强度折减法在Hoek-Brown 准则中的应用

1、第卷第期中南大学学报自然科学版强度折减法在Hoek-Brown准则中的应用林杭,曹平,赵延林,李江腾(中南大学资源与安全工程学院,湖南长沙,410083摘要:为了在Hoek-Brown准则中实施强度折减法,并使其得到的结果与Mohr-Coulomb准则中强度折减法得到的结果等效,首先,通过理论推导确定H oek-Brown准则参数m,s,ci与粘结力c和内摩擦角之间的关系;然后,进一步得到在Hoek-Brown准则中实施强度折减法时,m,s和ci的折减系数以及它们之间的关系;最后,由FLAC3D软件建立计算模型,采用所确定的折减方法计算边坡的安全系数,并将该结果与Mohr-Coulomb准则得

2、到的结果进行对比,结果表明:参数m,s和ci的折减系数须满足一定关系,强度折减法在Hoek-Brown准则和Mohr-Coulomb准则中得到的安全系数的差别为3.54%,差别微小,从而验证了所确定的折减方法的可靠性。关键词:Hoek-Brown准则;Mohr-Coulomb准则;等效;强度折减法;FLAC3D软件中图分类号:TU353.6 文献标识码:A 文章编号:1672-7207(200706121906Application of strength reduction method in Hoek-Brown criterionLIN Hang, CAO Ping, ZHAO Yan-

3、lin, LI Jiang-teng(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, ChinaAbstract: In order to implement the strength reduction method in the Hoek-Brown criterion, and make the result obtained by Hoek-Brown criterion equivalent to that by Mohr-Coulomb criterion,

4、 some deductions and numerical calculations were done. Firstly, the relationships among Hoek-Brown parameters m, s, ci and cohesion c,internal friction angle were established by theory deduction. Secondly, the reduction factors of m, s, ci were obtained by further theory deduction and their relation

5、ships among these factors were found. At last the calculation models were obtained by FLAC3D software. In the calculation procedure for safety factor of slope, the proposed reduction method was adopted.The comparative analysis was done for the safety factors obtained by Hoek-Brown and Mohr-Coulomb c

6、riterion. The result shows that, three reduction factors for m, s and ci should satisfy certain relationship, the difference between the two safety factors is 3.54%, which is very small, which proves that the reduction method proposed is correct.Key words: Hoek-Brwon criterion; Mohr-Coulomb criterio

7、n; equivalence; strength reduction method; FLAC3D software近年来,随着计算机技术的发展,弹塑性数值技术日趋成熟和完善18,采用数值方法对边坡的稳定性进行评判成为可能,其中,强度折减法是一种重要的方法,其原理是逐渐折减边坡的强度参数,直到临界失稳状态,此时所对应的折减系数即为边坡的整体安全系数。目前,强度折减法主要针对Mohr-Coulomb 准则进行实施,即对抗剪强度参数粘结力c、内摩擦角进行折减,从而得到边坡的安全系数。但Mohr-收稿日期:20070310;修回日期:20070505基金项目:高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(

8、20060533071;中国博士后科研基金资助项目(20060400264;国家自然科学基金资助项目(50774093作者简介:林杭(1980 ,男,福建福州人,博士研究生,从事岩土工程数值计算的研究中南大学学报(自然科学版 第38卷1220Coulomb 准则对岩体强度的描述有一定局限性,如不能解释低应力区对于岩体的影响9,只能反映岩体的线性破坏特征等。Hoek-Brown 经验准则能够反映岩体的固有特点和非线性破坏特征,弥补了Mohr-Coulomb 准则的不足,符合边坡岩体的变形特征和破坏特 征1011。因此,必须将强度折减法和Hoek-Brown 准则相结合。在此,本文作者首先通过理论

9、推导确定m ,s ,ci 与c 和之间的关系;然后,进一步得到m ,s 和ci 的折减系数,以及它们之间的关系;最后,通过算例验证所确定的折减方法的正确性。1 FLAC 3D 中的Hoek-Brown 模型Hoek 等12认为,岩石破坏判据不仅要与实验结果相吻合,其数学表达式也应尽可能简单,并且岩石破坏判据除了适用于结构完整且各向同性的均质岩石外,还应当适用于碎裂岩体及各向异性的非均质岩体等。Hoek 和Brown 对大量岩石抛物线型破坏包络线的系统进行了研究,提出岩石的Hoek-Brown 破坏经验判据,其表达式为:2331ci ci s m +=。 (1式中:1为岩体破坏时的最大主应力;3

10、为作用在岩体上的最小主应力;ci 为完整岩石单轴抗压强度;m 和s 为经验参数,m 反映岩石的软硬程度,s 反映岩体的破碎程度。Hoek-Brown 准则将影响岩体强度特性的复杂因素,集中包含在该准则所引用的2个经验参数m 和s 以及力学参数ci 之中,概念简洁明确,便于工程应用。 1.1 弹性增量方程 在主应力空间中,虎克定律的增量表达式可写为:(321111ee e +=; (312212e e e +=;(212313e e e += 。 (2式中:3/41G K +=;3/21G K =;K 为体积模量;G 为剪切模量;表示i 方向的弹性应变增量;i =1, 2, 3,表示3个主应力方

11、向。e i 由弹性增量理论可得估算应力分量:i i Ii +=0(i =1, 2, 3 (3式中:为初始应力;为试算应力。i Ii 式(1表示一曲面,落在曲面内的应力点为弹性状态。塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和(认为材料的破坏与中间主应力2无关,因此,其不引起塑性应变:p e111+=; e22=;p e333+=p i (3322111011p p N +=(3311221022p p N +=(1212331033p p N +=N 1N2N 3p p I N 331111=p p I N 123133=p p 31=(21311+=p I N 1(2322+=

12、p IN (12333+=p I N 。 (4式中:表示i 方向的塑性应变增量。; 。(5联立式(2式(5得新的应力分量,和 为:;(31222p p IN +=;。 (6流动法则中的流动系数由下式确定:。 (7从而得:;。 (8对于位于屈服面上的应力点,满足屈服函数:0331=+=s m fciN ciN N 。 (9 1.2 流动法则流动法则规定了塑性应变增量的方向。为了描述材料屈服时候的体积变化,需选择一种合适的流动法则。流动系数与应力以及加载历史有关,因为典型第6期 林 杭,等:强度折减法在Hoek-Brown 准则中的应用 1221在无围压情况下,岩石屈服时表现出较大的体积膨胀并伴随

13、轴向劈裂效应。关联流动法则在理论上提供最大的体积应变率。单岩石处于单轴压缩时可采用该流动法则,其表征塑性应变方向与屈服面垂直。i p i f= (i =1, 2, 3。 (10 将其展开,得关联流动法则中的流动系数:/(/(21112/1(3ci ci ci af m s m +=。 (11在单轴拉伸过程中,材料将沿拉伸方向破坏;或者当各个方向施加相等的拉应力时,材料将沿不同方向发生相同的变化。以上2种情况均可用径向流动法则来描述,其流动系数为:31=当围压增加时,达到屈服状态时材料的体积不再发生膨胀,此时可用常体积流动法则对这种现象进行描述。当围压大于自定义的围压上限值时,流动系数为:cv3

14、1=cv 。 (13对于不同的应力状态,将采用不同的流动法则。若在完全拉伸区域,则采用径向流动法则;当围压等于零时,采用关联流动法则。对于0<3<的状态,流动参数可通过关联流动法则和常体积流动法则之间的插值得到:cv3cv afcv af 331111+=。 (14若=0,则模型的情况接近非关联流动法则,即膨胀角等于0。若设置为一较大值(相对于ci ,则模型情况接近关联流动法则。cv 3cv32 Hoek-Brown 中的强度折减技术2.1 m ,s ,ci 与c 和的关系将Hoek-Brown 准则和Mohr-Coulomb 准则进行对比。在确定m ,s 和ci 后,可利用式(1

15、得到岩体力学参数。 岩体单轴抗压强度为:ci cm s =。 (15岩体单轴抗拉强度为:4(212s m m ci tm +=。 (16Mohr-Coulomb 准则的表达式为:N c N 231+=。 (17式中:sin 1sin 1+;c 和=N 分别为粘结力和内摩擦角。根据与Hoek-Brown 准则对应的Mohr-Coulomb 准则,可求得岩体的粘结力c 和内摩擦角1416,即:tm cm c =21; (18+=tm cm tm cm 2 arctan 。 (19 m ,s ,ci 与c 和之间的关系为:4(81222m s m s c ci +=; (204(84(2tan 22

16、22m s m s s m m s +=。 (212.2 m ,s 和ci 的折减方法假设边坡处于原始状态时,其参数为c 0,0,m 0,s 0和0ci ;处于临界失稳状态时,其参数为c cr ,cr ,m cr ,s cr 和cicr 。 对于Mohr-Coulomb 准则,其折减方法为:K c c cr 0=,=K cr 0tan arctan 。 当K =F (F 为边坡的整体安全系数时,边坡达到(22中南大学学报(自然科学版 第38卷1222临界失稳状态。 由式(20和(21求逆函数,并根据式(22可得: cr m ,(,(,(00000ci cr cr s m m c m c m =

17、; (23 ,(,(,(00000ci cr cr cr s m s c s c s s =; (24,(,(,(00000ci ci ci cr cr ci cicr s m c c =。(中:f (a , b , 表示关于a , b , 的函数(f =m ,s ,25 式ci ; (a , b , =(c cr ,cr ; c 0,0; m 0, s 0,0ci 。 经整理得: =+0020024m s m s ci +cr cr cr cr cicr m s m s K 4222; (26=+ci s m m s 0200042 cicr crcr cr cr s m m s K +42

18、22。 (27可见,对m ,s 和ci 实施不同的折减系数,可得到与折减c 和相同的安全系数,具体折减方法如下:mcm cr K K m =; (28mm 00mcs crK sK s s 00=; (29 K ci cicr 0=。 (30中:K m ,K s 和K 分别表示对m ,s 和ci 的折减系 (31算例模型与分析.1 算例模型,选取均质岩坡作为分析对象,该边坡高式数;K mc 为Mohr-Coulomb 准则所对应的折减系数。因此,m ,s 和ci 的折减系数之间的关系为:K K =2,1=K 。 s m 33为便于讨论80 m ,坡角为90°。按照平面应变建立FLAC

19、 3D 计算模型,模型共756个单元,1 638个节点。流动法则为非关联流动法则。边界条件为下部固定,左右两侧为水平约束,上部为自由边界,计算模型见图1。其中,K 为折减系数;K 1和K 2分别为K 的上、下限值。边坡参数为:弹性模量E =30 MPa ,泊松比=0.27,ci =150 MPa ,m =1.50,s =0.04,=27.0 kN/m 3。本构模型采用Hoek-Brown 准则以实施强度折减技术,其中对m ,s 和ci 的折减系数由式(31确定。图1 边坡计算模型 Fig.1 e.2 计算分析减法实施的关键问题是如何判断边坡达到的增大,r a (节数时,各折减时步所保存的KCa

20、lculation model of slop 3由于强度折失稳状态,因此,需事先确定边坡的失稳判据。赵尚毅等4认为边坡达到破坏状态时,滑动体上的位移将发生突变,产生很大且无限制的塑性流动,程序无法找到一个既能满足静力平衡,又能满足应力应变关系和强度准则的解,此时,不管从力的收敛标准判断,还是从位移的收敛标准来判断,计算都不收敛。因此,以静力平衡方程组是否有解、计算是否收敛作为边坡是否失稳的判据是合理的4, 6, 1718。在判据的实施过程中,随着折减系数点平均内力与最大不平衡力的比值13逐渐无法满足r a <106的求解要求,计算由收敛状态转为不收敛状态,此时边坡产生失稳破坏;其求解流

21、程如图2所示。在确定K 1和K 2时,设K =1,若计算收敛,则K 1=1,K 2=K C ,K C 为试算得到的某一较大值;若计算不收敛,则K 1=0,K 2=1。采用二分法计算安全系值如表1所示。经计算安全系数为: 1 703.1221Brown Hoek =+K K =F 。第6期 林 杭,等:强度折减法在Hoek-Brown 准则中的应用 1223 图2 安全系数求解流程Fig.2 Flow chart for solution of safety factor Table 1 Reduction factors for each reduction step 折减时步4表1 各折减时

22、步对应的折减系数 1 2 3 K 1.000 02.000 01.500 01.750 0折减时步5 6 7K1.625 0 1.687 5 1.718 8由ohr-Co 则得Mohr-Coulomb 6;M ulomb 准到F =1.765%100|CoulombMohr F 见,两Coulomb Mohr Brown Hoek ×F F =3.54%。可者的相对误差很小。而产生这种误a. FLAC 3D在Mohr-Coulomb 准则中实施强度折减的影切流动法则;Hoek- Brow Brown 准则中实施强度折减法的关键问题是使其与Mohr-Coulomb 准则中的强度折减法等

23、效,的安全系数为1.71,在, 袁海平, 等. 基于拉格朗日差分法的全长注浆锚杆支护参数优化J. 中南大学学报: 自然科学版, 2006, of grouted bolts by Lagrangian difference 99, 49(6: 835840. eth : 332336.n finite element 5差的主要原因是:技术时,主要考虑剪切破坏,而未考虑材料拉伸破坏响;Hoek-Brown 准则将工程岩体在荷载作用下表现出的复杂破坏,归结为拉伸和剪切破坏2种机制11,在引入剪切强度准则的同时,还引入拉伸破坏准则,因此,得到的安全系数略小。b. 屈服准则采用的流动法则不同,Mohr- Coulomb 准则采用非关联的剪n 准则中的流动系数与应力状态有关15,分别采用关联流动法则、径向流动法则、常体积流动法则以及复合流动法则。4 结 论a. 在Hoek-且需对准则中的3个参数m ,s 和ci 进行折减,这3个折减系数的关系须满足:s mK K =2,1=K 。 b. 通过FLAC 3D 软件算例的对比分析可知,强度折减法在Hoek-Brown 准则中得到03 Mohr-Coulomb 准则中得到的安全系数为1.765 6,两者之间的相对误差为3.54%,差别微小,说明强度折减法在2