蝴蝶定理的八种证明及三种推广

1、 蝴蝶定理的证明 定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于 得共圆；共圆。则又，为的中点，从而，则 ，于是。证法2 过作关于直线的对称点，如图3所示，则 联结交圆于，则与关于对称，即。又故四点共圆，即而 由、知，故。证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有 ，由上述两式相乘，并注意到 得 化简上式后得。22 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可

2、以完成蝴蝶定理的证明。证法 4 （Steven给出）如图5，并令由，即化简得 即 ，从而 。证法 5 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有上述两式相减，得设分别为的中点，由，有于是 ，而，知，故。 （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为。直线的方程为，直线的方程为。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为令，知点和点的横坐标满足二次方程，由于的系数为，则两根和之和为，即，故。5证法 7

3、 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为直线、的方程可写为,。又设的坐标为，则分别是二次方程的一根。在轴上的截距为。同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则即 作于，作于。注意到 由与可得 将代入可得，即。二 蝴蝶定理的推广和猜想（一） 猜想 1在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM . 推论 1过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交

4、AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;PM E = QM F =,PCM = DFM = ;CM E = DM F =,QDM = CEM = ;记 PM E, QM F,PMC, QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式S2S3S4S1= 1知M PM Esin MQM Fsin FQFM sin ( - )CPCM sin MCsin (+)MD sin (+) DQDM sin EPEM sin ( - )=DQM P2EPMQ2 = 1,即 QFQDM P2= PCPEMQ2. 又由割

5、线定理知PCPE = PAPB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QFQD = QBQA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a 0, x, y 0,所以 x = y .即 PM = QM.3（二）猜想 2在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .推论 2已知直线 AB与 O相离. OM AB, M 为垂足. 过 M作

6、O任意两条割线 MC, M E分别交 O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.证明：过 F作 FKAB, 交直线 OM于 N,交 O于 K .连结 M K交 O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .又由割线定理知M EM F = MGM K .因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知EM P = GMQ. 从 CQM = CFK = CGK知 CGM +CQM= 180 , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以

7、 MGQ =MCQ.又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ, 知M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM.（三）猜想 3既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .推论 3 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM.证明：由于 l 1 l 2 ,M 平分AB, 从而利用