微分方程与差分方程_图文

1、 华南农业大学数学建模培训 其中 vm (k = 1 n (cos 2kmp 2kmp + sin n n 为讨论方便起见，引入如下记号： l( n = 0, v ( n = 1 n (1,1,.,1 / 1 n l( 0 = l( n , v ( 0 = 则有：n 为偶数时： (1,1,. 1 / , 0 = l( 0 = l( n < . < l( k = l( n - k < . < l n 为奇数时： n ( -1 2 =l n ( +1 2 < . < l n ( 2 =l n ( n- 2 = 4, 0 = l( 0 = l( n < .

2、< l( k = l( n -k < . < l 记： V k 为由 v (k ( n -1 2 =l ( n +1 2 <4 , v ( n - k 张成的子空间，则： u (0 = å < v ( k , u (0 > v ( k k =0 n -1 u (t = An u (0 = å < v ( k , u (0 > An v ( k k =0 t n -1 t = å (1 - l ( k g t < v ( k , u (0 > v ( k k =o n -1 = å å

3、(1 - l ( k g t < w , u (0 > w k = 0 wÎVk n 2 由此式进一步分析可以获得：当 t ® ¥ 时， u n 六、 金融问题的差分方程模型 （一）贷款问题 (t 的渐进变化状态规律(略. 设现有一笔 p 万元的商业贷款，如果贷款期是 n 年，年利率是 r1 ，今采用月还款 的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？ 模型分析： 在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化 规律是解决问题的关键. 模型假设： 31 华南农业大学数学建模培训 设贷款后第 k 个月后的欠款数是 A

4、k 元，月还款为 m 元，月贷款利息为 r = 模型建立： 关于离散变量 Ak ，考虑差分关系有： r1 . 12 Ak + rAk = Ak +1 + m ， 即： Ak +1 = (1 + r Ak - m （3.15） 这里已知有： A0 = 100000 , A24 = 0 模型求解： 令 Bk = Ak - Ak -1 ，则 Bk = Bk -1 (1 + r = B1 (1 + r k -1 Ak = A0 + B1 + B2 + . + Bk = A0 + B1 1 + (1 + r + . + (1 + r k -1 = A0 (1 + r k - m (1 + r k - 1

5、, k = 0,1,2,. r 这就是差分方程（3.15）的解.把已知数据 A0 , r 代入 A12 n = 0 中，可以求出月还款额 m . 例如： A0 = 10000 , r = 0.0052125 , n = 2 时，可以求出： m = 444.356 元. 模型的进一步拓广分析： 拓广分析包括条件的改变、 目标的改变、 某些特殊结果等.如果令 Ak = A ， 则A= 并且当 A0 = m ， r m m m 时，总有 Ak = ，即表明：每月只还上了利息.只有当 A0 < 时，欠款 r r r 余额逐步减少，并最终还上贷款. （二）养老保险模型 问题： 养老保险是保险中的一

6、种重要险种， 保险公司将提供不同的保险方案供以选择， 分析保 险品种的实际投资价值.也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实 际的利率是多少？也就是说， 保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现 你的保险收益？ 模型举例分析： 假设每月交费 200 元至 60 岁开始领取养老金，男子若 25 岁起投保，届时养老金每月 2282 元；如 35 岁起保，届时月养老金 1056 元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月 至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率. 模型假设： 32 华南农业大学数学建模培训 这应当是一个过程分析模型问题.过程的结果在条件一定时

7、是确定的.整个过程可以按 月进行划分，因为交费是按月进行的.假设投保人到第 k 月止所交保费及收益的累计总额为 Fk ，每月收益率为 r ，用 p、q 分别表示 60 岁之前和之后每月交费数和领取数，N 表示停 交保险费的月份，M 表示停领养老金的月份. 模型建立： 在整个过程中，离散变量 Fk 的变化规律满足： ìFk +1 = Fk (1 + r + p, k = 0,1,.,N - 1 ， í î Fk +1 = Fk (1 + r - q, k = N ,.,M 在这里 Fk 实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数值，我们 关心的是，在

8、第 M 个月时， FM 能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如 为负数，则表明保险公司出现亏损.当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收 益全归保险人，把它作为保险人的实际收益.从这个分析来看，引入变量 Fk ，很好地刻画了 整个过程中资金的变化关系，特别是引入收益率 r ，虽然它不是我们所求的保险人的收益 率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作 为整个过程中各种量变化的表现基础. 模型计算： 以 25 岁起保为例.假设男性平均寿命为 75 岁，则有 p = 20, q = 2282; N = 420, M = 600 ， 初始值为

9、 F0 = 0 ，我们可以得到： p (1 + r k - 1, k = 0,1,2,., N r q Fk = FN ( 1 + r k - N - (1 + r k - N - 1, k = N + 1,.,M r Fk = F0 (1 + r k + 在上面两式中，分别取 k = N , 和 k = M 并利用 FM = 0 可以求出： (1 + r M - (1 + q q (1 + r M - N + = 0 p p 利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的跟为： r = 0.00485 同样方法可以求出： 35 岁和 45 岁起保所获得的月利率分别为 r = 0.00461, r

10、 = 0.00413 33 华南农业大学数学建模培训 补充知识： é F0 F1 F2 êP 0 0 ê 0 ê 0 P1 0 矩阵 P= ê êL L L êL L L ê ê0 0 0 ë 称矩阵 P 为 Leslie 矩阵. L Fn -1 L L L L 0 0 0 L L Pn -1 Fn ù 0ú ú 0ú ú ，其中 Lú Lú ú 0û ú F j ³ 0, j = 0,

11、1,.,n; Pi > 0, i = 0, i,.,n - 1 基本概念：设矩阵的特征值为 l0 , l1 ,., l n ，将它们的模按从大到小的顺序排列（不妨设 为） ： l0 ³ l1 ³ . ³ ln ，则称 l 0 为矩阵的主特征值，如果 l0 > l1 ，则称 l 0 为严格主 特征值. Leslie 矩阵 P 的几个基本性质： （1） 特征多项式为： p n (l = ln +1 - F0 l - ( p 0 F1 ln -1 - ( P0 P1 F2 l N - 2 - . - ( P0 P1 . Pn -1 Fn 它有唯一一个正的单特征值 l 0 （重数为 1） ，且为主特征值. （2） 如果 l 为 L 矩阵 P 的一个非零特征值，则 a l = (1, P0 P0 P1 P P .P , 2 ,., 0 1 n n -1 T l l l 为与 l 对应的一个特征向量. （3） 若 L 矩阵第一行有两个相临元素非零，则它的唯一正特征根 l 0 为严格主特征 值. （4） 若 k1 , k