2007年考研数学三真题与完整解析

1、WORD格式2007 年研究生入学考试数学三试题一、选择题：1 10 小题，每题4 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. 1当x0时，与x 等价的无穷小量是A1ex1 x 1x1 D1cos xBlnxC1 2设函数f ( x)在x0 处连续，以下命题错误的选项是：A 假设limf ( x)存在，那么 f (0)0 B假设limf (x)f (x)存在，那么 f (0)0 .x 0xx 0xB 假设limf ( x)存在，那么 f(0)0 D假设limf (x)f (x)存在，那么 f (0)0 .x0xx 0x 3 如图，连续函

2、数yf (x) 在区间3, 2, 2,3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间2, 0 , 0, 2 的图形分别是直径为2 的下、上半圆周，设F ( x)xf (t )dt ，那么以下结论正确的选项是：0AF(3)3F( 2)(B)F (3)5F(2)44CF (3)3F(2)DF(3)5F( 2)414 4设函数f ( x, y)连续，那么二次积分f ( x, y)dy 等于dxsin x21dyf (x, y)dx1f ( x, y)dx A Bdy0arcsin y0arcsin y1arcsin y1arcsin y Cdyf (x, y)dxD dyf ( x, y)dx02

3、02 5设某商品的需求函数为Q 1602P ，其中 Q, P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值专业资料整理WORD格式- 1 -专业资料整理WORD格式等于 1，那么商品的价格是(A) 10.(B)20(C) 30.(D)40. 6曲线y1ln 1ex的渐近线的条数为xA 0.B1.C2.D3.（ 7设向量组1,2,3线性无关，那么以下向量组线性相关的是线性相关，那么(A)12 ,23 ,31(B)12 ,23 ,31(C)122 ,223 ,32 1.(D)12 2 ,223 , 32 1.211100 8设矩阵A121, B010，那么 A与B112000(A) 合同且相似

4、 B合同，但不相似 .(C)不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 9某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0p 1) ，那么此人第4 次射击恰好第2 次击中目标的概率为A 3 p(1p) 2. B6 p(1 p)2.C3 p2(1 p)2 .D 6 p2(1 p)2 10设随机变量X ,Y 服从二维正态分布，且X 与 Y 不相关， f X ( x), fY ( y) 分别表示X ,Y的概率密度，那么在 Yy 的条件下，X的条件概率密度f X|Y ( x | y) 为(A)f X ( x) .(B)fY ( y) .(C)fX ( x) fY( y) . (D)f X(x

5、).fY ( y)二、填空题 ： 11 16 小题，每题4 分，共 24分 . 把答案填在题中横线上 . 11x3x21cos x)_.limx3(sin xx2x 12设函数y1，那么 y( n ) (0)_.2x3 13 设f (u, v)是二元可微函数，zfy , x，那么xzy z_.xyxy3 14微分方程dyy1y满足 y x1 1的特解为y_.dxx2x专业资料整理WORD格式- 2 -专业资料整理WORD格式0100 15设矩阵A0010，那么 A3的秩为.00010000 16在区间0,1 中随机地取两个数，那么这两个数之差的绝对值小于1 的概率为.2三、解答题：17 24

6、小题，共86 分 . 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(此题总分值 10分 )设函数 yy(x) 由方程 y ln yxy0 确定，试判断曲线yy( x) 在点 (1,1)附近的凹凸性. 18(此题总分值 11分)x2 ,| x | | y |1设 二 元 函 数 f (x, y)1, 1| x | y |2，计算二重积分f ( x, y)d ， 其 中Dx2y 2Dx, y | x | | y | 2. 19(此题总分值 11分)设 函 数f ( x), g ( x) 在a, b上 连 续 ， 在 (a, b) 内 具 有 二 阶 导 数 且 存 在 相 等 的 最 大 值 ，

7、f (a)g(a), f (b)g(b) ，证明：存在(a, b) ，使得 f( )g ( ) . 20(此题总分值 10分 )将函数 f ( x)1展开成 x1的幂级数，并指出其收敛区间.x23x4 21(此题总分值 11分)x1x2x30设线性方程组x12x2ax30与方程 x12x2x3a1有公共解，求 a 的值及所有公共解.x14x2a2x3 0 22(此题总分值 11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值11, 22, 32 ，1(1, 1,1)T是 A 的属于1 的一个特征向量，记 BA54A3E，其中E为3阶单位矩阵 .（ I 验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

8、（ II 求矩阵B .（ 23(此题总分值 11 分)设二维随机变量( X , Y) 的概率密度为2 x y, 0x 1,0 y 1f ( x, y).0,其他专业资料整理WORD格式- 3 -专业资料整理WORD格式（ I求P X 2Y；(II)求 ZXY 的概率密度.2007 答案1 .【分析 】此题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解 】当 x0 时，1e xx ，1x 11x ， 1cosx1x21 x ，222故用排除法可得正确选项为B .ln1xln(1 x)ln(1x )111事实上， lim1xlimlim1x11x2 x1，x0xx 0xx 02x1xx)

9、ln(1x)x o(x)xo(x )xo(x)x .或 lnln(11x所以应选 B【评注 】此题为关于无穷小量比较的基此题型，利用等价无穷小代换可简化计算.2 .【分析 】此题考察可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，此题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f ( x) 去进展判断，然后选择正确选项.【详解 】取 f (x)| x |，那么 limf ( x)f ( x)0 ，但 f ( x) 在 x0 不可导，应选D.x 0x事实上，在 (A),(B) 两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，那么可推得f (0) 0 .在 C中，li

10、mf (x)存在，那么 f (0) 0, f(0)lim f ( x)f(0)limf ( x)0 ，所以(C)项正确，x 0xx0x0x 0x应选 (D)【 评注 】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效 .3 .【分析 】此题实质上是求分段函数的定积分.【详解 】利用定积分的几何意义，可得F(3) 1211213，F(2)1221，222822121F( 2)f (x)dxf ( x)d xf (x)dx1.20202022专业资料整理WORD格式- 4 -专业资料整理WORD格式所以 F (3)3F(2)3 F( 2) ，应选C

11、.44【评注 】此题属基此题型. 此题利用定积分的几何意义比较简便.4 .【分析 】此题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解 】由题设可知，x,sin x y 1，那么 0 y 1,arcsin y x，2故应选 B.【评注 】此题为根底题型. 画图更易看出 .5 .【分析 】此题考察需求弹性的概念.【详解 】选 D .dQP2PP 40，商品需求弹性的绝对值等于Q1dP160 2P应选 D .【评注 】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.6 .【分析 】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解 】

12、 limylim1ln 1ex, limylim1ln1ex0 ，xxxxxx所以y0是曲线的水平渐近线；lim ylim1ln1 ex，所以 x0是曲线的垂直渐近线；x 0x0xlimylim1ln 1 ex0ln 1 exe*1xlimlim 1e，xxxxxxx11x，所以y x是曲线的斜渐近线 .b l i m y xl i ml n 1 exx0xx应选 D .【评注 】此题为基此题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 此题要注意ex当x, x时的极限不同 .7 .【分析 】此题考察由线性无关的向量组1,2,3构造的

13、另一向量组1,2,3的线性相关性. 一般令1, 2,31,2,3A，假设A0，那么1,2,3线性相关；假设A0，那么1,2,3线性无关.但专业资料整理WORD格式- 5 -专业资料整理WORD格式考虑到此题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由1223310 可知应选A.或者因为10110112 , 23 , 311,2,31 10 ，而1 100 ，011011所以12 , 23 ,31 线性相关，应选A .1,0,0TT0,0,1T【评注 】此题也可用赋值法求解，如取1,20,1,0 ,3，以此求出 A ， B， C， D中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行

14、列式是否为零可立即得到正确选项.8【分析】此题考察矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵 A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.211【详解】由 E A121(3)2可得123,3 0，112所以 A 的特征值为3,3,0；而 B 的特征值为1,1,0.所以 A 与 B 不相似，但是A与 B的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，应选 B .【评注 】假设矩阵 A 与 B 相似，那么 A 与 B 具有一样的行列式，一样的秩和一样的特征值.所以通过计算A 与 B 的特征值可立即排除AC.9 .【分析 】此题计算贝努里概型，即二项分布的

15、概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数.【详解 】p前三次仅有一次击中目标，第4 次击中目标C31 p(1p) 2 p3p2 (1p) 2，应选 C .【评注 】此题属基此题型.10 .【分析 】此题求随机变量的条件概率密度，利用X 与 Y 的独立性和公式f X |Y ( x | y)f ( x, y)可求解 .fY ( y)【详解】因为 X ,Y服从二维正态分布，且X 与 Y 不相关，所以 X 与 Y 独立，所以 f (x, y) f X ( x) fY ( y) .故 f X |Y ( x | y)f (x, y)f X (x) fY ( y)f X ( x) ，应选A.fY ( y)fY

16、 ( y)专业资料整理WORD格式- 6 -专业资料整理WORD格式【评注 】假设X ,Y 服从二维正态分布，那么X 与 Y 不相关与 X 与 Y 独立是等价的.11 .【分析】此题求类未定式，可利用“抓大头法和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.x3x2x3x21【详解 】因为 limx31lim2x2x32x 00,| sin x cos x | 2 ，x2xxx112x所以 limx3xx231 (sin xcos x)0 .x2x【 评注 】无穷小的相关性质：（ 1 有限个无穷小的代数和为无穷小；（ 2 有限个无穷小的乘积为无穷小；（ 3 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.12, .【分析

17、 】此题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解 】 y1, y2，那么 y( n) ( x)( 1)n 2n n!，故 y(n) (0)( 1)n 2n n!.2x 32x 3 2(2 x 3)n 13n 1【评注 】此题为根底题型.13 .【分析 】此题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.【详解 】利用求导公式可得zy1xx2 f1f2，yz1f1x2 f2，yxy所以 x zy z2 f1yf2x.xyxy【评注 】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.14 .【分析 】此题为齐次方程的求解，可令uy.xy，那么原方程变为【详解 】令 uxu x

18、 du1 u3 dudx .udx2u32x两边积分得11 ln x1 ln C ，2u 222专业资料整理WORD格式- 7 -专业资料整理WORD格式1y2即 x1eu2x1ex2，将 y x 11代入左式得Ce，CCx2x故满足条件的方程的特解为ex ey2，即 y， x e 1.ln x1【评注 】此题为根底题型.15 .【分析 】先将A3求出，然后利用定义判断其秩 .0100000100100000【详解】A00A3000r ( A) 1.01000000000【评注 】此题为根底题型 .16 .【分析 】根据题意可得两个随机变量服从区间0,1 上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便

19、 .【 详解 】利用几何概型计算 . 图如下： y1AO1/21/2x12SA132所求概率1.SD4【评注 】此题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.17 .【分析 】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解 】 方程 y ln y xy 0 两边对x求导得y ln y y y1 y 0 ，y专业资料整理WORD格式- 8 -专业资料整理WORD格式即 y (2 ln y)1，那么1y (1).2上式两边再对 x 求导得y2y (2ln y)0y1，所以曲线 yy( x) 在点 (1,1)附近是凸的.那么 y (1)8【评注 】此题为根底题型 .18 .【分

20、析 】由于积分区域关于x, y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解 】因为被积函数关于x, y 均为偶函数，且积分区域关于x, y 轴均对称，所以f (x, y)df (x, y)d，其中 D1为 D 在第一象限内的局部.DD1而f ( x, y)dx2d1dD1xy 1,x 0, y 01 x y2,x 0, y 0x2y21x12x1dy22x1dydxx2 dydxdx0001 xx2y210x2y212 ln 12 .12所以f ( x, y)d142 ln12 .3D【评注 】被积函数包含x 2y 2时 , 可考虑用极坐标，解答如下：f (x, y)d1dx

21、2y 21 x y 21 x y 2x 0, y 0x0, y 022 dsin1cos dr0sincos2 ln(12) .19 . 【分析 】由所证结论f ( )g ( ) 可联想到构造辅助函数F ( x)f (x)g ( x) ，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解 】令 F (x)f (x)g( x) ，那么 F ( x) 在a,b上连续，在 (a,b) 内具有二阶导数且F (a)F (b)0 . 1假设f (x), g( x)在(a, b)内同一点c取得最大值，那么f (c)g(c)F (c)0 ，于是由罗尔定理可得，存在1( a,c), 2(c,b) ，使得专业资料整理WOR

22、D格式- 9 -专业资料整理WORD格式F(1)F(2)0.再利用罗尔定理，可得存在( 1 , 2 ) ，使得F ( )0 ，即 f ( )g ( ) . 2假设f (x), g( x)在(a, b)内不同点c1, c2取得最大值，那么f (c1)g(c2 )M ，于是F (c1 )f (c1 )g(c1)0, F (c2 )f (c2 )g( c2 )0 ，于是由零值定理可得，存在c3(c1 , c2 ) ，使得 F (c3 )0于是由罗尔定理可得，存在1( a,c3 ), 2(c3 ,b) ，使得F(1)F(2)0.再利用罗尔定理，可得，存在( 1 ,2)，使得F () 0 ，即 f()

23、g ( ) .【评注 】对命题为 f ( n) () 0 的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为 f(n 1)( x) 的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证f ( n 1) ( x) 在包含x于其内的区间上满足罗尔定理条件.20 .【分析 】此题考察函数的幂级数展开，利用间接法.【详解 】 f (x)11111，而3x 4 ( x 4)( x 1) 5 x 4 x 1x21111x 1n( xn1)1n , 2 x 4 ，1x 43 1x3 n 03n 0331111n( 1)n ( x 1)nx 11 x 3 ，x 1n 1,x 1 2 12 n 02

24、n 022所以 f ( x)(x 1)n( 1)n ( x 1)n1( 1)nnn 102n 1n 1n 1 ( x 1)，n 03nn 032收敛区间为1 x3.【评注 】请记住常见函数的幂级数展开.21 .【分析 】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a .【详解 】将方程组和方程合并，后可得线性方程组专业资料整理WORD格式-10-专业资料整理WORD格式x1x2x30x12x2ax302x14x2a x30x12x2x3a 1其系数矩阵11101110A12a001a10.1 4 a200 3 a2 1 0121a 1010a11110111001a1001a1

25、00 0 a23a 2 00 01 a.a 10 01 aa 10 0 (a 1)(a 2)0显然，当 a1, a2 时无公共解.当时，可求得公共解为Ta1k 1 , 0 ,1为任意常数；, k当 a2 时，可求得公共解为T0,1, 1.【评注 】此题为根底题型，考察非齐次线性方程组解的判定和构造.22【分析 】此题考察实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】IB1A54A3E 15435431 12 1，1 11 1111则 1是矩阵 B 的属于2的特征向量.同理可得532 ，B543133.B 224 2 12333所以 B 的全部特征值为2，1， 1设B的属于1 的特征向量为2( x1, x2 , x3 )T，显然 B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T120 .即x1x2x30 ，解方程组可得B 的属于1的特征向量2k1 (1,0, 1)Tk2 (0,1,0) T，其中 k1 , k2为不全为零的任意常数.由前可知 B 的属于2的特征向量为k3 (1, 1,1)T，其中 k3不为零.专业资料整理WORD格式-11-专业资料整理WORD格式101100