2005考研数一真题与解析

1、WORD格式2005 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题 ( 此题共 6 小题 , 每题 4 分, 总分值 24 分. 把答案填在题中横线上 )x2(1) 曲线y的斜渐近线方程为 _.2x1专业资料整理WORD格式(2) 微分方程(3) 设 函 数xy 2 yx ln x 满足 y(1)1的解为 _.9u( x, y, z)1x 2y 2z2, 单 位 向 量n1 1,1,1 ,那么612183专业资料整理WORD格式u=._.n(1,2,3)(4)设 是由锥面 zx2y 2与半球面 zR2x2y 2围成的空间区 域 ,是的整个边界的外侧,那么xdydz ydzdxzdxd

2、y_.(5)设 , , 均为3维列向量,记矩阵123A (1,2,3),B (12 3, 12243, 1 3293 ) ,如果 A 1,那么B.(6)从数 1,2,3,4中任取一个数 , 记为X ,再从 1,2, X 中任取一个数,记为Y,那么 PY2 =_.二、选择题 ( 此题共 8 小题 , 每题 4 分, 总分值 32 分. 每题给出的四个选项中 , 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 )专业资料整理WORD格式(7) 设函数f ( x) limn1x3n , 那么f ( x)在(, ) 内n(A) 处处可导(B) 恰有一个不可导点(C) 恰有两个不可导点(D)

3、 至少有三个不可导点(8) 设F (x)是连续函数f (x) 的一个原函数, " MN" 表示" M的充分必要条件是N ", 那么必有(A) F ( x)是偶函数f (x) 是奇函数(B) F ( x)是 奇 函 数f ( x) 是偶函数(C) F ( x)是周期函数f ( x) 是周期函数(D) F (x)是单调函数f ( x) 是单调函数(9) 设函数u(x, y) (x y) ( x y)x y具有二(t )dt ,其中函数x y阶导数 ,具有一阶导数 , 那么必有专业资料整理WORD格式(A)(C)2 u2 ux2y22u2ux yy2(B)(D

4、)2 u2ux2y 22u2ux yx 2专业资料整理WORD格式(10) 设有三元方程 xy z ln y exz 1 ,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1) 的一个邻域,在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z(x, y)(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数xx( y, z) 和 zz(x, y)(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数yy( x, z) 和 zz(x, y)(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数xx( y, z) 和 yy(x, z)专业资料整理WORD格式(11) 设1,2是矩阵A的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为 , ,那么

5、,A( )线性无关的充分必要条件是12112专业资料整理WORD格式(A)(C)1100(B)(D)2200专业资料整理WORD格式(12) 设 A 为n(n 2)阶可逆矩阵,交换 A 的第1行与第2行得矩阵B.A*, B*分别为 A,B 的伴随矩阵,那么(A) 交换A*的第 1列与第 2列得 B*(B) 交换A*的第 1行与第 2行得B*(C) 交换A*的第 1列与第 2列得 B*(D) 交换A*的第1行与第 2 行得B*(13) 设二维随机变量 ( X ,Y) 的概率分布为X01Y00.4a1b0.1随机事件 X0 与XY1 相互独立,那么专业资料整理WORD格式(A)(C)a0.2,b0

6、.3(B)a 0.4,b 0.1a0.3,b0.2(D) a0.1,b 0.4专业资料整理WORD格式(14) 设X1, X2, X n (n2) 为来自总体N (0,1) 的简单随机样本, X为样本均值 , S2为样本方差 , 那么(A) nX N (0,1)(B) nS22 ( n)专业资料整理WORD格式(C) (n 1) X t( n 1)(D) (nn1)X12 F (1,n 1)Si2Xi2三 、解答题 ( 此题共 9 小题 , 总分值 94 分. 解容许写出文字说明、 证明过程或演算步骤 )(15)( 此题总分值 11 分)设 D ( x, y) x2y 22, x 0, y0

7、, 1 x 2y 2 表 示 不 超 过1 x 2y 2的最大整数.计算二重积分xy1 x 2y 2 dxdy.D专业资料整理WORD格式(16)(此题总分值12 分)专业资料整理WORD格式求幂级数( 1) n 1 (11)x2n的收敛区间与和函数f ( x).专业资料整理WORD格式n 1n(2n1)专业资料整理WORD格式(17)( 此题总分值 11 分)如图 , 曲线C的方程为y f (x) , 点(3, 2)是它的一个拐点, 直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3, 2)处的切线 , 其交点为 (2, 4). 设函数f ( x)具有三阶连续导数, 计算定积分3x) f( x)

8、dx.(x 20专业资料整理WORD格式(18)( 此题总分值 12 分)函数f ( x) 在 0,1 上连续,在 (0,1) 内可导,且 f (0)0, f (1)1 .证明 :(1) 存在(0,1), 使得 f ( )1.(2) 存在两个不同的点,(0,1) ,使得 f ( ) f ( ) 1.专业资料整理WORD格式(19)( 此题总分值 12 分)设函数( y) 具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上,曲线积分( y) dx2 xydy的值恒为同一常数 .L2x2y4(1)证明 : 对右半平面x0 内的任意分段光滑简单闭曲线C, 有( y)dx2 xydy0 .C2x

9、2y4(2)求函数 ( y) 的表达式.专业资料整理WORD格式(20)( 此题总分值 9 分 )二次型f ( x1 , x2 , x3 )(1a) x12(1a) x222x322(1a)x1 x2的秩为2.(1) 求 a 的值；(2) 求正交变换 x Qy ,把 f (x1 , x2 , x3 ) 化成标准形.(3) 求方程 f ( x1 , x2 , x3 ) =0的解.专业资料整理WORD格式(21)( 此题总分值 9 分 )已 知3 阶 矩阵A的 第 一行 是(a, b,c),a, b, c不 全 为 零 , 矩 阵123B 246( k为常数 ), 且ABO ,求线性方程组 Ax

10、0的通解.36k专业资料整理WORD格式(22)( 此题总分值 9 分 )设二维随机变量(X,Y)的概率密度为1f ( x, y)00 x 1,0y2x其它求:(1)( X ,Y) 的边缘概率密度 f X ( x), fY ( y) .(2)Z2X Y 的概率密度 f Z ( z).专业资料整理WORD格式(23)( 此题总分值 9 分 )设 X1,X2, X n (n2) 为来自总体 N (0,1) 的简单随机样本,X为样本均值 , 记YiX i X , i1,2, , n.求 :(1) Yi的方差DYi, i 1,2, , n .(2) Y1与 Yn的协方差 Cov( Y1 ,Yn ).专

11、业资料整理WORD格式专业资料整理WORD格式2005 年考研数学一真题解析一、填空题 此题共6 小题，每题4 分，总分值24 分 . 把答案填在题中横线上 1曲线yx2的斜渐近线方程为y1 x1 .2x124【分析】此题属基此题型，直接用斜渐近线方程公式进展计算即可.【详解】f ( x)limx21，因为 a= limx2x2x2xxblimf ( x)axlimx1 ，xx2( 2x1)4于是所求斜渐近线方程为y1 x1 .24 2微分方程xy2 yx ln x 满足 y(1)1119的解为 yxln xx.39【分析 】直接套用一阶线性微分方程yP( x) yQ( x) 的通解公式：y

12、eP ( x)dxP( x) dx Q(x)edx C ，再由初始条件确定任意常数即可.【详解 】 原方程等价为2y y ln x ，x2 dx2 dx12于是通解为xxyeln xedx C x 2 x ln xdx C 1x ln x1C1=3xx2 ，191 x ln x1 x.由 y(1)得 C=0，故所求解为y939专业资料整理WORD格式un 3 设 函 数u( x, y, z) 1x2y 2z2， 单 位 向 量 n1 1,1,1 ， 那么6121833= .(1,2,3)3专业资料整理WORD格式【分析 】 函数 u(x,y,z)沿单位向量ncos ,cos , cos 的方向

13、导数为：uuuuncoscoscosxyz专业资料整理WORD格式因此，此题直接用上述公式即可.专业资料整理WORD格式【详解】因为ux ， uy ，uz ，于是所求方向导数为x3y6z9u1111113n=33333.(1,2,3)33 4设是由锥面 zx 2y 2与半球面 zR2x 2y 2围成的空间区域，是的整个边界的外侧，那么xdydzydzdxzdxdy2(12)R3.2【分析 】此题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面或柱面坐标进展计算即可 .【详解】xdydzydzdxzdxdy3dxdydzR2d 4 sin d22 (12 )R3.= 3d00025

14、设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A(1,2,3)，B (123,122 43,132 93)，如果 A1，那么B2 .【分析 】 将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进展计算即可 .【详解 】由题设，有B( 123 ,122 43,132 93)111=(1,2,3)1 23 ，149111于是有BA123122.149 6从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2, , X中任取一个数，记为Y, 那么P Y2=13.48专业资料整理WORD格式【分析 】 此题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样

15、本空间的划分.专业资料整理WORD格式【详解】PY2=PX1PY2X1 +PX2PY2X2+PX3 PY2 X3+PX 4PY 2X 4=1(0111 )13 .423448二、选择题 此题共 8 小题，每题 4 分，总分值 32 分 . 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 7设函数f ( x)lim n 1x3 n，那么 f(x)在(,) 内n(A)处处可导 .(B)恰有一个不可导点 .(C)恰有两个不可导点 .(D)至少有三个不可导点 .C【分析 】 先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形 .【详解】当x1时，( )limn13n1 ；xxfn

16、当 x1 时，f ( x)lim n 11 1 ；n3113当 x1 时，f ( x)limx1) n(3nx .nxx3 ,x1,即 f ( x)1,1x1,可见 f(x) 仅在 x=1 时不可导，故应选(C).x 3 ,x1. 8设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，" MN" 表示“M的充分必要条件是N，那么必有(A) F(x)是偶函数f(x) 是奇函数 .（ B F(x)是奇函数f(x) 是偶函数 .(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数 .(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数 .A 【分析 】 此题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找

17、到答案.F ( x)xC ，且 F ( x)f ( x).【详解】方法一：任一原函数可表示为f (t) dt0当 F(x)为偶函数时，有F (x) F ( x) ，于是 F ( x) (1) F(x) ，即f (x)f ( x) ，也即 f ( x)xf(t )dt 为偶函数，f ( x) ，可见f(x)为奇函数； 反过来， 假设f(x)为奇函数， 那么0从而 F ( x)xC 为偶函数，可见(A)为正确选项.f (t )dt0方法二： 令 f(x)=1,那么取 F(x)=x+1, 排除 (B)、(C); 令 f(x)=x, 那么取 F(x)=1 x2,排除 (D); 故应选 (A).2 9设

18、函数u(x, y)( x y) ( xx y(t) dt ,其中函数y)具有二阶导数，专业资料整理WORD格式xy专业资料整理WORD格式具有一阶导数，那么必有专业资料整理WORD格式2 u2u2 u2u(A)x2y 2 .Bx 2y2 .2 u2u2 u2u(C)x yy2 .(D)x yx 2 .【分析】先分别求出2 u、2u、2u，再比较答案即可 .x 2y2xy【详解】因为 u(xy)(xy)( xy)( xy) ，xu(xy)(x y)(xy)( x y) ，y于是2 u( x y)(x y)( x y)( x y) ，x 22u( x y)( x y)( x y)( x y) ，x

19、 y2 u(x y(x y)(x y)(x y，y 2)可见有2u2u，应选 (B).x2y 2 10设有三元方程xy zln yexz1，根据隐函数存在定理，存在点邻域，在此邻域内该方程B(0,1,1)的一个专业资料整理WORD格式(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和 z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和 z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和 y=y(x,z). D 【分析 】 此题考察隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=xy zln

20、y exz1 ,分别求出三个偏导数 Fz , Fx , Fy，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，那么可确定相应的隐函数.【详解 】 令 F(x,y,z)=xy zln yexz1 ,那么Fx y exz z ， F yxz， Fzln y exz x ，y专业资料整理WORD格式且Fx(0,1,1)2 ， F(0,1,1)1，Fz (0,1,1)0 .由此可确定相应的隐函数和yx=x(y,z)y=y(x,z). 故应选 (D). 11设1 , 2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1 ,2 ，那么1 ，A(12 ) 线性无关的充分必要条件是(A)10 .(B)20. (C

21、)10 .(D) 20.B 【分析 】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解 】 方法一：令k11k2 A(12 )0 ，那么k1 1k2 1 1k2 2 20 ，( k1k2 1 ) 1 k2 2 2 0 .由于1,2 线性无关，于是有k1k2 10,k220.当20时，显然有 k10, k 20 ，此时1， A(12 ) 线性无关；反过来，假设1，A( 12 ) 线性无关， 那么必然有2 0 (,否那么，1与A( 12 ) =11线性相关 )，故应选 (B).方法二：由于 1,A( 12 )1,11221,211，02专业资料整理WORD格式1可见1，A( 12

22、 ) 线性无关的充要条件是010.故应选(B).22专业资料整理WORD格式 12设A为nn2阶可逆矩阵，交换A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B,A* , B*分别为 A,B 的伴随矩阵，那么(A)交换 A*的第1列与第2列得 B*.(B) 交换A*的第 1行与第 2行得B*.(C)交换 A*的第 1列与第 2列得B*.(D) 交换A*的第 1行与第 2行得B*.C【分析 】 此题考察初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进展分析即可.【详解 】 由题设，存在初等矩阵 E12交换n阶单位矩阵的第1 行与第 2 行所得，使得E1 2A B ，于是B

23、*(E12 A)*A* E*12 A* E12 E121A*E12，即专业资料整理WORD格式A* E12B*,可见应选(C). 13设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1随机事件 X0 与XY1 相互独立，那么(A)a=0.2, b=0.3(B)a=0.4, b=0.1(C)a=0.3, b=0.2(D)a=0.1, b=0.4B【分析 】 首先所有概率求和为1，可得 a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定 a,b 的取值 .【详解 】 由题设，知a+b=0.5又事件 X0 与XY 1 相互独立，于是有P X0, XY1P X0PXY1 ，即

24、a= (0.4 a)( ab) ,由此可解得a=0.4, b=0.1,故应选 (B).14设X1, X2, X n (n 2) 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，那么(A)nX N (0,1)(B)nS2 2 (n).(C)(n 1) X t (n1)(D)(n n1) X12 F (1,n1).DSX i2i2【分析 】 利用正态总体抽样分布的性质和2分布、 t 分布及 F 分布的定义进展讨论即可.【详解 】 由正态总体抽样分布的性质知，X 0nX N (0,1) ，可排除(A);1n又 X0nX t(n1) ，可排除(C);而(n1)S2( n1)S22

25、(n1) ，不能SnS12断定 (B)是正确选项 .nn因为X12 2 (1),X i2 2 (n 1) ，且 X 122 (1)与X i22 (n1) 相互独i2i 2专业资料整理WORD格式X12(n 1) X 12立，于是1nnX i2X i2i 2i 2 F (1,n1). 故应选(D).专业资料整理WORD格式n 1三 、解答题 此题共9小题， 总分值 94分.解容许写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . 15此题总分值11分设 D ( x, y) x 2y22, x 0, y0 ，1 x 2y2 表示不超过 1 x 2y 2的最大整数 . 计算二重积分xy1 x 2y 2 dxdy

26、.D【分析 】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两局部即可.【详解】令D1(,)0x2y21,x0,y0 ，x yD2(x y)1x2y 22,x0,y0.,那么xy1 x2y 2 dxdy =xydxdy2xydxdyDD1D2213223sincos d0 rdr2sincos d 1dr00r=137 .848 16此题总分值12 分求幂级数(1)n1 (11) x2n的收敛区间与和函数f(x).n 1n( 2n1)【分析 】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间.而和函数可利用逐项求导得到 .【详解】因为 lim( n1)(2n1)1n(2n1)1，所以当 x21 时，原级数

27、n(n1)(2n1)n(2n1)1绝对收敛，当x21时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为1,1记S( x)(1n )12n，n 1 2n( n2x , x ( 1 , 1 )1 )那么S ( x)(1)n 1x2 n 1 , x(1,1)，n 12n 1S ( x)(1)n 1x2 n212 , x(1,1).n 11 x专业资料整理WORD格式由于S(0)S0,(0)专业资料整理WORD格式所以S (x)xx1dtarctanx,S (t )dt1t2001S( x)xxx arctanxln(1x2 ).S (t) dtarctantdt002又(1)n 1 x2 nx22 , x(1,1),n 11x从而f (x)x22S ( x )x212x arctan x ln(1x2 )x22, x(1,1).1x17