数值分析综述报告

1、WORD格式*工学院专业资料整理WORD格式"数值分析"考试基于 Matlab 的方法综合应用报告班级：金融 1121姓名：姚婷婷学号： 1124104129成绩：数理学院2021年6月7日专业资料整理WORD格式"数值分析"课程综述报告前言：数值分析也称计算方法， 它与计算工具的开展密切相关。 数值分析是一门为科学计算提供必需的理论根底和有效、 实用方法的数学课程， 它的任务是研究求解各类数学问题的数值方法和有关的理论。正文：第一章近似计算与误差分析1、产生误差的原因：模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。2、四那么运算的误差：加减法运算x*y*x*

2、y*乘法运算xyx * y *xyxy *xy *x * y *xyy *y *xx *x * y *x *y *y *x * 除法运算：xx *xy*x *yyy *yy*xy *x * y *x * y *x * yyy*xx *y *y *yx *yy*x *x *y *y *x *y *y *23、科学表示法、有效数字、近似值的精度任何一个实数都可以表示成如下的形式：其中： 是正整数，是整数，如果是数的近似值并且专业资料整理WORD格式那么称该近似值具有位有效数字significant digit。专业资料整理WORD格式此时，该近似值的相对误差为专业资料整理WORD格式另一方面，假设

3、r x*1101 n2 a11那么，x x*x*rx*10m 1a .aa1 n12n 102 a11110 m n2即： x* 至少有 n位有效数字。例：3.141592653589793.取其近似值如下：x*=3.14x* =3.14159x*=3.1415x*=3.141x*100.314x*0.0016. 0.005 110 21101322x*100.314159x*0.0000026.0.0000051 1051101 622x*100.31415x*0.000092.0.0001 110 31101422x*100.3141x*0.00059.0.001110 21101 322

4、第二章线性方程组在科学计算中， 问题的本身就是求解线性方程组， 许多问题的求解需要最后也归结为线性方程组的求解，所以线性方程组的求解是科学计算中最常见的问题。对于线性方程组的求解一般有两种方法： 1) 直接法：高斯消去法； 2) 间接法： 各种迭代法。(1) 高斯消去法：专业资料整理WORD格式求解思路：先消元，即按一定的规律逐步消去未知量，将方程组AxB 化为等价的上或下三角形方程组；然后进展回代，即由上三角形方程组逐个求出；高斯列、全主元素消去法, 及在消元的每一步选取列主元素列中绝对值最大的元取做主元素，计算步骤： 消元过程： 按列选主元、 行交换、消元计算； 回代过程；高斯列主元素消去

5、法的 MATLAB实现：。第三章解线性方程组的迭代法通常逆矩阵不易求得，特别是对于大型的线性方程组，需要用迭代法求解。用迭代法求解线性方程组，要把线性方程组写成等价的形式，右边写为迭代格式，如：Axbx Mx bx Ax x b ( A E ) x b Mx bkx Ax kx b ( A k En) x b1kEn) xbxk ( Ak2、关于迭代法收敛性的两个重要结论：充分必要条件是：矩阵的谱半径M；1充分条件是：矩阵 M 的某个算子X数M。13、线性方程组的迭代法主要有Jacobian迭代法， Gauss-Seidel迭代法。Jacobian 迭代法 :AxbDLUxbADLUDxLUx

6、bxk1D1LUkD1 bxM1LUDfD1 bGauss-Seidel 迭代法 :AxbDLxUxbADLUx k1D1Ux kDL1LbMDL1U1(3.7)fDLbJacobian迭代法与 G-S 迭代法比较：专业资料整理WORD格式x1k 1000x1k 1k 1a2100k1x2D 1x2k 1an1ann 10k1xnxn0a12a1nx1k3.8 D1 00x2k1an 1nD b000kxn式 3.7 和 (3.8)说明：Gauss-Seidel迭代法在计算第k次迭代的第i个分量k 1 时，1xi及时地利用了在此步迭代中得到的新的迭代值：k 1，j1,2,i 1，由于第 k1步

7、的迭x j代值通常比第 k 步的迭代值更接近方程组的准确解，所以， 在 Jacobian迭代法和 GS迭代法都收敛的情况下，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobian迭代法的收敛速度高。例题：用 MATLAB函数 normrdn生成5 阶矩阵M和向量b分别构造线性方程组Axb 的Jacobi 迭代格式和 G-S 迭代格式，并判断收敛性。Jacobian 迭代法和GS迭代法程序如下：clc;clear all;%1、生成 M和 bM=normrnd(1,2,5)b=normrnd(1,2,5,1)%Jacobian迭代法M1=D(L+U)f1=Dbrho=max(abs(eig(

8、M1);R=1e-08;%设定的一个收敛标准switch sign(1-rho)case -1disp('the Jocobian method is not applicable')otherwisex(:,1)=normrnd(0,9,5,1);k=1while k<=50*5x(:,k+1)=M1*x(:,k)+f1;if norm(x(:,k+1)-x(:,k)>=Rk=k+1;elseX=x(:,k+1);disp('Jacobian迭代法迭代次数为：')IterN=k%Jacobian迭代法迭代次数breakendendend%Causs

9、-Seidel迭代法M2=(D-L)Uf2=(D-L)brho=max(abs(eig(M2);R=1e-08;switch sign(1-rho)case -1disp('the auss-seidel method is not applicable')专业资料整理WORD格式otherwisex(:,1)=normrnd(0,9,5,1);k=1while k<=50*5x(:,k+1)=M2*x(:,k)+f2;if norm(x(:,k+1)-x(:,k)>=Rk=k+1;elseX=x(:,k+1)disp('Causs-Seidel迭代法迭代次

10、数为：')IterN=kbreakendendend第四章非线性代数方程组的数值解法：一、二分法：首先要确定适当的包含根的区间，这可以依据闭区间上连续函数的介值定理来确定，例如该方程：f xx3x20.8 x 0.75 02Solve to algebraic equation by The Bisection Method1.510.5)x0(f-0.5-1-1.5-2-0.500.511.522.5-1x对于该方程f120.80.750f00.750所以该方程至少有一个实根位于区间，图像说明该区间中只含有一个实根；用 x* 表示方程在区间a, b上的准确解， 对于给定的精度要求0，

11、取区间f x 0a , b的中点，并按下式进展判断：专业资料整理WORD格式xab2fx0xx *fxf a0* a ,x xfxf b0x * x ,b 专业资料整理WORD格式（ 1专业资料整理WORD格式以 f x f a 0为例，如果, 没有到达精度要求，令xb ，并重复1的迭代过程；b a2如果 ba，那么，必有 xx*, x a, x2，因为x*a,x。即区间 a, x内的任何一点都可以作为方程f x 0的近根，特别地，可取 x做为近似解。二、牛顿迭代法：任取初始值x0 a,b, yf (x) 上过点x0, f (x0)的切线方程为：y f (x0) f (x0)(*0)与专业资料

12、整理WORD格式x 轴交于点x，1x1x0f ( x0 ) ，过点(x1, f (x1)的切线方程为y f (x1)f ( x0)f (x1)(x x1)与x轴交于点x2，专业资料整理WORD格式f ( x )1x2x1f (x1)，,，如此下去得牛顿迭代公式：f ( xn)xn 1xn f ( xn)专业资料整理WORD格式例题：考虑如下三阶非线性方程组：ì2"x 2 + y 2 + az 2 = a2"2"íx + y = a"222"+ a(z - b ) = 0"(2x - a)+(2 y - a)&quo

13、t;4其中T取适当的迭代初值(x0, y0, z0 ) ，用Newton迭代法求方程组的数值解程序：%Newton 迭代法求解x=sym('x', 'clear');y=sym('y', 'clear');symsz ;F=x2+y2+a2*z2/2-a2;x+y-a;(2*x-a)2+(2*y-a)2+a2*(z-b)/4;Fx=diff(F,x,1);Fy=diff(F,y,1);Fz=diff(F,z,1);DF=Fx Fy Fz;专业资料整理WORD格式F=(x,y,z)x2+y2+a2*z2/2-a2;x+y-a;(2*

14、x-a)2+(2*y-a)2+a2*(z-b)/4;%Newton 迭代法求解过程Fr=10-10;Er=10-10;x0=-a/4;-a;-a/2;x0=-a/4;-a;a/2;k=1;X(:,1)=x0;whilenorm(F(X(1,k),X(2,k),X(3,k)-0;0;0,2)>=Frtic;f(:,k)=F(X(1,k),X(2,k),X(3,k);J=subs(DF,'x',X(1,k);J=subs(J,'y',X(2,k);J=subs(J,'z',X(3,k);X(:,k+1)=X(:,k)-Jf(:,k);t(k)=

15、toc;ifnorm(X(:,k+1)-X(:,k),2)<Erbreakendk=k+1;enddisp('Newton迭代法结果为：' );disp(X(:,end);运行结果：Newton 迭代法结果为：3.42910.46580.6535第五章插值一、插值：插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。二、常用差值法：拉格朗日Lagrange 插值法、牛顿Newton插值法1、拉格朗日 Lagrange 插值法：拉格朗日插值多项式nL xLk x ykk0专业资料整理WORD格式简单的证明因为拉格朗日插值多项式

16、的基函数有如下的性质：专业资料整理WORD格式k0,1,2,nnxxj1x xkLk xx j0x xj , j kj 0 xkj k所以拉格朗日插值多项式nL xkL j xk y jLk xk yk ykj0k 0,1,2, , n满足插值的条件。n插值多项式L xLk x ykk 0拉格朗日插值法的缺乏在实际问题中，观测的数据可能会不断增加，如果用拉格朗日插值公式构造插值多项式，那么，每当增加数据就要重新计算多项式的系数，由此增加许多不必要的计算工作量。2、三次样条Spline 插值插值条件要求要求所求的插值多项式S x 三次样条函数 在每个区间xk 1, xk， k 0,1,2, n，

17、是次数不超过三次的多项式； S xk yk，k0,1,2, n；S x在区间 . 上具有二阶连续导数。例题： 在夏季， 较大湖泊的水体按深度被跃变层 分为上部的 变温层 和下部的 均温层 。水体的分层化对环境工程中污染问题的研究具有重要的意义，例如，有机物的分解将导致被跃变层隔离的底部水体中氧急剧减少。按温度随水深的变化曲线TT x ，跃变层位于水深处：x0maxd T x0x bottomdx现有美国普拉特湖Platte Lake 的一组数据：深度 ( m ):x02.34.99.113.718.322.927.2温度( 0C):T22.822.822.820.613.911.711.111

18、.11. 试利用Lagrange 差值方法求温度随水深近似变化函数T Tlx 表达式；2. 试利用三次样条差值方法应用Matlab 函数 csape求温度随水深近似变化函数T Ts x 表达式；3.画出插值函数TTlx 和T Tsx曲线，并与原始插值数据图像作比较专业资料整理WORD格式程序代码：专业资料整理WORD格式函数文件程序：functionLn = my_Fun(x, XI, YI)ifisa(x,'sym') = 1;n = length(XI) - 1;Ln = 0;Pn = sym(ones(n + 1, 1);fork = 1 : n + 1fori = 1

19、: n + 1ifi = kPn(k) = Pn(k)*(x - XI(i)/(XI(k) - XI(i);elsePn(k) = Pn(k);endendLn = Ln + Pn(k)*YI(k);endelsen = length(XI) - 1;L = ones(n + 1, length(x);Ln = zeros(size(x);fork = 1 : n + 1fori = 1 : n + 1ifi = kL(k,:) = L(k,:).*(x - XI(i)./(XI(k) - XI(i);elseL(k,:) = L(k,:);endendLn = Ln + L(k, :).*Y

20、I(k);endEnd主文件程序：clc;clearall;closeall;%问题 1.用Lagrange 差值方法求温度随水深近似变化图像t = sym('t' ,'real');x=0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2;T=22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1;X=linspace(0,27.2,275);Ln=my_Fun(X,x,T);figure(1)plot(x,T,'r*', 'markersize',15)xlabel('深度 x&#

21、39;);专业资料整理WORD格式ylabel(' 温度T');title('原始的散点图 ' );pause(3)holdonplot(X,Ln,'b-', 'linewidth',3);xlabel(' 深度 x');ylabel(' 温度T');title('Lagrange差值图 ' );%求出温度随水深近似变化函数表达式I_poly = my_Fun(t, x, T);I_poly = simple(I_poly)I_poly = sym2poly(I_poly)%2. 用

22、三次样条差值方法求温度随水深近似变化函数表达式figure(2)holdony=interp1(x,T,X,'spline');plot(X,y,'b-', 'linewidth',3);%用三次样条插值方法画出图像xlabel(' 深度 x' );ylabel(' 温度T' );title('三次样条法差值图 ' );PP=csape(x,T,2,2,0,0);Coefs = PP.coefs%3. 两种差值函数图象比较figure(3)plot(X,Ln,'-', 'co

23、lor',1, 0, 0,'LineWidth', 3)xlabel(' 深度 x');ylabel(' 温度T');title('Lagrange差值图 ' );holdonpause(3)fnplt(PP,'b' ,3,0,28)%函数作图xlabel(' 深度 x');ylabel(' 温度T');title('三次样条法差值图 ' );pause(3)plot(x,T,'-', 'linewidth',3, 'm

24、arkersize',10)运行结果 :I_poly =(11156832321404503197312500000*t7-942692507666801544174224450000*t6+29858157926737187739430003070000*t5-433725749060135044183186809635000*t4+2850751947133625442244870404829250*t3-专业资料整理WORD格式8285950923799759686915051372346805*t2 + 8477820217617239232740036583612328*t

25、+ 512657632901869980094703083834211328)/22484983899204823688364170343605760I_poly =Columns 1 through 60.0000-0.00000.0013-0.01930.1268-0.3685Columns 7 through 80.377022.8000Coefs =0.0022-0.0000-0.011522.8000-0.00920.01500.023022.8000-0.0114-0.0565-0.085022.80000.0297-0.2004-1.164020.6000-0.01530.209

26、9-1.120013.90000.0017-0.0014-0.160511.7000-0.00170.0223-0.064011.1000图示如下：原始的散点图24222018T度温专业资料整理WORD格式T16141210051015202530深 度 x三次样条法差值图24222018专业资料整理WORD格式度温16141210051015202530深 度 x专业资料整理WORD格式Lagrange 差值 图24222018T度 16温1412108051015202530深度 x三次样条法差值比照图24222018T度 16温1412108051015202530深 度 x第六章最小二

27、乘拟合与最正确逼近一、最小二乘拟合加权最小二乘法逼近准那么：min d f , Pmin N21PP2if xiP xii 0最小二乘逼近多项式Pn*x 必须满足如下必要条件：a 0a12Tf2Ta0aa n专业资料整理WORD格式即满足 法方程组 :专业资料整理WORD格式TaTfa1TTf专业资料整理WORD格式例题：下面是一处地质岩层断面高程深度的测量数据。水平距离00.201.002.103.505.006.807.509.0011.212.0( km ): x高度 ( m ):h1.641.581.681.841.580.860.390.310.390.770.86试利用最小二乘法求

28、满足N1Pn*22f2minf xkPnxk0.5mPn xk 0即误差不超过0.5m 的最低次数的拟合多项式Pn*x, 写出该多项式的表达式; 画出数据散点图和该多项式曲线.程序：clc;clearall;closeall;x=linspace(0,12,12);x=0 200 1000 2100 3500 5000 6800 7500 9000 11200 12000;h=1.64 1.58 1.68 1.84 1.58 0.86 0.39 0.31 0.39 0.77 0.86;plot(x,h,'*' , 'markersize',8) % 画出给出数据

29、的散点图xlabel('水平距离 x');ylabel('高度 h');title(' 岩层断面水平距离 x 和高度 h的散点图 ');figure(1)%1. 最小二乘法拟合n=3;P, S = polyfit(x, h, n)Pm = polyval(P, x)R = sqrt(sum(h - Pm).2)%误差t = linspace(x(1), x(end), 12);Poly = polyval(P, t);figure(2)plot(x, h,'ro', t, Poly,'LineWidth', 3,&

30、#39;markersize', 8)set(gca,'FontSize',18)legend('The Data', 'The Fitting Curve',1)title('Curve Fitting by Least Square Approximation', 'fontsize', 18)专业资料整理WORD格式岩 层 断 面 水 平 距 离 x和 高 度 h 的 散 点 图21.81.61.4h1.2度高10.80.60.40.2020004000600080001000012000水 平 距

31、离 xCurve Fitting by Least Square Approximation2The DataThe Fitting Curve1.510.50050001000015000第七章 微积分的数值方法一、数值微分如果给定函数的关系式比较复杂或者未知，而仅仅知道在 n1个相异点xk，k 0,1, ,n处的函数值，那么，我们可以利用函数的插值多项式的导数作为函数导数的近似值nf x Ln xl k x f xkk 0因而有fx Ln x这里需要说明一点的是，尽管和的函数值可能相差不多，但是它们的导数有可能相差很大。二、数值积分数值积分方法最大的优点是将复杂的函数积分转化为相对简单的加

32、、减、乘、除运算。对于给定的函数， 如果的函数关系式比较复杂或. 未知，而仅仅知道该函数在n1个点处的函数值yk，那么可以利用函数的插值多项式的积分作为函数在a,b上的定积分的近似值。1、 Newton-Cotes 求积公式根据 Lagrange 插值多项式专业资料整理WORD格式nLn xlkx fxkk 0有bIfx dxabaLnx dxnbal kx dx fxkk 0令b0knAka lkx dx得 Newton-Cotes 求积公式bbf x dxLnxdxaanbfxklk x dxk 0anAk fxkk 0特别地，当取插值节点为xkakh,k0,1,n专业资料整理WORD格式

33、h时有两点公式梯形公式：banbbfx dxLnx dxaanAk fxkk0baf af b2专业资料整理WORD格式三点公式 Simpson 公式：bbx dxf x dxLnaab af a 4 f a bf b62例题：下面是一处地质岩层断面上部边缘的深度测量数据。水平距离 00.201.002.103.505.006.807.509.0011.212.0专业资料整理WORD格式x( km ):深度1.641.581.681.841.580.860.390.310.390.770.86y ( m ):表 1试利用复化的梯形求积法求该组数据所在曲线与基准线x 轴在X围0,12 内所围成图

34、形面积 . 画出数据散点图和图形的示意图.试利用复化的Simpson 求积法求该组数据所在曲线与基准线x 轴在X围0,9 内所围成图形面积 . 画出数据散点图和图形的示意图.解答如下：程序：% 题目给出的数据YI = -1.64 1.58 1.68 1.84 1.58 0.86 0.39 0.31 0.39 0.77 0.86;n = length(XI) - 1;%此时 n=10M=60;x = linspace(XI(1), XI(end), M +1);%设置线性空间% 问题 1.1T1 = 0;%初值%将图像分成假设干个小区间，在每个区间内，求小梯形的面积，并累加起来，就是题目所要求的

35、面积for k = 2 : n + 1T1 = T1 + (YI(k) + YI(k-1)*(XI(k) - XI(k-1)/2;enddisp( '复化的梯形求积法求得的图形面积：')T_Trape = T1%累加后的图形面积figure(1)%画出函数图像set(gca,'FontSize', 20)patch(XI(1), XI, XI(end), 0, YI, 0,0.5 1 0.5)%颜色的填充hold onplot(XI, YI,'o-', XI, 0*XI,'k','LineWidth', 3,

36、9;markersize', 8)title(' 复化的梯形求积法求围成图形面积 ' )xlabel(' 水平距离 x' )ylabel(' 深度 y' )运行结果：复化的梯形求积法求得的图形面积：T_Trape =-11.6090图像：专业资料整理WORD格式复化的梯形求积法求围成图形面积0-0.5y度 -1深-1.5-2246810120水平距离 x程序：函数 M文件：functionLn = Lagrange_Fun_01(x, XI, YI)ifisa(x,'sym') = 1;n = length(XI) - 1

37、;Ln = 0;Pn = sym(ones(n + 1, 1);fork = 1 : n + 1fori = 1 : n + 1ifi = kPn(k) = Pn(k)*(x - XI(i)/(XI(k) - XI(i);elsePn(k) = Pn(k);endendLn = Ln + Pn(k)*YI(k);endelsen = length(XI) - 1;L = ones(n + 1, length(x);Ln = zeros(size(x);fork = 1 : n + 1fori = 1 : n + 1ifi = kL(k,:) = L(k,:).*(x - XI(i)./(XI(k) - XI(i);elseL(k,:) = L(k,:);endendLn = Ln + L(k, :).*YI(k);endend主程序：% 问题 1.2和 1.3专业资料整