教学目的本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的

1、第一节 函 数教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、分段函数、复合函数、初等函数的概念。教学重点：分段函数、复合函数；教学过程：一、 集合、常量与变量(一) 集合1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aM（读a不属于M）；集合有时也简称为集。注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.（2）对于一个给定的

2、集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现.（3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集2. 集合的表示法表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号 括起来，这种方法称为列举法.例 方程x2+2x-3=0根的集合A，可表示为 A=-3,1.描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，把满足P(a)的所有元素a构成的集合A表示为 A= a| P(a) ,这种方法称为描述法.例 由不等式x-3>2的解构成的集合A可表示为 A=x|x>

3、5.例 由抛物线y=x2+3上的点(x,y)构成的集合为B，可表示为 图1-1 B=(x,y)|y=x2+3. 3.全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q,全体实数的集合记为R。以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 4.集合间的基本关系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就称A为B的子集，记为,或(读B包含A)。 显然：. 若,同时,就称A、B相等,记为A=B。 5.不含任何元素的集称为空集,记为,如：=,=,空集是任何集合的子集,即。(二) 区间与邻域 1. 区间 设a和b都是实数，且a<b, 数集 x | a<x<b 称为开区间

4、，记作(a,b)，即 (a , b)=x | a<x<b. a和b称为开区间( a , b ) 的端点，这里a( a ,b ) ， b( a ,b ). 数集 x |a 称为闭区间，记作a,b，即 a, b = x| a .a和b称为闭区间 a ,b 的端点，这里a a , b ， b a , b . 类似地可以说明： a,b )= x | ax<b ,( a ,b =x |a<xb , a,b )和( a ,b都称为半开区间. 以上这些区间都称为有限区间.数b-a称为这些区间的长度.从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.闭区间a,b与开区间（a,b）在数轴上表示

5、出来，分别如图1-7（a）与(b).此外还有无限区间，引进记号+（读作正无穷大）及-（读作负无穷大），则可类似地表示下面的无限区间: a，+)= x | ax， (- ,b )= x | x<b， 这两个无限区间在数轴上如图1-7(c ).(d)所示. 图1-7 全体实数的集合也可记作（-，+），它也是无限区间.2.邻域. 设是任一正数，a为某一实数，把数集 x| |x-a | <称为点a的邻域，记作U（a, ），即 U(a, )= x| |x-a | <点a称为这邻域的中心，称为这邻域的半径.（图1-8）由于a-<x<a+相当于| x-a |<，因此U(a

6、, ）= x| a-<x<a+,也就是开区间( a-,a+) 图1-8因为| x-a |表示点x与点a间的距离，所以U(a, ）表示：与点a距离小于的一切点x的全体.例如: | x-2 |<1,即为以点a=2为中心，以1为半径的邻域，也就是开区间(1,3)有时用到的邻域需要把邻域中心去掉.点a的邻域去掉中心a后，称为点a的去心的邻域，记作U(, ），即U(, ）= x | 0<|x-a |<.这里0<|x-a|就表示xa.例如: 0<| x-2 |<1,即为以点a=2为中心,半径为1的去心邻域(1,2)(2,3). (三)常量与变量 在自然科学中

7、，我们会遇到各种不同的量，然而在观察这些量时，发现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量；又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量。注1：常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量，如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。 2：常量一般用a,b,c等字母表示，变量用x,y,u,t等字母表示，常量a为一定值，在数轴上可用定点表示，变

8、量x代表该量可能取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：表示可代表中的任一个数。二、 函数的概念定义：设和为两个变量，为一个给定的数集，如果对每一个，按照一定的法则变量总有确定的数值与之对应，就称为的函数，记为.数集称为该函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。 当取数值时，依法则的对应值称为函数在时的函数值。所有函数值组成的集合称为函数的值域。关于函数定义的几点说明：（1）我们这里所讲的函数是指单值函数，也就是说，对于每一个x值只能对应变量y的一个值.（2）符号“f”的意义符号“f”表示自变量x与函数y的某种对应关系.例如y=f(x)=5x2+3x-1，它的对应关系”f”是自变量的平方乘以5加上

9、自变量的3倍减去1，我们不妨简化为y=f( )=5( )2+3( )-1。如x=3时，对应的函数值是 f(3)=532+33-1.同样当x=a时，对应的函数值是 f(a)=5a2+3a-1.表示函数对应法则的符号也常常用“g”、“F”等表示，这时函数就记作y=g(x)、y=F(x)等.（3）确定函数的两个要素定义域和对应法则 函数概念反映着自变量和因变量之间的依赖关系.它涉及到定义域、对应法则和值域.很明显，只要定义域和对应法则确定了，值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则是确定函数的两个要素，只要两个函数的定义域和对应法则都相同，那么，这两个函数就相同；如果定义域或对应法则有一个不相同，那

10、么这两个函数就不相同.例如：函数 f(x)=与g(x)=1，因为f(x)的定义域为（-，0）(0,+），而g(x)的定义域为（-，+），所以f(x)与g(x)是不同的函数.（4）函数定义域的求法 对于由实际问题得到的函数，其定义域应该由问题的具体条件来确定.如例1函数S=r2中，自变量r是圆的半径，故此函数的定义域就是 (0,+）.例2中，自变量Q表示销售的台数，故此函数的定义域是全体自然数.若函数由公式给出时，不考虑函数的实际意义，这时函数的定义域就是使式子有意义的自变量的一切实数值.例 1 求函数f(x)=的定义域 .解 应使 即 所以此函数的定义域为2, +）.例2 求函数f(x)=ar

11、csin + 的定义域解 应使 即 也就是 -4x <5所以此函数的定义域为D=-4,5）.注 1：函数通常还可用等表示。 2：约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。例3 的定义域为，值域为。例4 的定义域为，的定义域为，从而显然。 3、若对每一个，只有唯一的一个与之对应，就称函数为单值函数；若有不止一个与之对应，就称为多值函数。如：等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。 4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量在上取值，其函数值为；当取0时，；当在上取值

12、时，其函数值为。（这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！）尽管有几个不同的算式，但它们合起来只表示一个函数！ 5、对中任一固定的，依照法则有一个数与之对应，以为横坐标，为纵坐标在坐标平面上就确定了一个点。当取遍中的每一数时，便得到一个点集，我们称之为函数的图形。换言之，当在中变动时，点的轨迹就是的图形。【例5】 例3的图形如下图 三、 函数的几种特性1 函数的有界性：设在上有定义，若对，使得：，就称在上有界，否则称为无界。注：1、若对，使得，就称在上有上(下)界。在上有界在上同时有上界和下界。2、在上无界也可这样说：对，总，使得。2、函数的单调性：设函数在区间上有定义，若对，当时总有

13、：（1），就称在上单调递增，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递增。（2），就称在上单调递减，特别当严格不等式成立时，就称在上严格单调递减。注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！1、 2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。2、 3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。例6 在上是严格单减函数。例7 例3中的函数在定义域上不是单调的，但在上是严格单减的，在上是严格单增的。3、函数的奇偶性：设函数的定义域为对称于原点的数集，即若，有，(1) 若对，有恒成立，就称为偶函数。(2) 若对，有恒成立，就称为奇函数。例8 ，,是偶函数，是奇函数。 ，是非奇非偶函数。例9 是奇函数

14、。注：1、偶函数的图形是关于轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。2、若是奇函数，且，则必有。3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。4、周期性：设函数的定义域为，如果，使得对，有，且恒成立，就称为周期函数，称为的周期。例10 分别为周期为的周期函数，为周期为1的函数。注1：若为的周期，由定义知也都是的周期，故周期函数有无穷多个周期，通常说的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（为什么？）例如：，设有最小正周期。 2：周期函数在一每个周期（为任意数，为任意常数）上，有相同的形状。四、 反函数 设的定义

15、域为，值域为，因此，对，必，使得，这样的可能不止一个，若将当作自变量，当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数，称之为函数的反函数，而叫做直接函数。注1：反函数的定义域为，值域为； 2：由上讨论知，即使为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究； 3：在习惯上往往用表示自变量，表示因变量，因此将中的与对换一下，的反函数就变成，事实上函数与是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若的反函数为，那么也是的反函数，且后者较常用； 4：反函数的图形与直接函数的图形是对称于（证明很简单，大家自己看书）； 例11 函数的反函数分别为

16、：或分别为。五、初等函数（一）幂函数形如（为常数）的函数叫做幂函数。其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：（1） 当为非负整数时，定义域为；（2） 当为负整数时，定义域为；（3） 当为其它有理数时，要视情况而定。例12 的定义域为； 的定义域为； 的定义域为。（4） 当为无理数时，规定其定义域为，其图形也很复杂，但不论取何值，图形总过（1，1）点，当>0时，还过（0，0）点。（二）指数函数与对数函数指数函数：形如的函数称为指数函数，其定义域为，其图形总在轴上方，且过（0，1）点，（1） 当时，是单调增加的；（2） 当时，是单调减少的；以后我们经常遇到这样一个指数函数的意义以后讲，其图形大

17、致如下图所示，特别地，与关于轴对称。2、对数函数：指数函数的反函数，记为为常数，,称为对数函数，其定义域为，由前面反函数的概念知：的图形和的图形是关于对称的，从此，不难得的图形，的图形总在轴右方，且过（1，0）点（1） 当时，单调递增，且在（0，1）为负，上为正；（2） 当1时，单调递减，且在（0，1）为正， 上为负；特别当取时，函数记为，称为自然对数函数。（三）三角函数与反三角函数三角函数三角函数主要是：正弦函数：余弦函数：正切函数：余切函数：正弦函数和余弦函数均为周期为的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为的周期函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还有两个

18、：正割和余割，其图形在此不做讨论了。反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：反正弦函数：反余弦函数：反正切函数：反余切函数：显然反三角函数都是多值函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：将限制在上，得一单值函数，记为，它就是所取主值函数，叫做主值区间，显然，同理：将限制在上，得将限制在上，得将限制在上，得从图中不难看出和是单调递增的，和是单调递减的。六 复合函数和初等函数设，定义域为，定义域为，值域为，且，这样对于，由可算出函数值，所以，由又可算出其函数值，因此对于，有确定的值与之对应，从而得一个以为自变量，为因变量的函数，我们称之为以为外函数，为内函数复合成的复合函数，记为，其中为中间变量。例13 就是和复合而成； 就是和复合而成。注1：并非任何两函数都可以复合的，例如：和不能复合； 和也不能复合。 2：复合可推广到三个或更多的函数上去，如：就是复合成的。3：在函数复合中，未必都有