讲义第九组廷2014b

1、×××× 年高教社杯大学生数学建模竞赛编 号页赛区评阅编号（由赛区评阅前进行编号）：赛区评阅（可供赛区评阅时使用）：统一编号（由赛区送交前编号）：评阅编号（由评阅前进行编号）：创意平板折叠桌的设计与优化摘要本文通过建立参数模型，对平板折叠桌的动态变化加以分析，建立参数和桌脚，得出最出具有创的关系函数；然后稳固性好、方便、用材最少进行多目标优参数；最后并将圆形桌面推广到了一般桌面的情况，结合实际，设计、意的平板折叠桌。对于问题一，首先，我们以桌面中点为中心建立空间直角坐标系，运用三角函数、相似三角形的性质表示出桌面边缘铰接处各点、桌腿上钢筋固点、桌脚边缘点

2、的坐标，再根据坐标建立参数模型，从而推出桌脚空槽的长度。的参数表，再根据空槽的性质求出对于问题二，稳定性，本文假设期重心ZG 越低，稳定性越好，通过力学知识将其转为空间坐标和质量的关系；用材最少，即木板面积最小，由于桌面圆直径和桌子的高度固定，所以我们只需转化为最外侧桌腿最短问题即可；方便，由于木条的总数一定，铰链个数不变,所以只需考虑木条空槽总长度最小。最后，以重心最低、最外侧桌腿最短和木条空槽总长度最小为目标，进行非线性约束优化，建立多目标函数优化模型并通过 fgoalattain 函数求出最优解。得到a =1.107，L 为 180.5 cm。对于问题三，为了满足客户需求，本文将原桌面推

3、广成任意形状。因为桌面变化会引起木条长度分布变化，进而影响桌脚的形状，所以本文将对桌脚形状的研究转化为对桌面形状的研究，并以圆形、菱形形状的桌面为例，结合问题一和二中建立的数学模型，求出最优设计参数并用画出折叠桌的动态变化过程图。：参数模型参数曲线非线性约束优化多目标优化模型1一、问题的重述某公司出一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面，造型美观，试建立数学模型解决下列问题：1. 给定长方形平板为 120

4、cm × 50 cm × 3 cm ，每根木条宽 2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计的数学描述。参数和桌脚2. 折叠桌的设计应做到稳固性好、方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计参数，例如，平板、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚的大致

5、形状，给出所需平板材料的形状和切实可行的最优设计参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。二、问题分析2.1 问题一：为得到动态变化过程的函数，先以桌面中点为中心 O 建立空间直角坐标系，将桌高、各木条长等用参数方程表示。通过三角函数建立参数方程得到桌面边缘铰交接处各点的坐标，再根据折叠桌的高度 h 与最外侧桌腿长度在三角形中的几何关系可求出最外侧的桌腿上钢筋固定点的坐标，进而推出各木条与钢筋的交点坐标。然后利用相似三角形性质化桌脚边缘点的坐标，

6、最后通过桌面边缘铰交接处、木条与钢筋的交点和桌脚三者的函数关系式来描述折叠桌的动态变化过程。由各个交点坐标和三角关系可以推导出各个桌腿的长度、最外侧桌腿与接触面夹角、每条桌腿的开槽长度 S 等参数。2.2 问题二：对进行参数优化设计，使它兼具稳定性好、方便、用材最少等特点。稳定性好要求重心低，可以假设重心，把重心的数学确定方法转为空间坐标和质量的关系。又因为为木板，材质均实，质量和面积是成正比的，所以这里就有面积代替了质量。方便主要分为对木条空槽的 和需要安装得铰链个数, 由于木条的总数一定2铰链个数不变,所以木条空槽总长度最小，越简单。用材最少即所用木板面积最小，由于木板宽度就等于桌面圆直径

7、，当桌面高度和桌面直径固定时，用材最少取决于最外侧桌腿的长度。在满足桌子牢固和平衡的条件下尽量让木板材料最省，在此基础上使得工艺最简单，建立目标函数进行求解。2.3 问题三：为了满足客户需求，本文将原先的圆形桌面推广成任意形状的桌面，由于桌面变化会引起各个木条长度分布的变化进而影响桌脚，所以顾客给定的桌脚形状可以转化为对桌面形状的研究。而桌面高度则由最外侧桌腿长度及其与地面夹角a 决定。本文以圆形、菱形形状的桌面为例，结合第一问和第二问中建立的数学模型，解出a 和k ，得到设计参数并画出动态变化过程示意图。三、模型假设假设折叠桌的木条之间无缝隙，不影响折叠时的灵活性；假设折叠桌的木条上的开槽的

8、宽度与钢筋假设桌面与木条连接处的强度一致； 假设木条密度均匀。一致，不考虑开槽宽度的影响；假设不考虑开槽位置对整根木条的强度的影响，认为整根木条各处强度一致； 假设在分析折叠桌受力时，忽略其自身的重力。四、符号说明3符号意义a桌面宽度h桌面高度d桌面厚度L长方形木板长度li从 y 轴正向开始数第i 调木条的长度( x1i , y1i , z1i )桌面边缘铰接处各点坐标( x2i , y2i , z2i )桌腿上钢筋固定点坐标五、模型的建立与求解5.1 问题一：5.1.1 建立模型1.建立桌脚的参数化模型以桌子背面为 xoy 平面，垂直桌面向下方向为 z 轴正向的空间直角坐标系。其中i 为从

9、y 轴正向开始数的第i 根木条，长度cm。图 1设钢筋固定距最外侧桌腿触地端的距离 CE 为最外侧桌腿长度l1 ,的k 倍4( x3i , y3i , z3i )桌脚边缘点的坐标s开槽长度r圆形桌面的半径q桌面边缘铰接点和原点的连线与 x 轴夹角a桌腿i 的长度以及最外侧桌腿与接触面夹角图 2跟据平行线性质对应线段成比例可以得到CEk, CE= k（1）AC1- k AE图 3（1）桌面边缘铰接处参数方程由图可知桌面边缘铰接处各点( x1i , y1i , z1i ) 坐标。= r cosqiìx1iï y= r sinq= 0í（2）1iiïz

10、8; 1il 表示从 y 轴正向开始数第i 调木条的长度, l = L - r cosqiii2其中r 是圆形桌面的半径，q 是桌面边缘铰接点和原点的连线与 x 轴夹角， 相应地可知桌腿 i 的长度以及最外侧桌腿与接触面夹角 为a = arcsin h - d（3）li其中h 为桌高， d 为桌厚， L 为长方形木板的总长。（2）桌腿上钢筋固定点参数方程5根据相似三角形和勾股定理可求出桌腿上钢筋固定点坐标( x2i , y2i , z2i )ìxæ L - r cosq- h - dö= (1- k )()2ïç 2i ÷2i

11、2;øïï y= r sinq（4）íï2iiïïî z2i参数方程= (1- k )(h - d )（3）桌脚设各桌脚边缘点的坐标( x3i , y3i , z3i )且由于 A( x1i , y1i , z1i )B ( x2i , y2i , z2i )C ( x3i , y3i , z3i )由图可知DABCDADE ,ABAC = BC则根据相似三角形性质= 1- k ，可得桌脚参数方程如下：ADAEDEìïéùúúû( L - r c

12、osq ) êr(cosqiæ L - r cosq- h - dö- cosq ) - (1- k )()2ç 2i ÷i12èøïxêë= r cosq -ïïïïï3iiö2æçæ Lör(cosqi - cosq1 ) - (1- k )()+ (1- k)(h - d )- r cosq- h - d2÷2çi ÷ç÷è2

13、48;èø(5)ïï y= r sinqí 3iïïïi(1- k )(h - d ) ( L - r cosq )ïzi2=ï3i ö2ïïïæçæ L - r cosq- h - dö- cosq ) - (1- k )()+ (1- k)(h - d )2r(cosq2÷ç 2i ÷çi1÷èøèøïî

14、（4）桌腿木条开槽的长度当折叠桌平稳触地时，每根木条与钢筋的交点就是各个木条上滑槽的一个端点，另一端点均位于距离桌腿末端长度kl1 ，由于对称性，i - 2 个木条开槽的各个长度可看作关于中间最短木条成中心对称的长度之差，得到各个木条开槽的长度s 表如下:s = k æ L -)2 + ( y - y )2 + (z - z)2(6)ç 23i2i3i2i2ièø65.1.3 模型求解根据公式（6）以及给定的长方形平板长宽高 120 cm × 50 cm × 3 cm ，每根木条宽 2.5 cm，折叠后桌子的高度为 53 cm 为例，

15、可以得到 1 个桌子 20 条桌腿的开槽长2度，如下表所示：表一 开槽长度根据公式（5）利用勾股定理得到qi 。算出各点坐标拟合得到桌脚边缘各点座标为ìïï( x1i - x2i ) + ( z1i - z2i )2ïy= y（7）í3i1iïz - zïz3i =z1i -1i2i.l11ï( x)()2- x+ z - zî1i2i1i2i连接桌脚边缘的各个点即可得到桌脚，通过绘制桌脚边缘曲线函数图如下：图 4 桌脚边缘曲线函数图如果想得到动态变化过程图像，可以直接利用桌面边缘铰接处的坐标、木条与钢筋

16、的交点的坐标表示出桌脚上各点的坐标，通过三者的函数关系式来描述折叠桌的动态变化过程。然后我们知道不同折叠桌每一时刻的形状都与a 有关，所以当我们改变a 的角度即7木条序号12345678910开槽长度05.36338.729711.19213.07214.51915.61216.39916.91017.1木条序号11121314151617181920开槽长度17.116.91016.39915.61214.51913.07211.1928.7295.3630可看出折叠桌的动态变化过程.绘制折叠桌在变化过程中的图像，如图 8（16）所示8-18-28-38-48-58-6图 5 折叠桌变化过程

17、图5.2 问题二：5.2.1 模型准备结构稳定性是指结构在负载的作用下维持其原有平衡状态的能力，即受外力后恢复原有平衡状态的能力。 对影响折叠桌结构稳定性的三个主要因素进行分析：重心的高低影响结构的稳定性，结构重心越低越稳定； 支撑面的大小影响结构的稳定性，结构的支撑面越大越稳定； 结构的形状影响结构的稳定性。重心，物体各部分所受重力之合力的作用点。物体的每一微小部分地心引力作用（见万有引力），这些引力可近似地看成为相交于地心的汇交力系。如果物体的体积和形状都不变，则无论物体对地面处于什么方向，其所受重力总是通过固定在物体上的坐标系的一个确定点，即重心。是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组

18、成支点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。物体重心位置的数学确定方法：在某物体（总质量为 M）所在空间任取一确定的空间直角坐标系，则该物体可(xi , yi, zi )m出i 个质点，每个质点对应各自坐标及质量i+ mi ，设该物体重心为G ( x, y, z ) 则已知M = m1 + m2 +8= ( x1m1 + x2m2 + ximi )XMY = ( y1m1 + y2m2 + yimi )MZ = ( z1m1 + z2m2 + zimi )M5.2.2 建立模型1、对于稳固性，我们假设重心为 ZG ，（由对称性1/4 桌子的重心也为 ZG ），1

19、- ZGh，相对位置越低，稳定性越强，h 可当做常数，故ZG由此可以得到重心的相对位置越大稳定性越高。又因为密度为常数且厚度均一，故可用面积来表示质量，得到目标函数n2d å(z3i × li )max =i=1L × b（8）（其中b 为木板宽度， d 为木条宽度）对于约束条件，（1）滑槽长度不超过钢筋固定点到桌面的距离，即桌面能平稳放置。æ Lö12S +- x× k<ç÷n2æ n ö21ç 2 ÷èø øè（2）桌脚不能高

20、于桌面0 < z3i < h（3）桌子两边最短的桌腿不相交x3i ³ 0（4）桌腿与地面的夹角不超过 90 度，保证桌子稳定放置0 £ a £ 90p2、对于耗材量主要研究木板面积，由于给定桌面直径，木板宽度确定，所以耗材量取决于最外木腿长度，由此建立目标函数9hminsin a（9）（其中h 为桌面边缘铰接处到地面的距离）3、对于做工，由于木条的总数一定铰链个数不变,所以木条空槽总长度最小， 简单。由此建立目标函数越min å k æ L -n)2 + ( y - y )2 + (z - z)2ç 23i2i3i2i2i

21、èø（10）i=1y 轴最远的的第 n 根杆对应的桌面圆边界，实际当中空槽不由于钢筋位置不能超过距离可能从固定钢筋延伸到桌面边缘交接处，所以空槽长度与钢筋固定点到桌脚边缘距离之和要小于木条长度。我们可以建立以下总模型及其约束条件（同上）：n2d å(z3i × li ) h sin an+ 0.33å(k(-min = 0.33)2 + ( y - y )2 + (z - z )2 ) - 0.34i=13i2i3i2i3iL × b2i=1ìS+ ( L - x) × k < 1ïn21( n )

22、22ï2ï0 < z< hS.T.3i³ 0íïx3iï180pï0 £ a £î（11）5.2.3 模型求解0 £ a £ 90现在由已知条件可知 h = 70 cm，b = 80cm,d=2.5。根据日常生活常识可知p，即保证中利用桌腿在展开方向上跨度大于等于木板宽度. 所以对模型进行了优化。然后在fgoalattain 函数对这多目标模型进行求解：得到的结果是a =1.107，也就是 65.49 度，所以我们可以知道l1 =76.34 cm。可以算出 L=1

23、80.5a 和 k 带入问题一的模型，可以得到每个开槽长度为：开槽长度表 1cm。然后 k=0.47，所以10i12345678开槽长度07.6912.5316.6820.3123.5426.4129.02i910111213141516开槽长度31.0633.1434.7236.0837.2138.0938.6139.02i1718192021222324开槽长度39.0238.6138.0937.2136.0834.7233.1431.06在的情况下钢筋终点的为：钢筋终点表 25.3 问题三：5.3.1 建立模型桌面为任意外凸曲线，即可满足平板折叠后的稳固性要求，为了满足客户需求，本文将原

24、先的圆形桌面推广成任意形状的桌面，由于桌面变化会引起各个木条长度分布的变化进而影响桌脚，故我们进行对于桌面形状及其参数的研究。结合第一问和第二问中建立的数学模型可进行优化求解。本文以传统圆形和菱形两种桌面为例：设计一：桌面边缘为圆形时离散图如下所示，桌面大小由半径r 决定圆形桌面图 6设计二：桌面边缘为菱形时离散图如下所示，桌面大小由对角线r 决定：11i12345678钢筋终点43.936.2131.3727.2223.5920.3617.4914.88i910111213141516钢筋终点12.8410.769.187.826.695.815.294.88i171819202122232

25、4钢筋终点4.885.295.816.697.829.1810.7612.84i2526272829303132钢筋终点14.8817.4920.3623.5927.2231.3736.2143.9i2526272829303132开槽长度29.0226.4123.5420.3116.6812.537.690菱形桌面图 7然后调用问题二的数学模型可得出最优设计参数，根据参数可画出每种设计的动态变化过程。参考桌子设计对健康的影响一文，了解到最适的桌子高度为 6771cm 左右，因此我们在此假设商家所给的高度为 67 和 71 cm。而桌角在此主要是为了让我们求出木板的宽度，所以我们直接采用桌子设

26、计参数可得，桌子的宽度一般为 80 cm，所以我们这里直接采用桌子的宽度为 80 cm。下面分别把两种情况带入问题二模型中进行求解。5.3.2 模型求解1.设计一对于我们设计的设计一，（如图 9）这里我们采用高为 67cm，宽为 80cm，然后我们依然采用木板宽为 2.5cm。在利用我们在问题二中建立的多目标模型，带入我们的，即可得到a =1.087，也就是 63.32345 度，所以我们可以知道l1 =72.3 cm。可以算出 L=158.5194cm。然后 k=0.54。再次带入到问题一里的参数化模型中，即可得到参数如下：12参数表 3i12345678空槽下界37.44237.44263

27、7.442637.442637.442637.442637.442637.4426空槽长度06.988111.547915.047217.889220.260222.264423.9670桌面长度19.84333.819442.938949.937555.621560.363564.372067.7772i910111213141516空槽下界37.44237.442637.442637.442637.442637.442637.442637.4426空槽长度25.41126.628927.640928.463829.109729.587129.902330.0589桌面长度70.66673.

28、101075.124976.770878.062579.017479.647779.9609i1718192021222324空槽下界37.44237.442637.442637.442637.442637.442637.442637.4426空槽长度30.05829.902329.587129.109728.463827.640926.628925.4117桌面长度79.96079.647779.017478.062576.770875.124973.101070.6665i2526272829303132空槽下界37.44237.442637.442637.442637.442637.44

29、2637.442637.4426空槽长度23.96722.264420.260217.889215.047211.54796.98810桌面长度67.77764.372060.363555.621549.937542.938933.819419.8431然后我们可以用绘制折叠桌在变化过程中的图像，如下图 11 所示：13圆形桌变化过程图 112.设计二这个设计的主要思路与设计一是相同的，但是高度改为 71cm，宽度为 80cm。然后就可以带入三目标模型之中。可以得到：a =1.103，也就是 64.8351 度，所以我们可以知道l1 =87.9406 cm。可以算出 L=178.768cm，k

30、=0.43。上述数据带入参数化模型中，但是要将 x1 的表进行改写：= (40 - abs( y1i ) ×80x1i3 × 40得到参数模型改，再次带入数据，可以得到以下结果：参数表 4i12345678空槽下界37.814537.814537.814537.814537.814537.814537.814537.8145空槽长度02.88685.77358.660311.540714.433817.320520.2073桌面长度2.88668.660214.433620.207224.990331.754237.527643.3012i910111213141516空槽

31、下界37.814537.814537.814537.814537.814537.814537.814537.8145空槽长度23.094025.980828.867531.754334.641037.527835.214432.3277桌面长度49.074654.848260.621666.395272.168677.942283.715889.489214i1718192021222324空槽下界37.814537.8145 37.814537.814537.814537.814537.814537.8145空槽长度32.3277355.2144 37.527834.641031.75432

32、8.867525.980823.0940桌面长度89.489283.715877.942272.168666.395260.621654.848249.0746i2526272829303132空槽下界37.814537.814537.814537.814537.814537.814537.814537.8145空槽长度20.207317.320514.433811.54708.66035.77352.88680桌面长度43.301237.527631.754224.990320.207214.43768.66022.8866然后我们可以用绘制折叠桌在变化过程中的图像，如下图 12 所示：菱形

33、桌变化过程图 12六、模型的评价优点：1 模型简洁，能够准确的描述折叠桌的曲面形状，对于问题一和问题三中的设计方15案，都用画出动态图，可以清晰生动的反映出折叠桌的动态变化过程。2 对钢筋固定点的位置分析和开槽长度模型的建立对生产具有实用价值。3 从几何约束、力学、材料等多角度考虑折叠桌的设计优化问题，比较全面，使模型更加接近实际情况，增强了模型的可行性与应用性。4 本文角度灵活、解题思路新颖，问题二中将用材最少转为木板面积最少进而推到最外侧桌腿长度最短问题，即最大值的最小值问题。缺点：1. 本文只考虑到折叠桌的稳定性、开槽长度限制等影响因素可能不太全面。假设桌脚与地面摩擦力足够大且桌面上放一

34、重物，没有考虑此时桌面的受力情况和稳定性的改变。2. 问题二中对稳固性、方便、耗材量三项指标赋予权重相同具有性，对于不同市场的公司不一定适用，如高端市场的公司可能更重视稳固性美观性，生产方便度和耗材相对不那么重视。七、模型的改进与推广7.1 模型的改进1. 建立每根木条与桌面的倾角方程q ( xi ) 然后分析q ( xi ) 导数的变化趋势，从而分析桌面的受力情况和稳定性。.2. 问题二对做工方面可以更加简洁的转为最长空槽长度的最短问题，即用最中间的最短桌角与最外侧桌腿钢筋固定点到桌脚距离之差最小， 即建立目标函数min( z31 - z11 ) - z i233.目标函数的 3 个方程，看

35、成 3 个元素，共同一个 3 维的向量因为 3 个函数均为连续函数，所以在选取领域，让其在规定范围内随机选取一个点作为该已知点的领域解是否为最优，只有维向量的每一个元素（即每一个目标函数）均小于当前解，选取的领域为新的最优解，可跳 出这属于“多目标模拟退火”同时本文采用算法决定跳出局部最优解的概率。4.将木条的宽度，厚度加入问题二关于用量多少的函数中，可以进一步描述耗材的具体数量。7.2 模型推广本模型不仅可以用来解决给定的平板折叠桌的设计参数问题，还可以根据给定的任意形状给出参数设计方案，为相关软件的编写做了基础性的建模工作。该模型可推16广到其他折叠家具的设计生产过程中，也可以应用在工业中

36、类似的折叠机构的设计过程。八、参123陈叔平，让数学建模更富,更有活力，浙江，数学建模及其应用，2013-03-15，数学模型（第二版），北京：高等教育,1993。，复旦大学数学科学学蔡志杰，基，培养具有养的通识院，2013-02-154，大学生数学建模竞赛辅导，长沙：湖南教育， 19935韩佳成, Van Embricqs, R. (2012) 平板折叠边桌. 设计, 8.24.67，基于期刊网的非线性问题的求解，计算机与数字工程，2013 年8折叠纸盒三维动画设计作者: 06 期来源:印刷技术· 包装装潢2015年第9.几何M北京:高等教育，1988，17九、附录18问题一：T1

37、22.Mclear clc L=120; h=53; d=3; r=25; n=20;kuan=2.5; k=0.5;for i=1:20y1(i)=(n+1)*kuan/2-kuan*i; z1(i)=0;x1(i)=(r2-y1(i)2)0.5;endfor i=1:20leg(i)=L/2-x1(i);endfor i=1:20x2(i)=(1-k)*(leg(1)2-(h-d)2)0.5+x1(i); y2(i)=y1(i);z2(i)=(1-k)*(h-d);endfor i=1:20x3(i)=x1(i)-(x1(i)-x2(i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i

38、)2)0.5*leg(i); y3(i)=y1(i);z3(i)=z1(i)-(z1(i)-z2(i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i)2)0.5*leg(i);endfor i=1:20D=(x2(i)-x3(i)2)+(y2(i)-y3(i)2+(z2(i)-z3(i)2)0.5;s(i)=k*leg(1)-D;end sl=60-kuan; k=l/2; h=45;theta=asin(h/l); x2=k*cos(theta)*ones(1,20)+kuan; z2=k*sin(theta)*ones(1,20)+kuan;19%zhuobian dao gangj

39、in de juli:for i=1:20dis(i)=norm(y1(i),x1(i),z1(i)-y2(i),x2(i),z2(i); end%kaicang dao banbian de juli:for i=1:20margin(i)=60-x1(i)-dis(i); end%muban dingdian zuobiao for i=1:20 k=(margin(i)+dis(i)/dis(i);y3(i)=y1(i)+k*(y2(i)-y1(i);x3(i)=x1(i)+k*(x2(i)-x1(i);z3(i)=z1(i)+k*(z2(i)-z1(i); endfigure(1);

40、hold on; plot3(y1,x1,z1,'.','LineWidth',2);plot3(y2,x2,z2,'k','LineWidth',2); for i=1:20line(y1(i),y2(i),x1(i),x2(i),z1(i),z2(i),'LineWidth',2);line(y3(i),y2(i),x3(i),x2(i),z3(i),z2(i),'LineWidth',2); endfigure(1); hold on;plot3(y1,-x1,z1,'.',&

41、#39;LineWidth',2);plot3(y2,-x2,z2,'k','LineWidth',2); for i=1:20line(y1(i),y2(i),-x1(i),-x2(i),z1(i),z2(i),'LineWidth',1,'Color',.2 .2 .2);line(y3(i),y2(i),-x3(i),-x2(i),z3(i),z2(i),'LineWidth',1,'Color',.2 .2 .2); endplot3(y1,x1,z1,'r',

42、9;LineWidth',2)plot3(y1,-x1,z1,'r','LineWidth',2);line(y1(1),y1(1),x1(1),-x1(1),z1(1),z1(1),'LineWidth',2);line(y1(20),y1(20),x1(20),-x1(20),z1(20),z1(20),'LineWidth',2)view(3) X,Y,Z=sphere(30);X=25*X;Y=25*Y;Z=zeros(31);surf(X,Y,Z); colormap(cool); alpha(0.2) shad

43、ing interp; axis equal;axis off;问题二，多目标模型求解：T2.m20clear clc h=70; d=3; r=40; n=32;syms a k L=h/sin(a); kuan=2.5; for i=1:32y1(i)=(n+1)*kuan/2-kuan*i; z1(i)=0;x1(i)=(r2-y1(i)2)0.5;endfor i=1:32leg(i)=L/2-x1(i);endfor i=1:32x2(i)=(1-k)*(leg(1)2-(h-d)2)0.5+x1(i); y2(i)=y1(i);z2(i)=(1-k)*(h-d);endfor i=

44、1:32x3(i)=x1(i)-(x1(i)-x2(i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i)2)0.5*leg(i); y3(i)=y1(i);z3(i)=z1(i)-(z1(i)-z2(i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i)2)0.5*leg(i);end x0=0,0;goal=70,0,0; w=0.33,0.33,-0.34; lb=0,0;ub=90/pi,1;xpot,fpot=fgoalattain(zhouziMB,x0,goal,w,lb,ub,zhouziYS)问题二子程序 1zhouziMB.mfunction f=zhouziMB(

45、x) a=x:0.01:90/pi; k=x:0.01:1;h=70;f(1)=h/sin(a); d=3;r=40; n=32;L=h/sin(a);kuan=2.5;21for i=1:32y1(i)=(n+1)*kuan/2-kuan*i; z1(i)=0;x1(i)=(r2-y1(i)2)0.5;endfor i=1:32leg(i)=L/2-x1(i);endfor i=1:32x2(i)=(1-k)*(leg(1)2-(h-d)2)0.5+x1(i); y2(i)=y1(i);z2(i)=(1-k)*(h-d);endfor i=1:32x3(i)=x1(i)-(x1(i)-x2(

46、i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i)2)0.5*leg(i); y3(i)=y1(i);z3(i)=z1(i)-(z1(i)-z2(i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i)2)0.5*leg(i);endf(2)=k*(L/2-x1(1)-(x2(16)-x3(16)2+(z2(16)-z3(16)2)0.5;f(3)=2*d*sum(z3*leg)/L*b;问题二子程序 2ZhouziYS.mfunction f=zhouziYS(x) a=0:0.01:90/pi; k=0:0.01:1;h=70; d=3; r=40; n=32;L=h/sin(a

47、); kuan=2.5; for i=1:32y1(i)=(n+1)*kuan/2-kuan*i; z1(i)=0;x1(i)=(r2-y1(i)2)0.5;endfor i=1:32leg(i)=L/2-x1(i);endfor i=1:32x2(i)=(1-k)*(leg(1)2-(h-d)2)0.5+x1(i); y2(i)=y1(i);z2(i)=(1-k)*(h-d);end22for i=1:32x3(i)=x1(i)-(x1(i)-x2(i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i)2)0.5*leg(i); y3(i)=y1(i);z3(i)=z1(i)-(z1(i

48、)-z2(i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i)2)0.5*leg(i);endg(1)=k*(L/2-x1(1)-(x2(16)-x3(16)2+(z2(16)-z3(16)2)0.5-(L/2-x1(16)*(1-k); g(2)=-x3(i);g(3)=z3(i)-h; g(4)=a-90/pi;g(5)=k-1;ceq=;问题三设计一T3.mclear clcglobal w h a W x lamda;w=2.5;h=67-3;a=1;W=80;lamda=5; r=40; x=2.5:2.5:40'%8xing, gaiwei:%w=2.5;h=70-3

49、;a=1;W=90;lamda=5;%x=2.5:2.5:45'ts0=pi/4,h/2; lb=0,0;ub=pi/2,h; ts=fmincon(objfun,ts0,lb,ub,confun) function c,ceq=confun(ts)%ts=theta,s;global w h a W r x lamda; l=w+h/sin(ts(1);d=l-ts(2); q=sqrt(r.2-x.2);len=sqrt(d2-+w2+r2-x.2-2*(d*cos(ts(1)+w)*q+2*d*w*cos(ts(1)+q-d-w; c=a*W-2*(w+h*cot(ts(1);-

50、(q+(d*cos(ts(1)+w-q).*(l-q)./sqrt(d2-+w2+r.2-x.2-2*(d*cos(ts(1)+w)*q+2*d*w*cos(ts(1); len-ts(2)+lamda;ceq=;function f=objfun(ts) f=-sin(ts(1);%di er mubiao%l=w+h/sin(ts(1);%d=l-ts(2);23%q=32.5-abs(x);%len=sqrt(d2-+w2+q2-2*(d*cos(ts(1)+w)*q+2*d*w*cos(ts(1)+q-d-w%f=sum(len);设计一动态图：clc L=158.5194; h=67

51、;d=3; r=40; n=32;kuan=2.5; k=0.54;for i=1:32y1(i)=(n+1)*kuan/2-kuan*i; z1(i)=0;x1(i)=(r2-y1(i)2)0.5;endfor i=1:32leg(i)=L/2-x1(i);endfor i=1:32x2(i)=(1-k)*(leg(1)2-(h-d)2)0.5+x1(i); y2(i)=y1(i);z2(i)=(1-k)*(h-d);endfor i=1:32x3(i)=x1(i)-(x1(i)-x2(i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i)2)0.5*leg(i); y3(i)=y1(i

52、);z3(i)=z1(i)-(z1(i)-z2(i)/(x1(i)-x2(i)2+(z1(i)-z2(i)2)0.5*leg(i);endfor i=1:32D=(x2(i)-x3(i)2)+(y2(i)-y3(i)2+(z2(i)-z3(i)2)0.5;s(i)=k*leg(1)-D;end sDl=79.8297-kuan; k=0.54;h=67;x2=x2(1).*ones(1,32);%zhuobian dao gangjin de juli: for i=1:3224dis(i)=norm(y1(i),x1(i),z1(i)-y2(i),x2(i),z2(i); end%kaicang dao banbian de juli:for i=1:32margin(i)=79.8297-x1(i)-dis(i); end%muban dingdian zuobiao for i=1:32 k=(mar