弹性体的应力和应变

1、第八章 弹性体的应力和应变学时安排：3课时教学目的与要求：1、掌握应力和应变的相互关系、拉伸形变的胡克定律及其适用范围；2、了解杨氏模量、泊松比、剪切模量、固体的弹性形变势能、弹性形变势能密度等概念；3、了解梁的弯曲、杆的扭转的基本知识和结论。教学重点：弹性体的拉伸和压缩。教学难点：应力、杨氏模量、剪切模量、泊松比等概念的物理意义。习题：8.1.2 8.1.3 8.1.6Chapter8 弹性体的应力和应变形变的分类：塑性形变：外力撤消后，形变不完全消失；弹性形变：外力撤消后，形变完全消失，此类物体为弹性体理想模型；本章的研究范围：各向同性的均匀弹性体的弹性形变，均匀弹性体：体内各点的弹性相同

2、。各向同性的弹性体：体内各点的弹性与方向无关。弹性形变的种类：伸长、缩短、切变、扭转、弯曲；弹性形变的基本种类：长应变、切应变。§81 弹性体的拉伸和压缩一、外力、内力与应力1外力：对于给定物体，外界（其它物体）对它的作用力2内力：物体内部各部分之间的相互作用力。内力的求法：外力物体形变内力，为了研究内力，用一假想的平面S将物体分为两个部分：则S面的两侧的相互作用力内力、求内力的方法：隔离体法，S面的两侧分别为一个隔离体。物体处于平衡时，列出左侧（或右侧）隔离体的平衡方程式，由外力求内力。S面上受力不均匀时，在S面上任一点（O点）处取面元，自受力一侧指向施力物一侧，是的外法向，确定了

3、即可确定的受力（内力）。3应力：描述物体内部各点处内力强度的物理量（1）定义：平均应力： 应力： 物理意义：作用于物体某点处某有向面元的平均应力，当面元时的极限该无限小有向面元上的应力。正应力：正应力为在无穷小有向面元的外法向上的投影，取“+”有向面元的某一侧受到另一侧的拉力取“”有向面元的某一侧受到另一侧的压力剪切应力：，在无穷小有向面元的外法线垂直方向上的投影。单位：N/m2Pa （dyn/cm2）量纲式：dimp=L-1MT-2(2)直杆的正应力： 如图所示：对整个直杆而言，、为一对内力，设杆的自重远小于外力，则有：，设应力均匀分布，正应力： 压缩： 拉伸：二、直杆的线应变绝对伸长量：

4、1绝对伸长（压缩）量不能反映物体的形变程度2线应变（相对伸长量）（1）整个直杆： 为一纯数，无量纲（2）横向形变：横向应变：3泊松系数 描写物质弹性特征的物理量常见材料的泊松系数的值：教材P242表81。三、胡克定律（Hooks Law）1、定律：对于拉伸（或压缩）形变的弹性体，当形变较小时（定律适用的条件）： （或） Y杨氏模量，单位： Pa2、杨氏模量（描写材料本身弹性的物理量），Y：反映了材料对拉伸（或压缩）形变的抵抗能力。对于一定的材料：拉伸和压缩时，Y的值一般不同，计算时可近似认为相等。常见材料的Y值：见教材P243表82四、拉伸和压缩的形变势能1、势能弹簧形变所产生的力保守力势能，

5、直杆长度变化时反抗形变的弹性力保守力势能。选择变量，形变前 =0，形变后 =则 A= （外力之功）所以 2、弹性形变的势能密度： 例题：一根结构均匀的弹性杆，密度为，杨氏模量为Y，将此杆竖直悬挂，使其上端固定，下端自由，试求杆中的应力和杆的应变及伸长量。解：弹性体在重力作用下，长变很小可以近似认为不变，建立图示的坐标系，设杆的横截面积为S。 考虑杆子上长为的一段，其伸长量为，则整个杆子的伸长量为：（思考：若杆子下端施加一个拉力F，则：（）§82 弹性体的剪切形变一、剪切形变、剪切应力与应变1、剪切形变物体受到力偶作用，使物体两个平行截面间发生相对平行移动时的形变。发生平行移动的截面剪

6、切面，平行于这个平面的外力剪切力 2、剪切应力与应变（1）剪切应力 设受力面积为S，则 单位：Pa 量纲式：L-1MT-2(2) 剪切应力互等定律（剪切应力的重要特征之一）如图所示，隔离体保持平衡的条件：同时受四个力、和作用，设和分别表示上、下两个底面和左、右两个侧面所受的切应力，则有：即物理意义：作用于相互垂直的假想平面上并垂直于该两平面交线的剪切应力是相等的。（3）切应变 定义： 因为很小，所以 ：切变角，无量纲，为一纯数。二、剪切形变的胡克定律1、胡克定律：实验表明，在一定弹性限度内，。N剪切模量，反映了材料抵抗剪切形变的能力，其大小由材料的弹性决定。单位与Y相同2、泊松系数与N、Y之间

7、的关系：泊松系数是描写物体横向收缩和膨胀特性的物理量的定性解释：详见教材P2462473、剪切形变的弹性势能密度考察底面为S，高为h的长方体： 剪切力的功： 弹性势能 弹性势能密度 §83 弯曲和扭转 本节研究形变的另外两种形式：弯曲和扭转一、梁的弯曲考察横截面为矩形（高为h，宽为b）的梁梁的弯曲是由程度不同的拉伸压缩形变组成的，服从胡克定律：分布特点：中性层以上各层为压缩应力越上越大 中性层以下各层为拉伸应力越下越大 中性层对应力无贡献。在二力偶作用下。中性层的曲率公式为： 式中为加于梁的力偶矩，Y为材料的杨氏模量。讨论：；一定时， ，应用：用工字钢做钢梁，或做成空心的梁，将矩形梁立着放置。二、杆的扭转 扭转形变：圆柱体在受到作用在与其轴线垂直的两个平面内的大小相等、方向相反的两个力矩，就发生扭转形变。圆柱体的扭转角：圆柱体的两端面相对转过的角度 扭转形变的实质：由剪切形变组成。：底面算起，位于半径为r处的轴向纤维的倾角，即与剪彩切形变相对应体元的切应变。在微小形变的条件下，狭长体元： 有剪切形变剪切应力，内外层的不同，也不同，抵抗形变的任务主要由外层材料来承担。所以一般情况下，杆子做成空心的，外层材料较好。产生扭转的力偶矩与实心圆柱体的扭转角有如下关系：。 其中扭转系数一定时，这表明粗而短的柱体抵抗扭转能