全等三角形地提高拓展经典题(教师版)

1、WORD格式全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：( 1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边( 2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角( 3) 有公共边的，公共边常是对应边( 4) 有公共角的，公共角常是对应角( 5) 有对顶角的，对顶角常是对应角( 6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ，一对最短边 ( 或最小角 )是对应边 ( 或对应角 ) 要想正确

2、地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：( 1)边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等( 2)角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等( 3)边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等( 4)角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等( 5)斜边、直角边定理( HL ) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点： 能通过判定两个三角形全等进

3、而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的根底例题精讲板块一、截长补短【例 1】ABC 中，A60 ，BD、CE分别平分ABC 和 . ACB， BD 、 CE 交于点 O ，试判断 BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明AEODBC专业资料整理WORD格式1专业资料整理WORD格式【例 2】如图，点 M 为正三角形ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点( 点B除外 ) ，作DMN60 ，射线 MN 与DBA 外角的平分线交于点N ， DM 与 MN 有怎样的数量关系"DN专业资料整理WORD格式AMBE【变式拓展训练】如图

4、，点 M 为正方形ABCD 的边 AB 上任意一点，MNDM 且与ABC 外角的平分线交于点N ，MD 与 MN 有怎样的数量关系？DCNAMBE【例 3】：如图，ABCD 是正方形，FAD = FAE.求证： BE +DF =AE.ADFBCE【例 4】以ABC 的 AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD 、 ACE ，连结 CD 、BE 相交于点 O 求证： OA平分DOE DADAEEFOOBCBC专业资料整理WORD格式2专业资料整理WORD格式【例 5】如下列图，ABC 是边长为 1 的正三角形，BDC 是顶角为 120 的等腰三角形， 以 D 为顶点作一个 60 的MDN ，点

5、M 、 N 分别在 AB 、 AC 上，求AMN 的周长ANMBCD【例 6】五边形 ABCDE 中， AB=AE， BC+DE=CD ， ABC+ AED=180°，求证： AD 平分 CDEABECD板块二、全等与角度如图，在ABC中，BAC 60，AD是BAC的平分线，且ACAB BD，求ABC【例 7】的度数 .ABDC【例 8】在等腰ABC 中， ABAC ，顶角A20 ，在边 AB 上取点 D ，使 ADBC ，求 BDC .ADBC专业资料整理WORD格式3专业资料整理WORD格式【例 9】如下列图，在ABC中， ACBC， C20 ，又 M 在 AC上， N在 BC上

6、，且满足BAN 50 ， ABM60 ，求NMB .CMNAB【例 10】在四边形ABCD中，ABAC ，ABD60 ， ADB76 ， BDC28 ，求DBC的度数 .DCAB【例 11】如下列图，在四边形ABCD 中，DAC12 ，CAB36 ，ABD48 ，DBC24 ，求 ACD 的度数.DCAB【例 12】在正ABC 内取一点D ，使 DADB ，在ABC 外取一点E ，使DBEDBC ，且BEBA ，求BED .AEDBC专业资料整理WORD格式4专业资料整理WORD格式【例 13】如下列图，在ABC 中，BACBCA 44 ，M为ABC 内一点，使得MCA 30 ，MAC 16

7、，求BMC的度数 .BMAC专业资料整理WORD格式5专业资料整理WORD格式全等三角形证明经典50 题含答案1.： AB=4 ， AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求ADA延长 AD 到 E,使 DE=AD,BC那么三角形 ADC 全等于三角形 EBDD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中 ,AB-BE<AE<AB+BEA即 :10-2<2AD<10+2 4<AD<6又 AD 是整数 ,那么 AD=512. ： D 是 AB 中点， ACB=90 °，求证：CDABD2CB3. ： BC=DE ， B= E， C= D ，F

8、是 CD 中点，求证： 1= 2证明：连接 BF 和 EF。A因为 BC=ED,CF=DF, BCF= EDF 。1 2所以 三角形 BCF 全等于三角形EDF( 边角边 )。所以 BF=EF, CBF= DEF。BE连接 BE。在三角形 BEF 中 ,BF=EF 。所以 EBF= BEF。CFD又因为 ABC= AED 。所以 ABE= AEB 。所以 AB=AE 。在三角形 ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF, ABF= ABE+ EBF= AEB+ BEF= AEF 。所以 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。所以 BAF= EAF ( 1= 2)。专业资料整理WOR

9、D格式6专业资料整理WORD格式4. ： 1= 2，CD=DE ， EF/AB ，求证： EF=AC证明：过 E 点，作 EG/AC ，交 AD 延长线于 G那么 DEG= DCA ， DGE= 2又 CD=DEA1 2 F专业资料整理WORD格式 ADC GDE AAS EG=AC EF/AB DFE= 1 1= 2 DFE= DGE EF=EG EF=ACCDEB专业资料整理WORD格式5. ： AD 平分 BAC ，AC=AB+BD ，求证： B=2 CA证明：在 AC 上截取 AE=AB ，连接 EDBCD AD 平分 BAC EAD= BAD又 AE=AB ， AD=AD AED A

10、BD SAS AED= B， DE=DB AC=AB+BDAC=AE+CE CE=DE C= EDC AED= C+ EDC=2 C B=2C12. 如图，四边形 ABCD 中， AB DC ， BE 、 CE 分别平分 ABC 、BCD ，且点 E 在 AD 上。求证： BC=AB+DC 。证明 :在 BC 上截取 BF=BA, 连接 EF. ABE= FBE,BE=BE, 那么 ABE FBE(SAS), EFB= A; AB 平行于 CD, 那么 : A+ D=180°又 EFB+ EFC=180° ,那么 EFC= D;又 FCE= DCE,CE=CE, 故 FCE

11、 DCE(AAS),FC=CD.所以 ,BC=BF+FC=AB+CD.专业资料整理WORD格式7专业资料整理WORD格式13.： AB/ED ， EAB= BDE ， AF=CD ，EF=BC ，求证： F= CAB/ED,AE/BD推出 AE=BD,又有 AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB ，所以 : C= F14. ： AB=CD ， A= D ，求证： B= C证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于 E，当 AD<BC 时，E 点是射线 BA,CD 的交点，当 AD>BC 时， E 点是射线 AB,DC 的交点。那么： AED 是等腰三角形。所以：

12、AE=DE而 AB=CD所以： BE=CE ( 等量加等量，或等量减等量所以： BEC 是等腰三角形所以：角 B= 角 C.15. P 是 BAC 平分线 AD 上一点， AC>AB ，求证： PC-PB<AC-AB作 B 关于 AD 的对称点 B，因为 AD 是角 BAC 的平分线， B'在线段 AC 上在 AC 中间，因为 AB 较短因 为 PC<PB+BC,PC-PB<BC, 而 B'C=AC-AB'=AC-AB, 所 以 PC-PB<AC-AB16. ABC=3 C， 1= 2， BEAE ，求证： AC-AB=2BE BAC=18

13、0- ABC+ C=180-4 C 1=BAC/2=90-2 C ABE=90- 1=2 C延长BE交AC于F因为， 1 = 2，BE AE所以， ABF 是等腰三角形AB=AF,BF=2BE FBC= ABC- ABE=3 C-2 C= C BF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BEEDCFABADBCCAPDB专业资料整理WORD格式8专业资料整理WORD格式17. ， E 是 AB 中点， AF=BD ，BD=5 ， AC=7 ，求 DC作 AG BD 交 DE 延长线于 GD专业资料整理WORD格式AGE 全等 BDEAG=BD=5AFC专业资料整理WORD格式AGF CDF

14、AF=AG=5所以 DC=CF=2185 分如图，在 ABC 中， BD =DC ， 1= 2，求证： AD BC延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以 : DBC= 角 DCB; 1=2; DBC+ 1=角 DCB+ 2; ABC= ACB;所以 :AB=AC;三角形 ABD 全等于三角形ACD; BAD= CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以 :AD 垂直 BC19 5 分如图， OM 平分 POQ， MA OP,MB OQ， A、 B 为垂足， AB 交 OM 于点 N求证： OAB=OBA因为 AOM 与 MOB 都为直角三角形、共用OM ，且 MOA= MOB所以 MA=MB

15、所以 MAB= MBA因为 OAM= OBM=90 度所以 OAB=90- MAB OBA=90- MBA所以 OAB= OBA20 5 分如图，AD BC， PAB 的平分线与CBA 的平分线相交于 E，CE 的连线交AP 于 D 求证： AD +BC=AB证明：做 BE 的延长线，与 AP 相交于 F 点， PA/BC PAB+ CBA=180°，又， AE ， BE 均为 PAB 和 CBA 的角平分线 EAB+ EBA=90° AEB=90°， EAB 为直角三角形在三角形 ABF 中， AE BF，且 AE 为 FAB 的角平分线EBPCEDAB专业资料

16、整理WORD格式9专业资料整理WORD格式三角形 FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形 DEF 与三角形BEC 中， EBC= DFE, 且 BE=EF ， DEF= CEB，三角形 DEF 与三角形BEC 为全等三角形，DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC21 6 分如图， ABC 中，AD 是 CAB 的平分线，且 AB=AC+CD，A求证： C=2 B证明：在 AB 上找点 E，使 AE=ACCB AE=AC ， EAD= CAD ， AD=ADD ADE ADC 。DE=CD ， AED= C AB=AC+CD ， DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE B

17、= EDB C= B+ EDB=2 B22 6 分如图， E、F 分别为线段AC 上的两个动点， 且 DE AC 于 E，BF AC 于 F，假设 AB=CD ，AF=CE，BD 交 AC 于点 M（ 1求证： MB=MD ， ME=MF（ 2当 E、 F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？假设成立请给予证明；假设不成立请说明理由分析：通过证明两个直角三角形全等，即RtDEC Rt BFA 以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形再根据平行四边形的性质得出结论解答：解： 1连接 BE ， DF DE AC 于 E， BFAC 于 F， DEC= BFA=90°

18、;， DE BF ，在 RtDEC 和 Rt BFA 中， AF=CE ， AB=CD ， RtDEC Rt BFA ， DE=BF 四边形 BEDF 是平行四边形 MB=MD ，ME=MF ； 2连接 BE， DF DE AC 于 E， BFAC 于 F， DEC= BFA=90°， DE BF ，在 RtDEC 和 Rt BFA 中， AF=CE ， AB=CD ，专业资料整理WORD格式10专业资料整理WORD格式 RtDEC Rt BFA ， DE=BF 四边形 BEDF 是平行四边形 MB=MD ，ME=MF 237 分：如图，DC AB，且 DC =AE ，E 为 AB

19、的中点，1求证： AED EBCA专业资料整理WORD格式2观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC 外，请再写出两个与 AED 的面积相等的三角形 直接写出结果，不要求证明：(1)DC AE ，且 DC=AE ，所以四边形AECD 是平行四边形。于是EOD专业资料整理WORD格式知 AD=EC ，且 EAD= BEC 。由 AE=BE ，所以 AED EBC。 2 AEC 、 ACD 、 ECD 都面积相等。24 7 分如图， ABC 中， BAC=90 度， AB=AC， BD 是 ABC的平分线， BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F 求证： BD

20、 =2CE证明：延长BA 、CE ，两线相交于点F BE CE BEF= BEC=90°在 BEF 和 BEC 中 FBE= CBE, BE=BE, BEF= BEC BEF BEC(ASA) EF=EC CF=2CE ABD+ ADB=90° ,ACF+ CDE=90°又 ADB= CDE ABD= ACF在 ABD 和 ACF 中 ABD= ACF, AB=AC, BAD= CAF=90° ABD ACF(ASA) BD=CF BD=2CE25、 10 分如图： DF=CE， AD=BC， D=C。求证： AED BFC。BCFAEDBCDEFCAB

21、专业资料整理WORD格式11专业资料整理WORD格式26、 10 分如图： AE、 BC交于点 M， F 点在 AM上， BE CF， BE=CF。A求证： AM是 ABC的中线。证明：F BE CFBC E= CFM ， EBM= FCMM BE=CFE BEM CFM BM=CM AM 是 ABC 的中线 .27 、 10 分如图：在 ABC中， BA=BC，D是 AC的中点。求证： BD AC。A三角形 ABD 和三角形 BCD 的三条边都相等，它们全等，所以角ADB 和角DCDB 相等，它们的和是180 度，所以都是90 度， BD 垂直 ACBC28、10 分AB=AC，DB=DC，

22、F 是 AD的延长线上的一点。求证：BF=CFA证明：在 ABD 与 ACD 中 AB=ACBD=DCDAD=ADBC专业资料整理WORD格式 ABD ACD ADB= ADC BDF= FDCF专业资料整理WORD格式在 BDF 与 FDC 中BD=DC BDF= FDCDF=DF FBD FCD BF=FC29、 12 分如图： AB=CD， AE=DF， CE=FB。求证： AF=DE。专业资料整理WORD格式12专业资料整理WORD格式因为 AB=DCABAE=DF,CE=FBFCE+EF=EF+FB所以三角形 ABE= 三角形 CDF因为 角 DCB= 角 ABFEAB=DC BF=

23、CECD三角形 ABF= 三角形 CDE所以 AF=DE30.公园里有一条“Z字形道路 ABCD ，如下列图， 其中 AB CD ，在 AB，CD，BC 三段路旁各有一只小石凳 E， F， M，且 BE CF，M 在 BC 的中点，试说明三只石凳 E， F ， M 恰好在一条直线上 . 证： AB 平行 CD B= C两直线平行，内错角相等 M 在 BC 的中点 EM=FM 中点定义在 BME 和 CMF 中BE=CF B= C已证EM=FM 已证 BME 全等与 CMF SAS EMB= FMC 全等三角形的对应角相等 EMF= EMB+ BMF= FMC+ BMF= BMC=180

24、6;等式的性质 E， M ， F 在同一直线上31：点 A 、 F、 E、 C在同一条直线上，AF CE， BE DF ，BE DF 求证： ABE CDF证明： AF=CE AF+EF=CE+EF AE=CF BE/DF BEA= DFC又 BE=DF ABE CDF SAS专业资料整理WORD格式13专业资料整理WORD格式32.：如下列图， AB AD ， BC DC ， E、 F 分别是 DC、BC 的中点，求证：AE AF 。连结 BD ，得到等腰三角形ABD 和等腰三角形 BDC ，由等腰两底DE角相等得：角 ABC= 角 ADC在结合条件证得： ADE ABF得 AE=AFACF

25、B33如图，在四边形 ABCD 中， E 是 AC 上的一点， 1= 2， 3= 4，求证 : 5= 6因为角 1=角 2 3=4 所以角 ADC= 角 ABC.D又因为 AC 是公共边，所以AAS=> 三角形 ADC 全等于三角形 ABC.153AC所以 BC 等于 DC ，角 3 等于角 4,EC=EC2E 64三角形 DEC 全等于三角形 BECB所以 5= 634 ABDE，BCEF，D，C 在 AF 上，且 ADCF，求证：ABCDEF因为 D,C 在 AF 上且 AD=CF所以 AC=DF又因为 AB 平行 DE ，BC 平行 EF所以角 A+ 角 EDF ，角 BCA= 角

26、 F两直线平行，内错角相等然后 SSA角角边三角形全等专业资料整理WORD格式35：如图，AB=AC，BDAC，CE AB，垂足分别为证明：因为 AB=AC ，所以EBC= DCB因为BDAC，CEAB所以BEC= CDBBC=CB ( 公共边 )那么有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB 所以 BE CDD 、E，BD、CE 相交于点F，求证：BE=CD CDFBEA专业资料整理WORD格式14专业资料整理WORD格式36、如图，在 ABC 中， AD 为 BAC 的平分线， DE AB 于 E，DF AC 于 F。A求证： DE=DF AAS 证 ADFEFBDC37.：如图 , ACB

27、C于C,DEAC于 E,ADAB于 A ,BC =AE假设 AB=5,求 AD 的长？角 C=角 E=90 度A角 B= 角 EAD=90 度 -角 BACBC=AEDEABC DAEBCAD=AB=538如图： AB=AC ，ME AB ，MF AC ，垂足分别为 E、 F， ME=MF 。求证： MB=MC 证明 AB=ACA ABC 是等腰三角形 B= C又 ME=MF ， BEM 和 CEM 是直角三角形专业资料整理WORD格式 BEM 全等于 CEM MB=MCEF专业资料整理WORD格式BMC40在 ABC 中，ACB90 ，ACBC ，直线 MN 经过点 C ，且 ADMN 于D

28、，BEMN于E.(1)当直线MN 绕点C旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB；DEADBE；(2) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图2的位置时，1中的结论还成立吗？假设成立，请给出证明；假设不成立，说明理由 .（ 1证明： ACB=90°， ACD+ BCE=90°，而 AD MN 于 D，BEMN 于 E，专业资料整理WORD格式15专业资料整理WORD格式 ADC= CEB=90°， BCE+ CBE=90°， ACD= CBE在 RtADC 和 Rt CEB 中， ADC= CEB ACD= CBE AC=CB ， RtADC Rt CEB AA

29、S ， AD=CE ， DC=BE ， DE=DC+CE=BE+AD ；（ 2不成立，证明：在 ADC 和 CEB 中， ADC= CEB=90° ACD= CBE AC=CB ， ADC CEB AAS ， AD=CE ， DC=BE ， DE=CE-CD=AD-BE ；41如下列图， AE AB，AF AC，AE=AB，AF=AC。求证：1EC=BF；F 2 EC BF 1证明 ;因为 AE 垂直 ABEA所以角 EAB= 角 EAC+ 角 CAB=90 度M因为 AF 垂直 ACBC所以角 CAF= 角 CAB+ 角 BAF=90 度所以角 EAC= 角 BAF因为 AE=AB

30、AF=AC所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等所以 EC=BF角 ECA=角 F 2(2) 延长 FB 与 EC 的延长线交于点 G因为角 ECA= 角 F(已证所以角 G= 角 CAF因为角 CAF=90度所以 EC 垂直 BF42如图： BE AC ， CFAB ， BM=AC ， CN=AB 。求证： 1AM=AN ； 2 AM AN 。专业资料整理WORD格式证明：（ 1 BE AC ，CF AB ABM+ BAC=90°， ACN+ BAC=90°NA43F专业资料整理WORD格式 ABM= ACN BM=AC ， CN=AB1EM2专业资料整理WORD格式

31、 ABM NAC AM=AN（ 2 ABM NAC BAM= N N+ BAN=90° BAM+ BAN=90°BC专业资料整理WORD格式16专业资料整理WORD格式即 MAN=90° AMAN43如图 , A= D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证 :BC EF 连接 BF、CE，证明 ABF 全等于 DEC SAS ，然后通过四边形 BCEF 对边相等的证得平行四边形 BCEF 从而求得 BC 平行于 EF44如图 , AC BD ，EA 、EB 分别平分 CAB 和 DBA ，CD 过点 E，那么 AB 与 AC+BD 相等吗？请说明理由在 AB

32、 上取点 N ,使得 AN=AC CAE= EAN ,AE 为公共边 ,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN所以 ANE= ACE又 AC 平行 BD所以 ACE+ BDE=180而 ANE+ ENB=180所以 ENB= BDE NBE= EBNBE 为公共边 ,所以三角形EBN 全等三角形EBD所以 BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD45、 10 分如图 ,: AD 是 BC 上的中线,且 DF=DE 求证 :BE CF证明： AD 是中线 BD=CD DF=DE ， BDE= CDF BDE CDF BED= CFD BE CF专业资料整理WORD格式17专业资料整理WORD格式46、 (10 分)：如图， AB C