课件：回归分析的基本思想及其初步应用

1、1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 基础知识是形成学科能力的源头。本栏目根据课标要求，基础知识是形成学科能力的源头。本栏目根据课标要求，精准梳理，清晰呈现主要知识及内在关系。关键处合理挖空、精准梳理，清晰呈现主要知识及内在关系。关键处合理挖空、易错处及时提醒，多策并举，夯实基础。请以此为载体，安排易错处及时提醒，多策并举，夯实基础。请以此为载体，安排学生课前预习，以便打造高效课堂！学生课前预习，以便打造高效课堂！1.1.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系会用散点图分析两个变量是否存在相关关系. .2.2.会求回归方程，掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型会求回归方程，掌握建立回归模型

2、的步骤，会选择回归模型. . 1.1.本节课的重点是了解回归模型，了解模型拟合效果的分析工本节课的重点是了解回归模型，了解模型拟合效果的分析工具具残差分析和残差分析和R R2 2. .2.2.本节课的难点是解释残差、理解本节课的难点是解释残差、理解R R2 2的含义的含义. . 1.1.线性回归模型线性回归模型(1)(1)回归直线方程回归直线方程y=bx+a$ $nii=11xnnii=11yny-bx$(x y)，其中其中 的计算公式还可以写成的计算公式还可以写成 _(2)(2)线性回归模型：线性回归模型：y=bx+a+e.y=bx+a+e.其中其中e e称为随机误差称为随机误差. .nii

3、i 1n22ii 1x ynxyxnxb$b$2.2.刻画回归效果的形式刻画回归效果的形式(1)(1)残差分析残差分析残差图：作图时纵坐标为残差图：作图时纵坐标为_，横坐标可以选为，横坐标可以选为_，或，或_，或，或_等，这样作出的图形称等，这样作出的图形称为残差图为残差图. .残差分析：残差点比较残差分析：残差点比较_地落在水平的带状区域中，说地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度_，说明，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. .残差残差样本编样本编号号身高数据身高数据体

4、重估计值体重估计值均匀均匀越窄越窄(2)(2)残差平方和残差平方和公式公式残差平方和为残差平方和为 刻画方式刻画方式残差平方和残差平方和_，模型拟合效果越好，模型拟合效果越好. .n2iii 1yy$（）越小越小(3)(3)相关指数相关指数R R2 2公式公式R R2 2=1- .=1- . _ _ 意义意义R R2 2表示表示_变量对于变量对于_变量变化的贡献率变量变化的贡献率. .刻画刻画方式方式R R2 2越越_于于1 1，表示回归的效果越好，表示回归的效果越好. . n2iii 1n2ii 1yyyy$（）（）解释解释预报预报接近接近1.1.线性回归模型是函数关系吗？线性回归模型是函数

5、关系吗？提示：提示：y=bx+a+ey=bx+a+e与函数关系不同，在回归模型中，与函数关系不同，在回归模型中，y y的值由的值由x x和和随机误差随机误差e e共同确定，即共同确定，即x x只能解释部分只能解释部分y y的变化的变化. .因此有时我们因此有时我们把把x x称为解释变量，把称为解释变量，把y y称为预报变量称为预报变量. .2.2.要确定回归方程，需确定的量是什么？要确定回归方程，需确定的量是什么？提示：提示：要确定回归直线方程，关键是确定要确定回归直线方程，关键是确定 和和 的值的值. .3.3.对于回归方程对于回归方程 =4.75x+257,=4.75x+257,当当x=2

6、8x=28时，时，y y的估计值是的估计值是_._.【解析解析】把把x=28x=28代入方程代入方程 =4.75x+257=4.75x+257得得 =4.75=4.7528+257=28+257=390.390.答案：答案：390390y$y$y$b$a$4.4.若一个样本中，若一个样本中， 则相关指数则相关指数R R2 2等于等于_._.【解析解析】答案：答案：0.950.95nn22iiii 1i 1yy100,yy5$（）（） ，n2ii2i 1n2ii 1yy5R110.95.100yy $（）（）1.1.随机误差产生的三个原因随机误差产生的三个原因(1)(1)由线性回归模型近似真实模

7、型由线性回归模型近似真实模型( (真实模型是客观存在的，通真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型是什么常我们并不知道真实模型是什么) )所引起的误差所引起的误差. .可能存在非线可能存在非线性的函数能够更好地描述性的函数能够更好地描述y y与与x x之间的关系，但是现在却用线性之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果会产生误差函数来表述这种关系，结果会产生误差. .这种由模型近似所引这种由模型近似所引起的误差包含在起的误差包含在e e中中. .(2)(2)忽略了某些因素的影响忽略了某些因素的影响. .影响变量影响变量y y的因素不只有变量的因素不只有变量x x，可，可能还包

8、括其他许多因素能还包括其他许多因素( (例如，在描述身高和体重关系的模型例如，在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响长环境等其他因素的影响) )，它们的影响都体现在，它们的影响都体现在e e中中. .(3)(3)观测误差观测误差. .由于测量工具等原因，导致由于测量工具等原因，导致y y的观测值产生误差的观测值产生误差( (比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的比如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，与真实值之间存在误差观测值，与真实值之间存在

9、误差) )，这样的误差也包含在，这样的误差也包含在e e中中. .2.2.残差分析判断模型拟合效果的方法残差分析判断模型拟合效果的方法计算残差计算残差 计算出残差计算出残差作残差图作残差图 如果样本点的残差较大，就要分析样本数据的如果样本点的残差较大，就要分析样本数据的 采集是否有错误；另一方面，可以通过残差点采集是否有错误；另一方面，可以通过残差点 分布的水平带状区域的宽窄说明模型拟合效分布的水平带状区域的宽窄说明模型拟合效 果，反映回归方程的预报精度果，反映回归方程的预报精度. .带状区域的宽度带状区域的宽度 越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的越窄，说明模型的拟合精度越高，回归方程的

10、 预报精度越高预报精度越高. .iiiiieyyybxa,i1,2,n$横坐标选取为样本编号或解释变量或预报变横坐标选取为样本编号或解释变量或预报变量，纵坐标为残差，作出残差图量，纵坐标为残差，作出残差图. .残差分析残差分析3.3.利用利用R R2 2进行两个模型拟合效果的比较进行两个模型拟合效果的比较对于给定的样本点对于给定的样本点(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),，(x(xn n,y,yn n) )，两个含有未，两个含有未知参数的模型知参数的模型(1) (1) 和和(2) (2) 其中其中a a和和b b都是都是未知参数，可以按如下的步骤来比较它们的

11、拟合效果：未知参数，可以按如下的步骤来比较它们的拟合效果：21yf(x,a)e,E(e)0,D(e) 22yg(x,b),E( )0,D( ), 分别建立对应于两个模型的回归方程分别建立对应于两个模型的回归方程其中其中 和和 分别是参数分别是参数a a和和b b的估计值的估计值. .分别计算模型分别计算模型(1)(1)和模型和模型(2)(2)的的若若 则模型则模型(1)(1)的拟合效果比模型的拟合效果比模型(2)(2)好；如果好；如果 则模型则模型(1)(1)的拟合效果不如模型的拟合效果不如模型(2).(2). (1)(2)yf(x,a)yg(x,b),$与a$b$2212RR .，2212R

12、R，21R 22R ， 核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点，核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点，讲练结合，提醒认知误区，点拨规律技巧，循序渐进，培养主讲练结合，提醒认知误区，点拨规律技巧，循序渐进，培养主动思考意识，提升自主探究能力。请根据授课情况有选择地讲动思考意识，提升自主探究能力。请根据授课情况有选择地讲解，帮助学生理解突破教材重难点！解，帮助学生理解突破教材重难点！ 求回归方程求回归方程【技法点拨技法点拨】1.1.对线性回归分析的认识对线性回归分析的认识在研究两个变量之间的关系时，首先要根据散点图来判断它们在研究两个变量之间的关系时，首先要根据散点图来判断它

13、们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，具备相是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，具备相关关系时再求回归方程关关系时再求回归方程. .如果本身两个变量不具备相关关系，如果本身两个变量不具备相关关系，或者说它们之间的相关关系不显著，那么即使求出回归方程也或者说它们之间的相关关系不显著，那么即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测也是不可信的是毫无意义的，而且用其估计和预测也是不可信的.(.(关键词：关键词：用散点图判断是否线性相关用散点图判断是否线性相关) )2.2.求线性回归方程的步骤求线性回归方程的步骤列表列表 表示表示 列表表示出列表表示出x xi i,y,

14、yi i过程过程 计算计算 根据上面数据计算根据上面数据计算nn2iiin=1n=1x,y,x ,x y代入代入 计算计算 代入公式可以计算出代入公式可以计算出 的具体数值的具体数值 b,a$ $写出写出 方程方程 由上面计算的结果可得出结论方程由上面计算的结果可得出结论方程y=bx+a$ $【典例训练典例训练】1.1.某种产品的产量某种产品的产量x(x(台台) )与单位产品成本与单位产品成本y(y(元元/ /台台) )之间的回归方之间的回归方程为程为 =356-1.5x=356-1.5x，这说明，这说明( )( )(A)(A)产量每增加一台，单位产品成本增加产量每增加一台，单位产品成本增加3

15、56356元元(B)(B)产量每增加一台，单位产品成本减少产量每增加一台，单位产品成本减少1.51.5元元(C)(C)产量每增加一台，单位产品成本平均增加产量每增加一台，单位产品成本平均增加356356元元(D)(D)产量每增加一台，单位产品成本平均减少产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.51.5元元y$2.2.炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系炼时间的长短，因此必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系. .如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量如果已测得炉料熔化完毕时，钢水

16、的含碳量x x与冶炼时间与冶炼时间y(y(从从炉料熔化完毕到出钢的时间炉料熔化完毕到出钢的时间) )的一列数据，如下表所示：的一列数据，如下表所示：x(0.01%)x(0.01%)104104180180190190177177147147134134150150191191204204121121y(min)y(min)100100200200210210185185155155135135170170205205235235125125 (1)(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？般规律吗？(2)(2)求回归方程

17、；求回归方程；(3)(3)预测当钢水含碳量为预测当钢水含碳量为160160时，应冶炼多少分钟？时，应冶炼多少分钟？【解析解析】1.1.选选D.D.由题意，该方程在由题意，该方程在R R上为单调递减，函数模型上为单调递减，函数模型是一个递减的函数模型，产量每增加一台，单位产品成本下降是一个递减的函数模型，产量每增加一台，单位产品成本下降1.51.5元元. .故选故选D.D.2.(1)2.(1)以以x x轴表示含碳量，轴表示含碳量，y y轴表示冶炼时间，作散点图如图所轴表示冶炼时间，作散点图如图所示，示，从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，

18、即它们线性相关. .(2)(2)列出下表，并用科学计算器进行计算：列出下表，并用科学计算器进行计算：i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 x xi i104104180180190190177177147147134134150150191191204204121 121 y yi i100100200200210210185185155155135135170170205205235235125 125 x xi iy yi i10 40010 40036 00036 00039 90039 90032 745 32 745 22 78522 78518 09

19、018 09025 50025 50039 15539 15547 94047 94015 12515 12510102iiii 1i 1x159.8,y172,x265 448,x y287 640 设所求的回归方程为设所求的回归方程为 所以所求的回归方程为所以所求的回归方程为(3)(3)当当x=160 x=160时，时， 1.2671.267160-30.51172(min)160-30.51172(min)，即冶炼时间，即冶炼时间大约为大约为172 min.172 min.10iii 11022ii 1x y10 xyybxa,b1.267x10 x$ $aybx30.51. $y1.2

20、67x30.51.$y $【归纳归纳】解答题解答题1 1的关键点和解答题的关键点和解答题2 2时易忽视的问题时易忽视的问题. .提示提示: :(1)(1)解答回归直线问题时应准确理解回归直线方程中各参解答回归直线问题时应准确理解回归直线方程中各参数的意义数的意义. .(2)(2)求回归直线方程时一定要记牢公式，准确计算求回归直线方程时一定要记牢公式，准确计算. .因为回归方因为回归方程所求的量大都是估计数值，所以要注意一些关键词的使用，程所求的量大都是估计数值，所以要注意一些关键词的使用，如如“估计估计”“”“约为约为”，这是易忽视的问题，这是易忽视的问题. .【变式训练变式训练】某种产品的广

21、告费用支出某种产品的广告费用支出x x万元与销售额万元与销售额y y万元之万元之间有如下的对应数据：间有如下的对应数据：(1)(1)根据上表提供的数据，求出根据上表提供的数据，求出y y关于关于x x的回归直线方程；的回归直线方程；(2)(2)据此估计广告费用为据此估计广告费用为1010万元时，所得的销售收入万元时，所得的销售收入. .x x2 24 45 56 68 8y y20203030505050507070552iiii 1i 1(x145,x y1 270)【解题指南解题指南】正确利用求回归直线方程的步骤求解，注意数据正确利用求回归直线方程的步骤求解，注意数据计算的准确性计算的准确

22、性. .【解析解析】(1)(1)24568x5,5 2030505070y445，5iii 1522ii 1x y5xy1 2705 5 44b8.51455 25x5x $，回归直线方程为回归直线方程为(2)(2)当当x=10 x=10时，时，预报预报y y的值为的值为aybx448.5 51.5 $，y8.5x1.5;$y8.5 101.586.5().万元$ 残差分析残差分析【技法点拨技法点拨】1.1.残差分析残差分析在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据们是否线性相关，

23、是否可以用线性回归模型来拟合数据. .然后然后我们可以通过残差我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果、判断原来判断模型拟合的效果、判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析析.(.(关键词：用残差来判断拟合效果关键词：用残差来判断拟合效果) )12ne ,e ,e$ $2.2.残差图的分析方法残差图的分析方法残差图的纵坐标为残差，横坐标通常可以是样本编号、解释变残差图的纵坐标为残差，横坐标通常可以是样本编号、解释变量或预报变量等，残差图是一种散点图量或预报变量等，残差图是一种散点图. .残差散点图中的残差残差散点图中的残差点

24、比较均匀地落在水平的带状区域中，并且沿水平方向散点的点比较均匀地落在水平的带状区域中，并且沿水平方向散点的分布规律相同，说明残差是随机的，所选择的回归模型建模是分布规律相同，说明残差是随机的，所选择的回归模型建模是合理的，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，合理的，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高回归方程的预报精度越高.(.(关键词：残差点比较均匀地落在水关键词：残差点比较均匀地落在水平带状区域中平带状区域中) )【典例训练典例训练】1.1.给出下列结论：给出下列结论：(1)(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种回归分析是对

25、具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法常用方法. .(2)(2)在回归分析中，可用相关指数在回归分析中，可用相关指数R R2 2的值判断模型的拟合效果，的值判断模型的拟合效果，R R2 2越大，模型的拟合效果越好越大，模型的拟合效果越好( (其中其中 ).).n2ii2i 1n2ii 1(yy )R1(yy) $(3)(3)在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好差平方和越大，模型的拟合效果越好. .(4)(4)在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点在回归分析中，可用残差图判断模型

26、的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适. .带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. .以上结论中，正确的有以上结论中，正确的有( )( )个个. .(A)1 (B)2 (A)1 (B)2 (C)3 (C)3 (D)4 (D)42.2.已知某商品的价格已知某商品的价格x(x(元元) )与需求量与需求量y(y(件件) )之间的关系有如下一之间的关系有如下一组数据组数据x x14141616181820202222y y121210107 75 53 3(1)(1)

27、画出画出y y关于关于x x的散点图的散点图; ;(2)(2)求出回归直线方程求出回归直线方程; ;(3)(3)计算计算R R2 2的值，并说明回归模型拟合程度的好坏的值，并说明回归模型拟合程度的好坏( (参考数据：参考数据：5555222iiiiiii 1i 1i 1i 1x18,y7.4,x1660,y327,x y620,(yy )$52ii 10.3,(yy)53.2).【解析解析】1.1.选选C.C.解题流程：解题流程：2.2.解题流程：解题流程： 画散点图画散点图 计算数据计算数据 回归直线回归直线55522iiiii=1i=1i=15iii=1522ii=1x=18,y=7.4,

28、x =1660,y =327,x y =620,x y -5xyb=-1.15,a=y-bx=28.1.x -5x$所以回归直线方程为回归直线方程为: :y=-1.15x+28.1$ 计算计算R R2 2值值 结论结论回归模型拟合效果很回归模型拟合效果很好好. .55222iiii=1i=1(y -y ) =0.3,(y -y) =53.2,R =$52iii=152ii=1(y -y )1-0.994,(y -y)$【互动探究互动探究】在本题条件不变的情况下，画出残差图在本题条件不变的情况下，画出残差图. .【解析解析】【想一想想一想】R R2 2与残差平方和有什么关系？与残差平方和有什么关

29、系？提示提示: :R R2 2越大，残差平方和越小；反之，残差平方和越大越大，残差平方和越小；反之，残差平方和越大. .【变式训练变式训练】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了所花费的时间，为此进行了1010次试验，测得的数据如下：次试验，测得的数据如下：编号编号1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010零件数零件数x/x/个个101020203030404050506060707080809090100100加工时间加工时间y/y/分分626268687575818189899595102102108

30、108115115122122(1)(1)建立以零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模建立以零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差；型，并计算残差；(2)(2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？吗？【解析解析】(1)(1)根据表中数据作出散点图，从而可以判断出用线根据表中数据作出散点图，从而可以判断出用线性回归模型来拟合数据性回归模型来拟合数据. .计算得加工时间对零件数的线性回归方程为计算得加工时间对零件数的线性回归方程为y0.668x54.93.$残差数据如下表：残差数据如下表： 编号编号 1 12

31、 23 34 45 5 残差残差0.390.39-0.29-0.290.030.03-0.65-0.650.670.67 编号编号6 67 78 89 91010 残差残差-0.01-0.010.310.31-0.37-0.37-0.05-0.050.27 0.27 e$e$(2)(2)以零件数为横坐标，残差为纵坐标作出残差图如图所示以零件数为横坐标，残差为纵坐标作出残差图如图所示. .由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好，但需注意，由残差图也可以看出，第果很好，但需注意，由残差图也可以看出，第4 4个样本和第个样本

32、和第5 5个个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误是否有人为的错误. . 非线性回归分析非线性回归分析【技法点拨技法点拨】1.1.求非线性回归方程的步骤求非线性回归方程的步骤(1)(1)确定变量，作出散点图；确定变量，作出散点图；(2)(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数；根据散点图，选择恰当的拟合函数；(3)(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程；归问题，并求出线性回归方程；(4)(4)分析拟合效果：通过计算相关

33、指数或画残差图来判断拟合分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果；效果；(5)(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程根据相应的变换，写出非线性回归方程. .2.2.常见的几种变形形式常见的几种变形形式(1)(1)幂函数曲线幂函数曲线y=axy=axb b两边取对数变形为两边取对数变形为lny=lna+blnx,lny=lna+blnx,令令y=lny,x=lnx,y=lny,x=lnx,a=lnaa=lna，从而得到，从而得到y=a+bx.y=a+bx.(2)(2)指数函数曲线指数函数曲线y=aey=aebxbx两边取对数变形为两边取对数变形为lny=lna+bx,lny=ln

34、a+bx,令令y=lny,a=lna,y=lny,a=lna,从而得到从而得到y=a+bx.y=a+bx.(3)(3)负指数函数曲线负指数函数曲线两边取对数变形为两边取对数变形为 令令y=lny, a=lnay=lny, a=lna得得y=a+bx.y=a+bx.(4)(4)对数函数曲线对数函数曲线y=a+blnxy=a+blnx令令x=lnxx=lnx，得，得y=a+bxy=a+bxbxyaeblnylna,x1x,x 【典例训练典例训练】1.1.两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是理的是( )( )(A)y=ax(A

35、)y=axb b (B)y=a+blnx(B)y=a+blnx(C)y=ae(C)y=aebx bx (D)(D)bxya e g2.2.在某化学实验中，测得如下表所示的在某化学实验中，测得如下表所示的6 6组数据，其中组数据，其中x/minx/min表表示化学反应进行的时间，示化学反应进行的时间，y/mgy/mg表示未转化物质的质量表示未转化物质的质量. .(1)(1)设设y y与与x x之间具有函数关系之间具有函数关系y=cdy=cdx x，试根据测量数据估计，试根据测量数据估计c c和和d d的值；的值；(2)(2)估计化学反应进行到估计化学反应进行到10 min10 min时未转化物质

36、的质量时未转化物质的质量. .x/minx/min1 12 23 34 45 56 6y/mgy/mg39.839.832.232.225.425.420.320.316.216.213.313.3【解析解析】1.1.选选B.B.由散点图知，此曲线类似对数函数型曲线，可由散点图知，此曲线类似对数函数型曲线，可用用B B项函数进行拟合项函数进行拟合. .2.(1)2.(1)在在y=cdy=cdx x的两边取自然对数，可得的两边取自然对数，可得lny=lnc+xlnd.lny=lnc+xlnd.设设lny=z,lnc=a,lnd=b,lny=z,lnc=a,lnd=b,则则z=a+bx,z=a+b

37、x,由已知数据可得下表由已知数据可得下表. .x/minx/min1 12 23 34 45 56 6y/mgy/mg39.839.832.232.225.425.420.320.316.216.213.313.3z=lnyz=lny3.6843.6843.4723.4723.2353.2353.0113.0112.7852.7852.5882.588由公式，得由公式，得 所以所以所以线性回归方程所以线性回归方程即即lnc3.905 7,lnd-0.221 9,lnc3.905 7,lnd-0.221 9,所以所以c49.685,d0.801 0.c49.685,d0.801 0.故根据测量数

38、据估计故根据测量数据估计c49.685,d0.801 0.c49.685,d0.801 0.(2)(2)由由(1)(1)知知y y与与x x之间的关系为之间的关系为y=49.685y=49.6850.801 00.801 0 x x，当，当x=10 x=10时，时，y y的估计值为的估计值为49.68549.6850.801 00.801 010105.4.5.4.所以估计化学反应进行到所以估计化学反应进行到10 min10 min时未转化物质的质量为时未转化物质的质量为5.4 mg.5.4 mg.b0.221 9, $a3.905 7,$z3.905 70.221 9x$，【思考思考】(1)

39、(1)解答题解答题2 2最容易犯的错误是什么？最容易犯的错误是什么？(2)(2)保留放在保留放在2 2题中非线性目标函数回归分析的关键是什么？题中非线性目标函数回归分析的关键是什么？提示提示: :(1)(1)解答题解答题2 2最容易犯把非线性看成线性目标函数来解答最容易犯把非线性看成线性目标函数来解答的错误的错误. .(2)(2)非线性目标函数回归分析的关键是采用转化、化归的思想，非线性目标函数回归分析的关键是采用转化、化归的思想，把非线性回归分析转化为线性回归分析来解决把非线性回归分析转化为线性回归分析来解决. .【变式训练变式训练】在一次抽样调查中测得样本的在一次抽样调查中测得样本的5 5

40、个样本点，数值个样本点，数值如下表：如下表：试建立试建立y y与与x x之间的回归方程之间的回归方程. .【解题指南解题指南】首先画出散点图，根据散点图考虑把非线性相关首先画出散点图，根据散点图考虑把非线性相关关系转化为线性相关关系来解决关系转化为线性相关关系来解决. .x x0.250.250.50.51 12 24 4y y161612125 52 21 1【解析解析】由数值表可作散点图如图，由数值表可作散点图如图，根据散点图可知根据散点图可知y y与与x x近似地呈反比例函数关系，设近似地呈反比例函数关系，设 令令 则则 原数据变为：原数据变为：t t4 42 21 10.50.50.2

41、50.25y y161612125 52 21 1ky,x$1t,xykt$，由置换后的数值表作散点图如下：由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出由散点图可以看出y y与与t t呈近似的线性相关关系，列表如下：呈近似的线性相关关系，列表如下：i it ti iy yi it ti iy yi i1 14 41616646416162562562 22 2121224244 41441443 31 15 55 51 125254 40.50.52 21 10.250.254 45 50.250.251 10.250.250.062 50.062 51 17.757.75363694.25

42、94.2521.312 521.312 54304302it2iy所以所以所以所以所以所以所以所以y y与与x x的回归方程是的回归方程是t1.55,y7.2.5iii 1522ii 1t y5tyb4.134 4.aybt0.8.t5t$y4.134 4t0.8.$4.134 4y0.8.x$ 规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏目规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏目通过通过“见式得分，踩点得分见式得分，踩点得分”呈现得分点，点评失分点，帮助呈现得分点，点评失分点，帮助学生形成识错、纠错、避错能力，借以养成严谨的数学思维和学生形成识错、纠错、避错能力，借以养成严谨的

43、数学思维和良好的规范答题习惯。良好的规范答题习惯。【易错误区易错误区】回归方程理解中的误区回归方程理解中的误区【典例典例】(2011(2011山东高考山东高考) )某产品的广告费用某产品的广告费用x x与销售额与销售额y y的统的统计数据如下表：计数据如下表：根据上表可得回归方程根据上表可得回归方程 中的中的 为为9.4,9.4,据此模型预报广据此模型预报广告费用为告费用为6 6万元时销售额为万元时销售额为( )( )广告费用广告费用x(x(万元万元) )4 42 23 35 5销售额销售额y(y(万元万元) )4949262639395454ybxa$b$(A)63.6(A)63.6万元万元

44、 (B)65.5(B)65.5万元万元(C)67.7(C)67.7万元万元 (D)72.0(D)72.0万元万元【解题指导解题指导】【解析解析】选选B.B.由表可计算由表可计算因为点因为点 在回归直线在回归直线 上，且上，且 为为9.4,9.4,所以所以解得解得故回归方程为故回归方程为令令x=6x=6得得42357x,4249263954y424，7(,42)2ybxa$b$7429.4a,2$a9.1,$y9.4x9.1,$y65.5.$【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：题启示总结如下：( (注：此处的见解

45、析过程注：此处的见解析过程) )常常见见错错误误 选选C C 在解题过程中，把数据中的值，如点在解题过程中，把数据中的值，如点(4,49)(4,49)代入代入处的回归方程，求出处的回归方程，求出 值，误认为点值，误认为点(4,49)(4,49)在在回归直线上，而导致出错回归直线上，而导致出错. .再把再把x=6x=6代入取其近似代入取其近似值，错选值，错选C.C.这是极易犯的错误这是极易犯的错误. .选选A A或或D D把其他点代入回归方程，和上面一样，犯了同样把其他点代入回归方程，和上面一样，犯了同样的错，或在处把的错，或在处把 求错，而导致错选答案求错，而导致错选答案. .a$(x,y)解

46、解题题启启示示(1)(1)回归直线不一定过样本中的某一点，应该正确理解回回归直线不一定过样本中的某一点，应该正确理解回归直线；归直线；(2)(2)在应用回归方程时，要时刻牢记回归直线一定经过样在应用回归方程时，要时刻牢记回归直线一定经过样本中心点本中心点 (x,y).【即时训练即时训练】已知已知x x与与y y之间的一组数据：之间的一组数据：则则y y与与x x的回归直线的回归直线 必过必过( )( )(A)(A)点点(2(2，2) (B)2) (B)点点(1.5,0)(1.5,0)(C)(C)点点(1(1，2) (D)2) (D)点点(1.5(1.5，4)4)x x0 01 12 23 3y

47、 y1 13 35 57 7ybxa$【解析解析】选选D.D.样本点的中心为样本点的中心为(1.5(1.5，4)4)，线性回归方程线性回归方程 必过必过点点(1.5(1.5，4).4).11x(0123)1.5,y(1357)4.44 ybxa$1.1.设两个变量设两个变量x x和和y y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r,yr,y关于关于x x的回归直线的斜率是的回归直线的斜率是b,b,纵轴上的截距是纵轴上的截距是a,a,那么必有那么必有( )( )(A)b(A)b与与r r的符号相同的符号相同 (B)a(B)a与与r r的符号相同的符号相同(C)

48、b(C)b与与r r的符号相反的符号相反 (D)a(D)a与与r r的符号相反的符号相反【解析解析】选选A.A.当斜率当斜率b b0 0时，说明两个变量正相关，时，说明两个变量正相关，r r0 0；当斜率当斜率b b0 0时，说明两个变量负相关，时，说明两个变量负相关，r r0 0，故，故b b与与r r的符号的符号相同相同. .2.2.在判断两个变量在判断两个变量y y与与x x是否相关时，选择了是否相关时，选择了4 4个不同的模型，个不同的模型，它们的相关指数它们的相关指数R R2 2分别为：模型分别为：模型1 1的相关指数的相关指数R R2 2为为0.980.98，模型，模型2 2的相关指数的相关指数R R2 2为为0.80,0.80,模型模型3 3的相关指数的相关指数R R2 2为为0.50,0.50,模型模型4 4的相关的相关指数指数R R2 2为为0.25,0.25,其中拟合效果最好的模型是其中拟合效果最好的模型是( )