第三章矢量分析和场论2011-03-15

1、l矢量分析l电源和电场矢量和标量矢量代数标量场的梯度矢量场的散度拉普拉斯算子矢量恒等式矢量和标量矢量和标量1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：|AA a所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。| A a2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、电场 等FEv如：温度 T、长度 L 等例：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？6xa图示法： 6xaGNFfFxy力的图示法： FNfFFF矢量代数1.加法加法: : 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四

2、边形规则。a.满足交换律：ABBAb.满足结合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBDzoyx三个方向的单位矢量用 表示。,xyzaaa根据矢量加法运算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐标系下的矢量表示:AxAyAzA其中：矢量：xxyyzzAA aA aA a模的计算：222|xyzAAAA单位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角与方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐标系中三个矢量加法运算： ()()()xxxxyyyyzzzzABC

3、ABC aABC aABCazoyxAxAyAzA2.减法：换成加法运算()DABAB ABCBAB逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐标系中两矢量的减法运算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。3.3.乘法：乘法：（1）标量与矢量的乘积：0|00kkAk A akk方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a. 标量积（点积）：| |cosA BABBA两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量

4、。在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有两矢量点积：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。A BB A()ABCA BA C推论1：不服从交换律：,A BB AA BB A 推论2：服从分配律：()AB CA BA C推论3：不服从结合律：()()AB CA BC推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（

5、叉积）：| |sincABABa含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。BAca在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBB() ()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a两矢量的叉积又可表示为：xyzo（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：()A B C矢量，标量与矢量相乘。()ABC标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a. 标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,

6、后算点积。定义：|sincosA BCA B C()ABC含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。ABChB C 注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCCCb.矢量三重积：()()()ABCB A CC A B ()()()VAB CCABBCAABChB C例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：4123rarbrcr中的标量 a、b、c。解：325(2)(3

7、2)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )xyzabc aabc aabc a 则：设213abc 22332235abcabcabc例3： 已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于 、 所在平面。ABnABaAB 263151030431xyzxyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15( 10)3035AB 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ，求：通过A点和B点的直线方程。例4： ab()cak ba其中：k 为任意实数。(1)ck ak

8、bxyzCcABab解：在通过A点和B点的直线方程上， 任取一点C，对于原点的位置 矢量为 ，则c标量场的梯度标量场的梯度1. 标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。以温度场为例：热源等温面b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：dgraddnan2. 标量场的梯度a.方向导数：ddl空间变化率，称为方向导数。ddn为最大的方向导数。标量场的场函数为),(tzyx00dP1P2Pdndl计算：dcosdndraddglddddddnlnlddnlaan在直角坐标系中：ddddxyzxyzdddd

9、xyzlxayaza所以：gradxyzaaaxyz梯度也可表示：grad 00dP1P2Pdndl在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：rzaaarrzsinRaaaRRR 123112233uuuaaah uh uh u在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：xyzaaaxyz矢量场的散度矢量场的散度1. 1. 矢线（场线）：矢线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。2. 2. 通量：通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：dSvS若曲面为闭合曲面：dSvS+- -讨论：

10、讨论：a. 如果闭合曲面上的总通量0 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b. 如果闭合曲面上的总通量0 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c. 如果闭合曲面上的总通量0说明穿入的通量等于穿出的通量。3. 3. 散度：散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。 b.表达式：0ddivlimSVFSFV c.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场 表示为：FxxyyzzFF aF aF a1Szyx6S5S4S3S2S123123ddddSSSSFS

11、FSFSFS456456dddSSSFSFSFS111d()()xxxSFSF x ay za zyxFx)(1222d()xxxSFSF x ay za 在 x方向上：计算穿过 和 面的通量为2S1S1()xF xxy z 11( )()()xxxF xF xxF xxx 因为：221( )d()xxSF xFSF xy zx y zx 则：在 x 方向上的总通量：1212ddxSSFFSFSx y zx 在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：5S6S5656ddZSSFFSFSx y zz 整个封闭曲面的总通量：dyxzSFFFFSx y zxyz 3434ddySSFFSFSx y zy

12、 同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：3S4S该闭合曲面所包围的体积：zyxV0ddivlimSVFSFV zFyFxFzyx通常散度表示为：divFF4.4.散度定理：散度定理：ddSVFSF V物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。柱坐标系中：1 ()1rzFF rFFrrrz球坐标系中：22(sin )()111sinsinRFFR FFRRRR132231 21 31 23123()()1uuuF h hF hhF hhFhh huuu正交曲线坐标系中：直角坐标系中：yxzFFFFxyz常用坐标系中，散度的计算公式在圆柱坐标系中： 2222221)(1zrrrrr

13、在球坐标系中： 22222222111()(sin)sinsinRRRRRR在广义正交曲线坐标系中： 2231 31 21 231112223331()()()h hhhhhhh huhuuhuuhu 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 2() 在直角坐标系中：2222222zyx重要的场论公式重要的场论公式(1)()0 1. 1. 两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。 (2)()0F 任何矢量场的旋度的散度恒为零。 )()AAA AAA)() ()()()()A BABBA ABBA ()A BBA AB ()()()A BAB BABAAB 常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 基本关

14、系单极场偶极场在生物电学中探讨有关电源及其产生的电位和电流场间的基本数学关系，是极有意义的。在讨论处于导电介质中的电源时首先要考虑这些关系。一般我们已熟悉在低频电路中采用无损耗的导线把离散的(集中参数)元件连接起来。不过，在实际的生物体中是充满着电位和电流连续体，而电位和电流是位置的连续函数。两点之间的标量电位差可以用一个理想的电压表测定。场强E可以由标量电位的负梯度求得按欧姆定律，电流密度J与场强E 之间的关系J = E式中为电流流过导电介质的电导率。这里假设为一标量，则由该式表明J 与E 同一方向。-E=设电源密度为Iv(x，y，z)散度作为由每单位体积流出量的一种度量等价于电源密度。一个

15、任意的区域，有这几种可能：其一是根本没有电一个任意的区域，有这几种可能：其一是根本没有电流，这时方程的两边均为零；其二是有电流流动，但流，这时方程的两边均为零；其二是有电流流动，但是在该区域的流出量与流入量相等，使得方程两边仍是在该区域的流出量与流入量相等，使得方程两边仍为零；第三种情况是某些电流起源于该区域内并有净为零；第三种情况是某些电流起源于该区域内并有净流出量，这时方程的两边均为正值；第四种情况是有流出量，这时方程的两边均为正值；第四种情况是有净电流流入该区域，则式两边为负值。在实际研究生净电流流入该区域，则式两边为负值。在实际研究生物标本时，后两者是经常遇到的情况。这是由于人们物标本

16、时，后两者是经常遇到的情况。这是由于人们把细胞内电流把细胞内电流( (细胞之中的电流细胞之中的电流) )和细胞外电流分开研和细胞外电流分开研究，因此当电流穿过细胞膜时，看上去似乎电流出现究，因此当电流穿过细胞膜时，看上去似乎电流出现或消失了。或消失了。vIJ =导出直接将电位与产生它的电流源和阱间联系起来的表达式。对于一个电导率均匀，但包含源密度Iv的区域，得出对于的泊松方程：-IJ2v=v2I- =泊松方程的一个重要特殊情况是各处源密度均为零。对这种无源的均一导电区域，电流守恒要求泊松方程中电位的解0=vIJ=rdVIv4100=-IJ22v式中r为源或阱Iv，到观察位点的距离拉普拉斯方程单

17、极是单个极，在电流场的意义下，也就是导电介质中的单一电流源或阱。在生物电学中只涉及单极的问题十分罕见，因为所有的生物电源至少包括了源和阱组合。尽管如此，但由于单极是较复杂又较实际的构型的组成基元，故研究单极的电位与电流场间的关系还是相当重要的。况且对于人造源，在有限区域内可得到真正的单极场。设想某点流源(单极)置于电导率为且无限大的均一导电介质中。设其位置如图所示为(x，y，z)，由于均一性，电流取径向，穿过任意半径球面的总电流必定为I0；因此电流密度J就等于I0除以半径为r的球面积，即rIrI-drdarI-arIJmrr44440202020=“偶极”是由相互靠得很紧的电流源和阱组合成的。很多生物电源的最简单表达形式就是偶极子。例如电流可从细胞膜的某一点流出，而在靠近的另一点流回。因此我们将从两方面对偶极子的电性质进行研究，即既作为技术上的例子说明单极基元是怎