分别是-正弦-余弦-正切-余切-正割-余割(同名18339)

1、分别是 正弦余弦正切余切正割 余割角B的所有三角函数见：函数图形曲线在平面直角坐标系xOy中，从点0引出一条射线OP，设旋转角为 0,设OP=r ,P点的坐标为x, y有正弦函数sin 0 =y/r余弦函数cos0 =x/r正切函数tan0 =y/x余切函数cot0 =x/y正割函数sec0 =r/x余割函数csc0 =r/y斜边为r，对边为y，邻边为X。以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数 versin 0 =1 - cos 0余矢函数 covers0 =1 -sin 0正弦:sin:角a的对边比上斜边余弦:cos涌a的邻边比上斜边正切tan:角a的对边比上邻边余切:cot:角a的邻

2、边比上对边正割:sec涌a的斜边比上邻边余割:csc涌a的斜边比上对边编辑本段同角三角函数间的根本关系式:平方关系：sinA2 a+ cosA2 a = 11 + tanA2 a = secA2 a1 + cotA2 a = cscA2 a积的关系：sin a =tan aX cos aCOS a =cot aX sin atan a =sin aX sec acota=cosaXcscasec a =tan a X csc acsca=secaXcota倒数关系：tan a cot 芮 1Sin a CSC a 1COS a Sec a= 1商的关系：Sin a/coS a=tana=Sec

3、a/cSc acoSa/Sin a=cota=cSca/Sec a直角三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 ,余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 ,1三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( a + 3 )=cos a coS-Sin a Sin 3cos( a- 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3sin( a±3 )=sin a cos 3 土 cos a sin 3tan( a + 3 )=(tan a +tan 3 )/(-1an a tan 3)tan( a- 3 )=(tan atan 3 )/(1+ta

4、n a tan 3)三角和的三角函数：sin( a + 3 + y )=sin a cos 3，cos 丫 +cos a sin 3，cos 丫 +cos a-cos sSn sin 丫 cos( a + 3 + y )=cos a cos 3° cosoy a sin 3，S-Biny a cos 3° s-isiry a sin 3，cos 丫 tan( a + 3 + y )=(tan a +tan 3 +tantan a tan 3，tan y-)/(n a tan-fan 3，tan-tyn 丫 tan辅助角公式：Asin a +Bcosa =(A&sup

5、2;+B&sup2；F(1/2)sin(a +arctan(B/A)，其中sin t=B/(A²+B&sup2；F(1/2)cost=A/(A²+B²)A(1/2)tant=B/AAsin a-Bcosa =(A²+B&sup2(1/2)cos(a -t) , tant=A/B倍角公式：si n(2 a )=2s in a cos a =2/(ta n a +cot a)cos(2 a )=cos²( a)-sin²( a )=2cos²( a)

6、-1=1- 2sin²( a)tan(2 a)=2tan a/1-tan²( a)三倍角公式：sin(3 a )=3sin a4si n&s up3;( a )=4sin a sin( 60+ a )si n(60 a)COS(3 a )=4cos &sup3；( a) -3COS a =4COS a，COS(60+ a)COS(60 - a )tan(3 a )=tan a tan( n /3+a) tan( n /3-a)半角公式：sin( a /2)= ±V(COS a )/2)COS( a /2)= ±V (1+C

7、OS a )/2)tan( a /2)= ±V (Cos a )/(1+COS a )=Sin a /(1+COS a )=(1cos a )/sin a 降幕公式sin²( a)=(1 -COs(2 a )/2=versin(2 a)/2COs²( a)=(1+COs(2 a)/2=COvers(2 a)/2tan²( a)=(1 -COs(2 a )/(1+COs(2 a)万能公式：sin a=2tan( a /2)/1+tan²( a/2) COsa=1-tan²( a/2)/1+tan&

8、amp;sup2;( a/2) tana=2tan( a/2)/1-tan²( a/2)积化和差公式：sin a-cos 3 =(1/2)sin(COsa-sin 3 =(1/2)sin(a+3)+sin-(3a) a -+s3in)( a-3)COsaCOs3=(1/2)COs(a+3)+COs(-3a)sin aa+3-)COs(a-3)sin 3-(=1/2)COs(和差化积公式：sin a+sin 3=2sin( a + 3 )/2COs( - 3a)/2sin a-sin 3=2COs( a+3)/2sin( -3a)/2COsa+COs3=2COs( a+3)/2

9、COs(a-3)/2COsa-COs3=-2sin( a+3)/2sin( -3a)/2推导公式tana+COta=2/sin2 atana-COt a=-2COt2 a1+COs2 a =2COs² a1-COs2 a =2sin² a1+sina=(sin a /2+COs a/2)²其他：sin a +sin( a +2 n /n)+sin( a +2n *2/n)+sin( a +2 n *3/n)+ +sin a +2n-)/n=0cos a +cos( a +2 n /n)+cos( a +2 n *2/n)+cos( a +2

10、 n *3/n)+ +cos a +2 n *(n -1)/n=0以及sin²( a )+sin²( a -2 n +sin²( a +2n /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx证明：左边 =2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx

11、积化和差=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx= 右边等式得证sinx+sin2x+.+sinnx=- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx证明 :左边 =-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx)=- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx= 右边 等式得证三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin&sup

12、2;a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina( V3/2)² -sin²a=4sina(sin²60 ° -sin²a)=4sina(

13、sin60 °+sina)(sin60 °-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60° -a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60°+a)/2=4sinasin(60 °+a)sin(60 °-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(V3/2)²=4cosa(cos²a-cos²30 °)=4cosa(cosa+cos30

14、 ° )(cosa-cos30 ° )=4cosa*2cos(a+30 ° )/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2=-4cosasin(a+30 ° )sin(a-30 °)=-4cosasin90 ° -(60。-a)sin-90+(60 ° +a)=-4cosacos(60 °-a)-cos(60°+a)=4cosacos(60 °-a)cos(60 ° +a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(6

15、0 ° -a)tan(60 ° +a)编辑本段三角函数的诱导公式公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:1*对窟孩的乗轨为I宜空白三廉卑的上眄个顶点韵平方和孑于下帧点的呼寿六边用舶邻林圭个吨点b吧有X系：icbsin 2k n + a= sin acos 2k n+ a= cos atan 2k n+ a= tan acot 2k n+ a= cot a公式二：设a为任意角，n +a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin n+ a= sin acos n + a=一 cos atan n+ a= tan acot n+ a= cot a公式三：任意

16、角a与-a的三角函数值之间的关系：sin一 a= sin acos 一 a= cos atan 一 a= 一 tan acot一 a=一 cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系:sin n- a= sin acosn -a=COS atann -a=tan acotn a= COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到2n- a与a的三角函数值之间的关系:sin 2 n a= sin aCOS 2 n a= COS atan 2 n a = tan aCOt 2 n a= COt a公式六：n /2±:及3 n /2 ±o与a的三角函数

17、值之间的关系sinn /2+a=COs aCOSn /2+a：=sin atann /2 +a=一 COt aCOtn /2 +a=一 tan asinn /2a=COs acosn /2a：=sin atann /2 a=COt aCOtn /2 a=tan asin3n /2 +a=COs acos3 n /2 + a=sin atan3 n /2 + a=COt acot3n /2 +-a=tan asin3n /2 a=COs acos3n /2-a=sin atan3 n /2 一 a=COt acot3n /2-a=tan a以上k Z补充：6X9 = 54种诱导公式的表格以及推导

18、方法定名法那么和定号法那么f( 3 ) Tf( 3=sin 3cos 3tan 3cot 3sec 3csc 3360k+ asin aCOs atan aCOt asec aCsC a90° aCOs asin aCOt atan aCsC asec a90° +acos a-sin a-cot a-tan a-csc asec a180° asin a-cos a-ta n a-cot a-sec acsc a180° +a-sin a-cos atan acot a-sec a-csc a270° a-cos a-sin acot ata

19、n a-CSC a-sec a270° +a-cos asin a-cot a-tan acsc a-sec a360° a-sin acos a-ta n a-cot asec a-csc aa-sin acos a-ta n a-cot asec a-csc a定名法那么90°的奇数倍+ a的三角函数，其绝对值与a三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+a的三角函数与a的三角函数绝对值相同。也就是 奇余偶同，奇变偶不变定号法那么将a看做锐角注意是看做，按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是象限定号，符号看象限比方：90 ° +a定名

20、：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将a看做锐角，那么90° + a是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为正。所以Sin(90 ° +a)=COS a , cos(90 ° + a> -Sin a这个非常神奇，屡试不爽 编辑本段三角形与三角函数1、 正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sinB=c/sinC=2R.(其中R为外接圆的半径 )2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即 a=c cosB + b cosC3、第二余弦定理：三角形中任何一

21、边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即aA2=bA2+cA2-2bccosA4、正切定理(napier比较)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即 a-b/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2)5、三角形中的恒等式：对于任意非直角三角形中，如三角形 ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明：(A+B)=( n -C)所以 tan(A+B)=tan( n -C)那么(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan n -tanC)/(1+tan n

22、 tanC)整理可得ta nA+ta nB+ta nC=ta nAta nBta nC类似地，我们同样也可以求证 ：当a + 3 + y =nn (i Z)时，总有tan a +tan 3 +tan 丫 =tana tan 3 tan 丫编辑本段局部高等内容高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：si nx=eA(ix)-eA(-ix)/(2i)cosx=eA(ix)+eA(-ix)/2ta nx=eA(ix)-eA(-ix)/ieA(ix)+ieA(-ix)泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z) = 1 + z/1 ! +乙人2/2 ! +乙人3/3 ! +乙人4/4 ! + zA

23、n/n ! + 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=-y;y=y ，有通解Q,可证明Q=As in x+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一一双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。角度a0°30° 45° 60° 90°180°1.si na01/2 2 2/2 2 3/2 1 02.cosa123/2 22/2 1/2 0 -13.ta na023/3 1 23 / 04.cota/23 1 23/3 0 /注

24、：为根号编辑本段三角函数的计算幕级数c0+c1x+c2x2+.+Cnxn+.=刀cnxn (n=0. g)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=刀cn(x-a)n (n=0. g)它们的各项都是正整数幕的幕函数，其中c0,c1,c2,及a都是常数，这种级数称为幕级数.泰勒展开式(幕级数展开法):f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f'(a)/2!*(x-a)2+.f( n)(a)/n!*(x-a )n+.实用幕级数:ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+x n/n!+.In (1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+

25、.(|x|<1)sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(- g<x<)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-g<x<g)arcsin x = x + 1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5+.(|x|<1)arccos x = n - ( x + 1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5+ . ) (|x|<1)arctan x = x - xA3/3+ xA5/5- . (x < 1)sinh x = x+x3/3!+x5/5!

26、+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(- g <x<g)cosh x = 1+x2 +x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(- g <x<g)arcsinhx = x - 1/2*x3/3+ 1*3/(2*4)*x5/5- . (|x|<1)arctanhx = x + xA3/3 + xA5/5 + . (|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图 像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+ 刀(n=0. g) (ancosn x+bnsinnx)a0=1/ n/ ( n-.n ) (f(x)dxan=1/ n/ ( n-.n ) (f(x)cosnx)dxbn=1/ n/ ( n-.n ) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦 第一，二象限为正,第三，四象限为负余弦第一，四象限为正第二，三象限为负正切第一，三象限为正第二，四象限为负编辑本段三角函数定义域和值域sin(x),cos(x) 的定义域为 R,值域为-1,1tan(x)的定义域为x不等于 n /2+k n值域为 Rcot(x)的定义域为x不等于k n,值域为R编辑本段初等三角函数导