=0,k=-.6.【解析】选C.由ab得,=,解得=-.7.【解析】选C.设正方体的棱长为a,根据条件则有a=,解得a=4,所以体积为43=64.8.【解析】选C.对于,“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系一定是共线”,所以错误.正确.9.【解析】选A.=+=+×(+)=+(-)+(-)=(+),由OG=3GG1知,=(+),(x,y,z)=(,).10.【解析】因为MN是它的内切球的一条弦,所以当弦MN经过球心时,弦MN的长度最大,此时MN=2,以A为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性,不妨设M,N分别是上下底面的中心,则两点的

8、空间坐标为M(1,1,2),N(1,1,0),设P点坐标为P(x,y,z),则=(1-x,1-y,2-z),=(1-x,1-y,-z),所以·=(1-x)2+(1-y)2-z(2-z),即·=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1.因为点P为正方体表面上的动点,所以根据x,y,z的对称性可知,·的取值范围与点P在哪个面上无关,不妨设点P在底面ABCD内,此时有0x2,0y2,z=0,所以此时·=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1=(x-1)2+(y-1)2,所以当x=y=1时,·=0,此时·最小,但当P位于正方形的四个

9、顶点时,·最大,此时有·=(x-1)2+(y-1)2=2,所以·的最大值为2,所以0·2,即·的取值范围是0,2.答案:0,211.【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,|P0P|=,即=,(x-4)2=25.解得x=9或x=-1.点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).答案:(9,0,0)或(-1,0,0)【变式备选】在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为.【解析】设点C的坐标为(0,0,z),由条件得|AC|=|BC|,即=,解得z=.答案:(0,0,)12.【解析】由题意设c=ta+b=(2

10、t-,-t+4,3t-2),答案:13.【解析】设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),由=2知x=-,y=,z=3,故P(-,3).由两点间距离公式可得|=.答案:14.【解析】以A为原点建立空间直角坐标系,如图,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,1,2).则=(1,-1,-1),=(0,1,-2),|=,|=,·=1,cos<,>=,故异面直线C1D与A1C的夹角的余弦值为.答案:15.【解析】(1)如图所示,过D作DEBC,垂足为E,在RtBDC中,由BDC=90°,DCB=30°,B