等差数列及其通项公式课件

1、等差数列及其通项公式等差数列及其通项公式一、复习引入一、复习引入1.什么是数列什么是数列?什么是数列的项什么是数列的项? 按一定按一定次序次序排成的排成的一列数一列数叫数列叫数列.数列中数列中 的每一个数都叫做这个数列的项的每一个数都叫做这个数列的项.2.通项公式的概念通项公式的概念? 如果数列如果数列an的的第第n 项项an与与项数项数n之间的关之间的关系可以用一个公式来表示系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个公式就叫做这个数列的通项公式这个数列的通项公式. (1) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15从第二项起每一项与它前一项的差都等于2 (2)-3 ,

2、0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18从第二项起每一项与它前一项的差都等于3 (3)70 , 60 , 50 , 40 , 30 , 20 , 10从第二项起每一项与它前一项的差都等于-10它们有什么共同的它们有什么共同的特点？特点？3.观察下列数列：观察下列数列：二、新课二、新课1.等差数列的定义等差数列的定义 一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列从第二项起从第二项起，每一，每一项与它的项与它的前一项前一项的的差差等于同一个等于同一个常数常数d，那么，那么这个数列就叫做等差数列。常数这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数叫做等差数列的公差。列的公差。即：即：an+1-

3、an = d (nN)等差数列的定义如何用数学符号表示等差数列的定义如何用数学符号表示 它们都是等差数列它们都是等差数列 吗吗?（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5 （2）0，2，4，6，8，10，12（3）-1，1，-1，1，-1，1，-1，1（4）1，2，3，5，7，9，11，13 是 是是不是不是这些特别的数这些特别的数列有没有通项列有没有通项公式呢？公式呢？不是不是2.等差数列的递推公式等差数列的递推公式an+1 = an + d (nN)3.等差数列的通项公式等差数列的通项公式通通 项项 公公 式式 的的 推推 导导1 1（归纳猜想）（归纳猜想）设一个等差数列设一个等差数列 an

4、 n 的首项是的首项是a1 1, ,公差是公差是d,d,则有：则有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,所以有：所以有：所以等差数列的通项公式是：所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d（nN* *）问问an=?=? 通过观察：通过观察：a2， a3，a4都可都可以用以用a1与与d 表示出来；表示出来；a1与与d的的系数有什么特点？系数有什么特点？a1 1 、an n、n、d知三知三求一求一a2=a1+ d,a3=a1+2d,a4=a1+3d, an=a1+(n-1)da2=a1+d,a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2da4=a3+d = (a1+

5、2d) +d =a1+3d21aad32aad43aad12nnaad1nnaad叠加得叠加得1(1)naand等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式推导2（叠加）（叠加）dnaan) 1(1由由an+1-an = d (nN)得得:等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d（nN* *）an=am+(n-m)d（nN* *）求公差的方法：求公差的方法：d = an+1 an (nN)11naanmnaamnd= (nN) d= (n、mN) a1 1 、an n、n、d知三知三求一求一 -12，_, 0 在下列两数之间插入一个什么数，使三数在下列两数之间插入一个什么数

6、，使三数成等差数列？它和前后两数之间有什么关系？成等差数列？它和前后两数之间有什么关系？ 2，_, 4 -1，_, 53-62 4.等差中项等差中项定义：定义： 如果如果a，A，b成等差数列，则成等差数列，则A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项。定义：定义： 如果如果a，A，b成等差数列，则成等差数列，则A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项。且。且2baA 或或 2Aa+b注意：注意： 在一个等差数列中，从第在一个等差数列中，从第2项起，每项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项与后一项的等差中项.可见：可见：如果三个数成等

7、差数列，那么等差中如果三个数成等差数列，那么等差中 项等于另两项的算术平均数项等于另两项的算术平均数. 在在等差数列等差数列： a a1 1，a a2 2，a a3 3，aan-1n-1，a an n，a an+1n+1中中如：如：在在1 1，3 3，5 5，7 7，9 9，1111，中中253+7； 297+11 。 112 nnnaaa即：即：在等差数列中在等差数列中an中，对任意连续的中，对任意连续的三项，三项， 都有都有.,11112 nnnnnnnaaaaaaa都都有有：中中，任任意意连连续续的的三三项项结结论论：等等差差数数列列.,11112 nnnnnnnaaaaaaa都都有有：

8、中中，任任意意连连续续的的三三项项结结论论：等等差差数数列列abA2三个数三个数a，A，b成等差数列成等差数列A是是a、b的的等差中项等差中项。例：例： 指出下列数列中的等差数列，并求出指出下列数列中的等差数列，并求出公差和通项公式公差和通项公式（1），）， （2），），（3），），1111( 4 )1 ,234511111(5)1,2,3,4,523456111(6 ), 0 ,1,1222例例2.（1）求等差数列）求等差数列8，5，的第的第20项项.（2）401是不是等差数列是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？例例3.在等差数列在等差数列an中中,已

9、知已知a3=10, a9=28,求求a12 。解：由题意得解：由题意得a1+2d=10a1+8d=28所以所以a12=4+(12-1) 3=37解得：解得： a1=4 d=3变式变式： 已知已知a5=11, a8=5, 求等差数列求等差数列an的通项公式的通项公式.例例4. 课本课本P12.例例5.第一届现代奥运会于第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每年在希腊雅典举行，此后每4年举年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。 （1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式 （2）2008年北

10、京奥运会是第几届？年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？年举行奥运会吗？解解:（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，为首项，4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为为公差的等差数列。这个数列的通项公式为 an=1896+4(n-1) =1892+4n(nN*) (2) 假设假设an=2008, 由由 2008=1892+4n, 得得 n=29. 假设假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解无正整数解答：所求通项公式为答：所求通项公式为 an= 1892+4n(nN*) ，2008年北京奥运会是第年

11、北京奥运会是第29届，届，2050年不举行奥运会年不举行奥运会例例6：某滑轮组由直径成等差数列的个滑轮组成已知最：某滑轮组由直径成等差数列的个滑轮组成已知最 小与最大的滑轮的直径分别为小与最大的滑轮的直径分别为15和和25cm,求中间四个滑轮的求中间四个滑轮的直径直径解：用解：用an表示表示滑轮的直径所构成的等差数列，根据题意知滑轮的直径所构成的等差数列，根据题意知 a1=15,a6=25由等差数列的通项公式，得由等差数列的通项公式，得a6=a1+(6-1)d, 即即25=15+5d, d=2 由此得：由此得：a2=17,a3=19,a4=21,a5=23答：中间的四个滑轮的直径顺次为答：中间的四个滑轮的直径顺次为17cm，19cm，21cm，23cm.三、小结三、小结1.等差数列的定义：等差数列的定义：an+1-an = d (nN)2.等差数列的递推公式：等差数列的递推公式：an+1 = an + d (nN)3.等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d（nN* *）an=am+(n-m)d（nN* *）4.求公差的方法：求公差的方法：d = an+1 an (nN)11naand= (nN) mnaamn d= (n、mN)5.等差中项：等差中项： 如果如果a，A，b成等差数列，则成等差数列，