北邮版概率论答案(3)

1、WORD格式习题三1.将一硬币抛掷三次，以 X 表示在三次中出现正面的次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出 X 和 Y 的联合分布律.【解】 X 和 Y 的联合分布律如表：X0123Y101111321110C32228C32223/ 831001111822282.盒子里装有3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取4只球，以 X 表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红球的只数.求 X 和 Y 的联合分布律 .【解】 X 和 Y 的联合分布律如表：X0123Y000C32 C223C33 C122C7435C743510C13 C12 C226C32

2、 C12 C12 12C33 C122C435C435C4357772P(0 黑,2 红,2 白)=C13 C22 C126C32 C2230C22 C22 / C741C7435C7435353.设二维随机变量X， Y的联合分布函数为F x， y =sin x sin y,0x2,0y 20,其他 .求二维随机变量X， Y在长方形域0 y内的概率 .x,634【解】 如图 P0 X Y4,公式 (3.2)63 F ( F (0,F (0,F (, ),)3)43466专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式sinsinsin sin6sin 0 sinsin 0 sin434362

3、 (31).4题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量X，Y的分布密度Ae(3x 4 y) ,x0, y0,f x， y =0,其他 .求： 1 常数 A；（ 2 随机变量 X，Y的分布函数；（ 3 P0 X<1， 0Y<2.【解】 1 由f ( x, y)dxdyAe-(3 x 4y )dxdyA10012得 A=12 2 由定义，有yxF ( x, y)f (u, v)dudvyy(3 u 4v)dudv (1 e3x )(1 e 4 y )y 0, x 0,012e00,其他0,(3) P0 X 1,0 Y 2P0 X1,0 Y212(3 x 4 y )d

4、xdy(1e 3 )(1e 8 )0.9499.012e05.设随机变量 X，Y的概率密度为fx， y =k (6x y),0x 2, 2 y 4,0,其他 .（ 1 确定常数 k；（ 2 求 P X1，Y3 ；（ 3 求 P X<1.5 ；（ 4 求 P X+Y4.【解】 1 由性质有专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式24f ( x, y)dxdyk(6 x y)dydx 8k 1,02故1R82P X 1,Y313f ( x, y)dydx13 13k(6 xy)dydx02 88(3) P X1.5f (x, y)dxdy如图 a f ( x, y)dxdyx 1.

5、5D1专业资料整理WORD格式1.54 1dx(6 x y)dy028(4) PX Y 4f ( x, y)dxdy如图 b27.32f ( x, y)dxdy专业资料整理WORD格式XY424xdx02D21(6 x y)d y2 .83专业资料整理WORD格式题 5 图6.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在 0，0.2上服从均匀分布，Y 的密度函数为5e5 y,y 0,fY y =其他 .0,求： 1 X 与 Y 的联合分布密度； 2 P YX.题 6 图【解】 1 因 X 在 0， 0.2上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1 , 0x 0.2,f X ( x)0.20,其

6、他 .而专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式fY ( y)5e 5 y ,y0,0,其他 .所以f (x ,y)X Y,独立 fXx( f)y ()Y15e5 y25e5 y,0x且y0,0.20.20,其他 .0,(2) P(YX )f ( x, y)dxdy如图25e 5 ydxdyy xD0.2x0.2( 5e 5x5)dx0dx25e-5ydy00=e-10.3679.7.设二维随机变量X， Y的联合分布函数为F x， y =(1e 4 x)(1e 2 y),x0, y0,0,其他 .求 X， Y的联合分布密度 .【解】 f (x, y)2 F ( x, y)8e (4

7、x2 y) ,x0, y0,x y0,其他 .8.设二维随机变量X， Y的概率密度为f x，y =4.8y(2x),0x1,0yx,0,其他 .求边缘概率密度.【解】()( ,)df Xxf x yyx4.8y(2x)dy2.4x2 (2x),0x1,= 00,0,其他 .fY ( y)f ( x,y) dx1x)dx2.4 y(3 4yy2 ), 0 y 1,=4.8 y(2y0,0,其他 .专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式题8图题9图9.设二维随机变量X， Y的概率密度为e y ,0xy,fx， y =0,其他 .求边缘概率密度.【解】()( , )df Xxfx yy=

8、xe ydye x,x 0,0,其他.0,fY ( y)f (x, y)dxye ydxye x ,y 0,=00,其他.0,题 10图10.设二维随机变量X， Y的概率密度为cx2 y, x2y 1,f x，y =其他 .0,（ 1 试确定常数 c；（ 2 求边缘概率密度 .【解】 1f ( x, y)dxdy如图f (x, y)dxdyD112 ydy4 c 1.= dxx2 cx-12121得.c4(2)f X ( x)f ( x, y)dy专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式221 x2 ydy21x2 (1x4 ),1 x 1,1x480,0,其他.f Y ( y)f

9、( x, y)dxy21 x2 ydx7 y25,0 y1,0,y420,其他.11.设随机变量 X， Y的概率密度为1,yx, 0x1,f x， y=0,其他 .求条件概率密度fYX y x， fXY x y .题 11图【解】()( ,)df Xxf x yyx1dy2x, 0 x 1,x0,其他 .11y,1y0,1dxyfY ( y)f ( x, y)dx11y,0y1,1dxy0,其他 .所以f ( x, y)1| y | x 1,fY |X ( y | x)2 xfX (x)0,其他 .专业资料整理WORD格式6专业资料整理WORD格式1,y x 1,1yf ( x, y)1,y

10、x 1,f X |Y (x | y)1fY ( y)y0,其他 .12.袋中有五个1， 2，3，4，5，从中任取三个，记这三个中最小的为X，最大的为 Y.（ 1 求 X 与 Y 的联合概率分布；（ 2 X 与 Y 是否相互独立？【解】 1 X 与 Y 的联合分布律如下表Y345P X xi X1112233610C5310C5310C5310201122310C 5310C531030011110C5210P Yyi136101010(2)因PX1PY61611,Y3,310100P X1010故X与Y不独立13.设二维随机变量X， Y的联合分布律为X258Y0.40.150.300.350.

11、80.050.120.03（ 1求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；（ 2 X 与 Y 是否相互独立？【解】 1 X 和 Y 的边缘分布如下表YX258P Y=yi 0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2P Xxi 0.20.420.38专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式(2) 因P X 2 PY 0.40.20.8 0.160.15P( X2, Y0.4),故X与Y不独立 .14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在 0，1上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Yy =1 ey / 2,y 0,2其他 .0, 1求 X 和 Y 的联

12、合概率密度； 2 设含有 a 的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 .y1,0x 1,f Y ( y)1e 2,y 1,【解】 1 因fX( x)其他 ;20,0,其他 .故 f ( x, y) X ,Y独立 f X (x) fY ( y)1 ey / 20x1, y0,20,其他 .题14图(2) 方程a22XaY0 有实根的条件是(2X )24Y0故X2Y，从而方程有实根的概率为：P X2Yf ( x, y)d xdyx2y1x21ey/ 2dydx20012(1)(0)0.1445.15.设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命以小时计，并设 X 和 Y 相互独

13、立，且服从同一分布，其概率密度为f x=1000 ,x1000,x20,其他 .专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式求 Z=X/Y 的概率密度 .【解】 如图 ,Z 的分布函数FZ() XzP ZzPzY(1) 当 z0时，FZ(z)0（ 2 当 0<z<1 时，这时当 x=1000 时 ,y= 1000 (如图 a)zFZ (z)1062 dxdy103dyyz1062 dxx2y103x2yxzyz= 103103106zy2zy3dyz2题 15 图(3) 当 z1时，这时当 y=10 3时， x=10 3z如图 bFZ (z)106dxdy3 dyzy1062

14、 dxx x2y210103x2yyz=103106dy11103y232zzy11 ,z1,2z即fZ ( z)z ,0z1,20,其他 .1,z1,2z2故f Z ( z)1 ,0z 1,20,其他 .16.设某种型号的电子管的寿命以小时计近似地服从 N160，202分布 .随机地选取 4 只，求其中没有一只寿命小于 180h 的概率 .专业资料整理WORD格式9专业资料整理WORD格式【解】 设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4) ，那么 XiN 160， 202，从而Pmin( X1, X 2 , X 3 , X 4 ) 180 Xi之间独立 P X1 180 P X 2 180P

15、X3180 P X 4 1801P X180 1PX 180P 1X1 8P0 X 1180 123441P X1180 41180160201(1)4(0.158) 40.00063.17.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P X=k= p k， k=0， 1， 2，P Y=r= q r， r =0，1， 2，.证明随机变量Z=X+Y 的分布律为iP Z=i=p(k)q(ik) ，i=0，1，2，.k0【证明】 因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数，所以 Zi XYi X0, Yi X1,Yi1 Xi, Y0于是iiP ZiP Xk, Yik X ,Y相互独立P Xk P Y

16、ikk0k0ip(k )q(ik )k018.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p 的二项分布 .证明 Z=X+Y 服从参数为 2n， p 的二项分布 .【证明】 方法一： X+Y 可能取值为0，1， 2， 2n.kP XYkP Xi, Ykii0专业资料整理WORD格式10专业资料整理WORD格式kP( Xi ) P Yki专业资料整理WORD格式i 0ki 0ki0nin ink iqn k iip qpk innpkq2n kiki专业资料整理WORD格式2np k q2 n kk方法二：设 , ，均服从两点分布参数为np，那么1,2,n;,12， Y=+ +,+X=

17、1+2n12nX+Y=1+2+n+1+2 +n,所以， X+Y 服从参数为2n,p)的二项分布 .19.设随机变量X， Y的分布律为X012345Y000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1) 求 P X=2Y=2 ， P Y=3 X=0 ；（ 2 求 V=max X， Y的分布律；（ 3 求 U =min X， Y的分布律；（ 4 求 W=X+Y 的分布律 .【解】 1P X2 |YP X2,Y22PY2P X2,Y20.05150.25

18、,P Xi ,Y22i0P Y3| XPY3, X00P X03P X0, Y30.011 ;P X0, Y j0.033j0 2PVi Pmax( X ,Y )i P Xi ,Yi P Xi ,Yii1iP Xi ,YkP Xk ,Yi,i0,1, 2,3, 4,k0k0专业资料整理WORD格式11专业资料整理WORD格式所以 V 的分布律为V=max( X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3)PUi Pmin( X ,Y )iP Xi ,Yi P Xi ,Yi35i0,1, 2,3P Xi,YkP Xk,Yik ik i1于是U=min( X,Y)0123P0

19、.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点X， Y在屏幕上服从均匀分布 . 1 求 P Y0YX；（ 2 设 M=max X， Y ，求 P M 0.题 20 图【解】 因 X， Y的联合概率密度为1222f (x, y)R2,xyR ,0,其他 .PY0, YX 1PY 0|Y XPYXf (x, y)dy 0 y xf (x, y)dy xR1r drdR2/ 405R1r dr4 dR2/ 40专业资料整理WORD格式12专业资料整理WORD

20、格式3/ 831/ 2;4(2) P M 0 Pmax( X ,Y)0 1 Pmax( X ,Y ) 01P X 0,Y 0 1f ( x, y)d1 13 .x 044y 021.设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0， x=1,x=e2 所围成，二维随机变量X，Y在区域 D 上服从均匀分布，求X， Y关于 X 的边缘概率密度在x=2 处的值为多少？题 21 图【解】 区域 D 的面积为S0e21 dxln x 1e22. X,Y的联合密度函数为1xf ( x, y)1 ,1 xe2 ,0 y1 ,2x0,其他. X， Y关于 X 的边缘密度函数为1/ x 112f X ( x)

21、dy, 1 xe ,0 22x0,其他 .所以 f X (2)1 .422.设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量X，Y联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的局部数值.试将其余数值填入表中的空白处 .Yy1y2y3P X=xi= piXx11/8x21/8P Y=yj = pj1/612【解】因 PYyj PjP Xxi ,Yy j ,i 1故 PY y1 P Xx1,Yy1P X x2 ,Y y1,从而 P X x1,Y y1111 .6824专业资料整理WORD格式13专业资料整理WORD格式而 X与 Y独立，故, ,P X xiP Y yjP X xiY yi从而

22、P X x11P X x1, Y y11 .624即： P X x11 / 11 .2464又 P Xx1 P Xx1, Yy1P Xx1 ,Yy2P Xx1,Yy3,即 11 1P X x1,Y y3,42481从而 PXx1,Yy3 .1 ,123同理 P Y y2 P X x2 ,Y y2 283111P Y y j 1 ,故P Y y3又 12.j163同理 PXx23 .4从而P X x2 , Y y3 PY y3 P X x1,Y y3 1 11 .3124故XYy1y2y3P X xi Pix11111248124x213138844P Y y j p j111162323.设某

23、班车起点站上客人数X 服从参数为(>0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p 0<p<1 ，且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求： 1在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； 2二维随机变量X， Y的概率分布 .【解】 (1)|Cmm(1)n m,0,0,1,2, .nppP Y mX nm n n(2)P Xn, YmP Xn PYm | X n专业资料整理WORD格式14专业资料整理WORD格式Cnm pm (1 p) n men , n m n, n 0,1,2, .n!24.设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为

24、 X12，而 Y 的概率密度为f(y)，0.30.7求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).【解】 设 F y是 Y 的分布函数，那么由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为G (u) P XYu 0.3P XYu | X1 0.7 P X Y u | X 20.3P Yu1|X 10.7 PYu2 | X2由于 X 和 Y 独立，可见G (u) 0.3PYu10.7 PYu20.3F (u 1)0.7F (u2).由此，得 U 的概率密度为g(u) G (u)0.3F (u1)0.7 F (u2)0.3 f (u 1) 0.7 f (u 2).25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，

25、且均服从区间0,3 上的均匀分布，求 Pmax X,Y 1.解：因为随即变量服从0， 3上的均匀分布，于是有10 x3,10y3,f ( x),f ( y),330, x0, x3;0,y0, y3.因为 X，Y 相互独立，所以10x 3,0y3,f (x, y),90,x 0, y0, x3, y3.推得Pmax X ,Y11.926. 设二维随机变量 X， Y的概率分布为X101Y1a00.200.1b0.2100.1c其中 a,b,c 为常数，且X 的数学期望 E(X)=0.2,P Y0|X0=0.5，记 Z=X+Y.求：专业资料整理WORD格式15专业资料整理WORD格式（ 1 a,b,c 的值；（ 2 Z 的概率分布；（ 3 P X=Z.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1即a+b+c = 0.4.由 E(X)0.2 ，可得ac0.1 .再由P X0, Y0ab0.1