应力状态理论

1、第九章 应力状态理论9.1 一点应力状态的概念9.1.1 轴向拉（压）时斜截面上的应力 对不同材料的拉伸或压缩实验表明,并非都在横截面上发生破坏,有时沿杆的某一斜截面破坏。例如，铸铁受轴向压缩时，在与杆轴线成450的斜截面上破坏。图9.1（a）是从轴向拉伸的等直杆中截取的一段杆。现在讨论其斜截面上的应力。假定斜截面上全应力亦均匀分布图9.1（b）。用及分别表示横截面及斜截面的面积，由平衡条件 得 （a）将沿截面法线及切线方向分解，得 ,图9-1利用式（a），上式可化为 （b） （c）当 时 ， （d）当 时 ， （e）当 时 ， （f）可见，轴向拉伸时，横截面上正应力是各截面上正应力中的最大值

2、；而与横截面成的斜截面上，切应力有最大值，且 （g）9.1.2 一点的应力状态一般来讲，在受力构件内通过同一点各个不同方位的截面上，应力的大小和方向是随截面方位的不同而按照一定规律变化的。因此，为了深入了解受力构件内的应力情况并正确分析构件的强度，必须研究一点处的应力情况。通过构件内某一点的各个不同方位截面上的应力及其相互关系，通常称为这一点处的应力状态。对于受力弹性体上的任意一点，为了描述其应力状态，一般是围绕该点做一个微六面体，当六面体三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点，这时的六面体称为单元体。由于单元体取的方位不同，一点的应力状态可以用多种形式描述。例如，图9.2围绕A点

3、，以斜截面截取的单元体如图9.2（d）所示，四个截面上既有正应力，又有切应力；若以两个横截面截取如图9.2（b）、（c）所示，横截面上只有正应力，而其它各面上正应力和切应力皆为零。图9-2切应力等于零的截面称为主平面。作用在主平面上的正应力称为主应力。一般来说，从受力构件中围绕同一点取出任意一个单元体，都可以找出三个相互垂直的主平面；主平面上作用的三个主应力，通常用、和表示，并按代数值大小排序 。9.1.3 应力状态的分类在实际问题中，有时某些主应力的值可能为零，按照不等于零的主应力数目，可把一点的应力状态分为三类：1. 单向应力状态只有一个主应力不等于零的应力状态称为单向应力状态。如拉伸（或

4、压缩）的杆件和承受纯弯曲的梁，它们各点的应力状态都属于单向应力状态。2. 二向应力状态（平面应力状态）两个主应力不等于零的应力状态称为二向应力状态。纯剪切应力状态属于二向应力状态。二向应力状态是工程实际中最常见的一种应力状态。3. 三向应力状态（空间应力状态）三个主应力都不等于零的应力状态称为三向应力状态。需要指出的是平面应力状态是三向应力状态的特例；而单向应力状态和纯剪切应力状态是平面应力状态的特殊情况。图9.3(a) ,9.3(b)分别为三向和二向应力状态的一般描述。图9-39.1.4 复杂应力状态的实例 薄壁圆筒的计算 1. 二向应力状态薄壁圆筒 二向应力状态最明显的例子是薄壁容器，如锅

5、炉、氧气瓶、油槽等。从图9.4所示锅炉的例子中可以看出：对于筒底的气压将使圆筒拉长，而对于筒壁的气压将使筒径张大，还可能引起筒壁向纵向破裂。假若从筒壁取出一个单元体，这一单元体将受两个方向的拉伸纵向应力及周向应力。图9-4设锅炉内部的压力是均匀分布的，数值为大气压。现在来计算及 ，用代表圆筒的平均直径，代表所取一段的长度，代表筒壁的厚度。则纵向应力作用于圆筒的横截面上，用截面法取示力对象如图9.5(a)。作用在筒底的气压是，厚度为，平均直径为的圆环，它的截面积(a) (b)图9-5近似地等于，假定均匀分布与筒壳的横截面上，由平衡条件，由此有 （h）周向应力作用于圆筒的纵截面上,用截面法，在图9

6、.4中取与截面间一段、假想沿直径面剖开的一部分为示力对象，并且把气体保留在示力对象内如图9.5（b）所示。向上作用的总气压是：，筒壳的纵截面积是，假定周向应力均匀分布于纵截面上，向上的法向内力为，由平衡条件，求得，即 （i）应力及都是主应力，因为在它们的作用面上没有剪应力。在垂直于筒壁的面上，内部有气体压力作用着，外部有大气压力作用着，但是它们的数值与或相较都是很小，可以略去不计，所以如图9.4取出的单元体，处于二向应力状态。可知： （j） 2. 三向应力状态挤压 现在举一个常见三向应力状态的例子。钢轨受到火车车轮的压力，在接触点附近为三向应力状态。如图9.6，车轮传递给钢轨的压力是单元体上的

7、一个主应力。车轮受之后，要向旁边扩张，但是单元体周围的车轮限制这种扩张，因而就对单元体作用着压应力，使单元体处于三向应力状态之下。在滚动轴承中滚珠与环圈的接触点附近的应力，传动齿轮的接触点附近的应力，射击时弹丸的弹带与炮筒膛线间的压应力，铆钉及孔壁间的挤压应力，也都是三向应力状态。图9-69.2 平面应力状态分析的解析法9.2.1 平面应力状态的应力分量图9.7（a）所示为平面应力状态的应力分量。由切应力互等定理，=，所以独立的应力分量只有、，于是可简化为图9.7（b）所示之平面图。如图9.7（b）所示，斜截面的方位以其外法线与轴的夹角表示，该截面上的应力用和表示。关于角以及各应力分量有下列正

8、负号规则：1. 角：从轴正方向逆时针转至的正方向为正，反之为负。2. 正应力：拉为正，压为负。3. 切应力：线单元体或其局部顺时针为正，反之为负。图9-79.2.2 斜截面上的应力公式为确定平面应力状态任意斜截面上的应力,将单元体以此斜截面假想地切开,保留左面部分,如图9.7（c）所示。设斜截面面积为，则法线为的侧面的面积为，法线为的侧面面积为，则保留部分沿斜截面的法线和切向的平衡方程分别为经整理后，得 （9.1）这就是计算斜截面应力的公式。此式表明：斜截面上的应力分量与 都是斜面方位角的函数，只要已知、和，便可应用此式确定任意斜面上的应力。若将式（9.1）中的置换为，则有 （a）（a）式和公

9、式（9.1）比较可得，例91，已知一点的应力状态如图9.8所示，试求图示斜面上的应力。解：为了应用公式（9.1），应先确定公式中的已知量。为此，取水平轴为，铅垂轴为。则,。代入公式（9.1），得 图9-8 图9-9例92，已知一点的应力状态如图9.9所示，试求指定斜面上的应力。解：与上例相同，需要首先选定坐标轴，以便明确公式中的各已知量的大小及其符号。既然坐标轴是选定的（不是规定的），因而也可以不取水平方向为轴 ，而将轴取在铅垂方向。这时，,。代入公式（9.1），得最后，将所得结果按其符号标在图中对应的截面上（图9.9）。读者可仍按习惯取水平方向为轴，计算结果将与这里的完全相同。9.2.3 主

10、应力、主平面、切应力极值和切应力极值平面式（9.1）表明，斜截面上的正应力和切应力随角的改变而变化，即和都是的函数。利用上述公式即可确定正应力和切应力的极值，并确定它们所在平面的位置。1 主应力、主平面 将式（9.1）的第一式对取导数,得 (b)若时,能使=0 ,则在所确定的斜截面上,正应力即为最大值或最小值.以代入式(b),并令其等于零,得到 (c) 由此得出 (9.2)由式（9.2）可以求出相差的两个角度，它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。比较式（9.1）第二式和（c），可见满足（c）式的角恰好使等于零。也就是说，在切应力等于零的平面

11、上，正应力为最大值或最小值。因为切应力为零的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是最大或最小的正应力。从公式（9.2）求出和，代入式（9.1）的第一式，求得的最大与最小的正应力为 （9.3）在导出以上公式时，除假设、和皆为正值外，并无其它限制。但是，使用这些公式时，如约定用表示两个正应力中代数值较大的一个，即，则公式（9.2）确定的两个角度中，绝对值较小的一个确定所在的平面。2. 切应力极值、切应力极值平面 用完全相同的方法，可以确定切应力极值及其所在的截面。将式（9.1）的第二式对取导数， （d）若时，能使，则在所确定的斜截面上，切应力为极大值或极小值。以代入式（d），并令其

12、等于零，得到 （e）由此得出 （9.4）由式（9.4）可以解出两个角度，它们相差，从而可以确定两个相互垂直的平面，分别作用着切应力的极大值和极小值。由式（9.4）解出和,代入式（9.1）的第二式，求得切应力的极大值和极小值为 （9.5）比较式（9.2）和式（9.4），可见 ,所以有 , （f）即切应力极值平面与主平面的夹角为45 。9.3 平面应力状态分析的图解法9.3.1 应力圆方程将任意斜截面的应力公式改写为将两式平方后相加,则得 (a)显然,式(a)是一个圆的方程,其圆心在点处,其半径,此圆称为应力圆。9.3.2 应力圆的作法1. 应力圆的作法 设一点的应力状态已知,如图9.10(a)所

13、示,并设,面上剪应力0。取坐标系，以为横轴，以为纵轴（图9.10b），并按一定比例尺在横轴上依次量取、。同时，分别在、两点依次量取纵坐标，；再以直线连接、两点，该直线交轴于点。然后，以为圆心，以为半径作圆，此圆即所求之应力圆。由作图知， 2.求斜面应力过作轴,交圆于。再过作(斜面法线),交圆于,则点的横坐标,纵坐标。现证明如下：连，由作图知，则；如设，则图9-10 即点的横坐标和纵坐标分别等于斜面上的正应力与切应力分量。9.3.3 主应力、主平面、切应力极值和切应力极值平面从应力圆（图9.10b）上可以看出，正应力有两个极值，即应力圆与轴的两个交点M、N的横坐标。而这两点的纵坐标均为零，因而这

14、两点的横坐标就是该点的两个主应力值，其中一个是最大值，另一个是最小值。从应力圆（图9.10b）上可以看出,这两个主应力值分别为 （9.6）于是，得到该点的主平面及其主应力，如图9.7（c）所示。这种用主应力表示的应力状态称为主应力状态，可用公式（9.6）代替公式（9.2）来确定主平面的方位。前面曾经指出，通过受力构件上的任一点都有三个互相垂直的主平面，每一点都有三个主应力，并且按代数值排列为。因此，对于已知一个主应力为零的平面应力状态，在用公式（9.3）确定两个主应力后，还需要与零相比较，以决定它们的顺序。在图9.10（b）所示的应力圆中，两个主应力均大于零，于是该点的三个主应力的顺序为。这个

15、应力圆，显然可以看成是以两个主应力之差为直径的一个圆。在这个圆上，切应力也有两个极值。点和的纵坐标值，称为切应力极值。它们的大小均为直径的一半，而符号相反，为它所在截面的方向，也由过点射线决定。由图知，两个切应力极值所在的截面也是互相垂直的，并分别与主平面成角。例93 试作出图9.11（a）所示应力状态的应力圆，求出这点的主应力与切应力极值，并画出其主应力状态。解 ：如图911（a）所示，取水平轴为，则,.取坐标系，并分别截取横坐标,；纵坐标，。连、交轴于，以为圆心，以为半径作圆（图9.11b）。再作轴,交圆于，由通过、及分别引射线，即得主平面与切应力极值所在截面的法线方向。从应力圆上量得,；

16、于是，该点的主应力状态如图9-11（c）所示。再将上述主应力值与零比较，得,由点知：。例94 已知过一点的两个斜截面上的应力分量如图9.12（a）所示。图中应力单位为，试用应力圆确定该点的主应力状态。解：1.分析如果该点的应力圆已经做出,那么就可以从点分别作这两个斜截面法线的平行线,从而在圆上找到代表它们的应力分量的两个点和。由此可知，代表斜截面应力分量的点与以及点均在圆上，故此圆可作。图9-82.作法如图9.12（b）所示，取坐标系，根据已知应力分量确定点（45，-61）的位置，并从和点分别作各自所在面法线的平行线，其交点。过、三点作圆，此圆即为所求之应力圆。它与轴的两个交点的横坐标，即为所

17、求之主应力，从图上量得 ,其所在面的法线方向，可有从点所引之射线确定。于是，得到该点的主应力状态，如图9.12（c）所示。图9-129.4 三向应力状态简介三向应力状态的分析比较复杂。这里只讨论当三个主应力、和已知时，单元体内的最大切应力。当研究单元体在复杂应力状态下的强度条件时，将要用到这些结果。设某一单元体处于三向应力状态，如图9.13(a)所示,现研究与主应力平行的截面上的应力.设想平面把单元体分成两部分,研究保留的三棱柱部分(图中的阴影部分)的平衡。由于前后两个三角形面积相等，主应力在该两个平面上产生的力自相平衡，对斜截面上的应力没有影响。该斜截面上的力只决定于 和，相当于二向应力状态

18、，如图9.13(b)所示。因而平行于主应力的各截面上的应力，可由和所确定的应力圆上的相应各点的坐标来表示，如图9.13(d)中的小圆所示。这一类平面中的切应力极值作用面均与和的作用面成，如图9.13(c)所示。相应的切应力极值称为主切应力，主切应力的大小等于应力圆的半径，亦即该圆周上点的纵坐标图9.13（d），即。图9-13同理，平行于的各截面上的应力，由应力圆（由、画出）圆周上相应各点的坐标来表示；平行于各截面上的应力，由应力圆（由、画出）圆周上相应各点的坐标来表示。后两类截面中的相应切应力极值（主切应力）与的作用面分别与相应的主平面成，如图9.13(e)、（f）所示。主切应力与的大小分别由

19、两个应力圆上的最大纵坐标和的坐标确定，即 , 除了上述三类平面外，对于与三个主平面成任意交角的斜截面上的正应力和切应力，也可用坐标系内某一点的坐标值来表示。研究证明，该点必须位于三个应力圆所围成的阴影范围内图9.13(d)。因此，单元体内的最大切应力等于三向应力圆中最大应力圆的半径（点的纵坐标），即 （9.7）例95 已知某一处于三向应力状态下的单元体如图9.14(a)所示。求其主应力及切应力极值和最大切应力。解 对图示处于三向应力状态下的单元体，已知一个主平面及该面上的主应力（60），另外两个主应力可按与平面应力相似的方法求得。图9-14在坐标系中取（-20，40）、（0，-40）两点，分别

20、与单元体、两面上的应力相对应。以为直径作圆，该应力圆与轴的两个交点即为单元体的另两个主应力，分别等于31和-51。因已知的主应力为60，故按，得,，切应力极值则为 ,最大切应力为。9.5 广义虎克定律在第二章曾指出：当受到轴向拉伸或压缩时，只要应力不超过材料的比例极限，其正应力与正应变之间的关系为 或 （a）这就是单向应力状态下的虎克定律。而杆件在发生纵向应变的同时，横向尺寸也将发生变化，其横向应变为 （b）本书第四章还指出：在纯剪切应力状态下，只要切应力不超过材料的剪切比例极限，其切应力与切应变之间的关系为或 （c）此即剪切虎克定律。图9-15现在就以（a）、（b）、（c）三式为基础，来建立

21、复杂应力状态下应力与应变之间的关系。设应力状态如所示图9.15(a),显然可将它看作是三组单向应力与三组纯剪切的组合。对于各向同性材料,当变形很小且在线弹性范围内时,线应变只与正应力有关,与切应力无关;而切应变只与切应力有关,与正应力无关。这样，图9.15(a) 所示单元体沿、三个坐标轴方向的线应变，以及在、三个平面内的切应变，就可利用（a）、（b）、（c）三式求出。例如，由于正应力、的作用，在方向引起的线应变分别为, , 于是，方向的总应变为 同理，可写出其余两个线应变和三个切应变。最后得到图9-16 （9.8）公式（9.8）称为广义虎克定律。对于各向同性材料，式中的三个弹性常数、之间的关系

22、为 （9.9）若，如图9.15（b）所示，则其三个切应变。即在三向主应力状态下，没有切应变，而只有正应变。这时，广义虎克定律简化为 （9.10）式中、称为主应变，其方向与主应力一致。公式（9.10）是主应力状态下的广义虎克定律。以上讨论了线应变和切应变与应力分量间的关系。下面我们讨论体积改变与应力分量间的关系。设图9.16所示的矩形六面体的边长分别为、，其周围六个面皆为主平面。变形前六面体的体积为变形后六面体的三个棱边分别为 , , 于是变形后的 体积为展开上式，并略去含有高阶微量、的各项，得单位体积的体积改变为也称为体积应变。如以式（9.10）代入上式得 （9.11）把式（9.11）写成以下

23、形式 （9.12）式中, 、。称为体积弹性模量，是三个主应力的平均值。公式（9.12）说明，单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关，至于三个主应力之间的比例，对并无影响。所以，无论是作用三个不相等的主应力，或是代以它们的平均应力，单位体积的体积改变仍然是相同的。9.6 平面应力状态的测定构件的危险点，通常位于其表面。在这些点处，多数都处于的平面应力状态，如图9.17所示。这时，广义虎克定律简化为 （9.13）于是，只要能设法测出、，则该点的应力状态随之确定了，即由公式（9.13）可得 图9-17 （9.14）这是广义虎克定律的主要用途之一。根据公式（9.13），任意斜方向（与轴成角）的线应变

24、可表示成式中, , 即任意方向的线应变均可表示成应力分量、的函数，进而借助于公式（9.14）还可表示成应变分量、的函数 （9.15）由此可知，只要能测出一点处沿三个不同方向的线应变，便可由公式（9.15）确定该点的三个应变分量。于是，该点的三个应力分量也就随之确定了。例9.6 用直角应变花测得一点沿图9.18所示三个方向的线应变分别为,。已知,试求该点的主应力。解 取方向为，则,；又由公式（9.15）得即于是，由公式（9.14）得 图9-18再将这些数值代入公式（9.3）得即该点的三个主应力为,而所在截面的法线方向,可由公式（9.6）确定, 。例9-7 已知一点的应力状态如图9.19(a)所示

25、,且单元体的边长,试求沿其对角线方向的线应变。解 由于，所以对角线方向即方向，根据虎克定律，其线应变应为 式中，与可用公式（9.1）求得,代入上式得:图9-19而这一线应变还可通过单元体的切应变来计算。对于图示之纯剪切应力状态，由剪切虎克定律知 又由图9.19(b)知将上述两种方法求得的结果加以比较,得即各向同性材料三个弹性常数之间关系的证明。例9-8 在一个体积比较大的钢块上有一直径为5.001的凹座, 凹座内放置一直径为5的钢制圆柱图9.20(a),圆柱受到轴向均布压力作用,其合力。钢的弹性模量，泊松系数。假设钢块不变形，试求圆柱内任意一点的主应力。解 随着轴向压力的增加，圆柱开始向横向（

26、径向）扩展，后来受到块体孔壁的阻碍。加载完毕时，圆柱内任意一点的轴向压力为设孔壁对圆柱表面的径向均布压力为图9.20(b),由于均布压力对称于圆柱的轴心线,故实心圆柱内应力、应变均匀。因而图9-20上式中尚有一个参数未定。轴向平衡条件在求轴向应力时已用过，而径向平衡条件又不能提供新的方程，故此问题为一超静定问题。利用约束条件 再应用广义虎克定律 可以求得 最终得到, 例9.9 图9.21是一钢质圆杆，直径，已知A点处与水平方向成方向上的正应变,，试求载荷。解 A点处的应力状态如图9.21(b)所示。利用广义虎克定律 （a）由斜截面上的应力公式 （b） （c）将代入（b）、（c），再代入（a）,

27、得图9-21有 9.7 复杂应力状态下的变形比能9.7.1 变形比能图9.22所示为以主应力表示的三向应力状态，其主应力和主应变分别是、和、。假设应力和应变都同时自零开始，逐渐增加至终值。根据能量守恒原理，材料在弹性范围内工作时，单元体上三对面上的力（其值为应力与面积之乘积）在各自对应的应变所产生的位移所作的功，全部转变为一种能量储存于单元体内，这种能量称为变形能用表示，若以表示单元体的体积，则定义为变形比能，用来表示。 图9-22 图9-23当材料的应力、应变满足广义虎克定律时，在小变形的条件下，相应的力和位移存在着线性关系，如图9.23所示。这时力作功为对于弹性体，此功将转变为变形能。即

28、设单元体的三边边长分别为、，则与力， 相对应的位移分别为，。这些力所作之功于是储藏于单元体内的变形能为由变形比能的定义，应用广义虎克定律，得三向应力状态下的变形比能，其表达式为 能，其表达式为 （9.16）9.7.2 体积改变比能和形状改变比能一般情形下，物体变形的同时包含了体积改变和形状改变，因此，总变形比能包含着相互独立的两种变形比能，即 （917）式中的、分别称为体积改变比能和形态改变比能。将用主应力表示的三向应力状态图9.24（a）分解为图9.24（b）、（c）中所示的两种应力状态的叠加。其中称为平均应力：图9.24（b）中所示为三向等拉应力状态。在这种应力状态下，单元体只产生体积改变

29、，而无形状改变。而图9.24（c）中所示的应力状态将使单元体只产生形状的改变，而无体积改变。对于图9.24（b）中的单元体，由式（9.16）算得其体积改变比能 图9-24 （9.18）将式（9.18）代入（9.17），得到单元体形状改变比能： （9.19）对于单向应力状态， 其体积改变比能： （9.20）形状改变比能： （9.21）不难看出 习 题9-1 构件受力如图所示。（1）确定危险点的位置。（2）用单元体表示危险点的应力状态。题9-1图9-2 单元体受力如图所示，图中应力单位为。试根据不为零主应力的数目判断它是（A）二向应力状态；（B）单向应力状态；（C）三向应力状态；（D）纯剪切应力状

30、态。正确答案是：题9-2图题9-3图9-3 试分析图中所示的四个应力状态是否等价，有下列四种答案。（A）四者均等价；（B）仅（a）和（b）等价；（C）仅（b）和（c）等价；（D）仅（a）和（c）等价。哪一种是正确的？9-4 关于图示应力状态有下列论述，哪一种是正确的？ （A）最大主应力为500，最小主应力为100；（B）最大主应力为500，最大切应力为250； （C）最大主应力为500，最大切应力为100；（D）最小主应力为100，最大切应力为250。 题9-4图9-5 关于弹性体受立后某一方向的应力与应变关系有下列论述，哪一种是正确的？ （A）有应力一定有应变，有应变不一定有应力； （B）有

31、应力不一定有应变，有应变不一定有应力； （C）有应力不一定有应变，有应变一定有应力；（D）有应力一定有应变，有应变一定有应力。9-6 已知应力状态如图所示，图中应力单位皆为。试用解析法及图解法求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（3）最大切应力。题9-6图9-7 在图示应力状态中，试用解析法及图解法求出指定斜截面上的应力（应力单位）。题9-7图9-8 单元体如图，已知。证明；。9-9 锅炉直径，壁厚，内受蒸汽压力。试求（1）壁内主应力、及最大切应力；（2）斜截面上的正应力及切应力。题9-8图 题9-9图9-10 一点处两相交平面上的应力如图示，求值（应

32、力单位）。9-11 已知矩形截面梁某截面上的弯矩及剪力分别为，试绘出截面上1、2、3、4各点应力状态的单元体，并求其主应力。 题9-10图 题9-11图9-12 受力某点两平面上的应力如图示，求其主应力的大小（应力单位）。9-13 受力构件某一点处的应力状态如图示。试确定主应力的大小和主平面的位置，并在单元体上绘出主平面位置及主应力方向，应力单位为。 题9-12图 题9-13图9-14 一点处于平面应力状态，围绕该点取出的微棱柱体的平面图如图所示，和均为未知。试求该点处的主应力和主平面的位置。9-15 图示简支梁为36a工字钢，。A点所在截面在集中力的左侧，且无限接近力作用的截面。试求（1）A点在指定斜截面上的应力；（2）A点的主应力及主平面位置（用单元体表示）。 题9