无限脉冲响应数字滤波器的设计

1、 第第6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 6.5 数字高通、数字高通、 带通和带阻滤波器的设计带通和带阻滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，过数值

2、运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。因此，数字滤因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波方波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。正因为法不同。正因为数字滤波通过数值运算实现滤波数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过滤波功能。如果要

3、处理的是模拟信号，可通过A/DC和和D/AC，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。滤波器对模拟信号进行滤波。 1数字滤波器的分类数字滤波器的分类按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类，但总起来可以分成两大类：但总起来可以分成两大类： 经典滤波器和现代滤波经典滤波器和现代滤波器。器。 经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通成分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器滤除干

4、扰，得到纯净信号，过一个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到滤波的目的。达到滤波的目的。 例如，输入信号例如，输入信号x(t)中含有干扰，其时域波形和中含有干扰，其时域波形和频谱图分别如图频谱图分别如图6.1.1(a)、(b)所示，由图可见，信号所示，由图可见，信号和干扰的频带互不重叠，可用图和干扰的频带互不重叠，可用图6.1.1(c)所示低通滤所示低通滤波器滤除干扰波器滤除干扰, 得到纯信号，如图得到纯信号，如图6.1.1(d)所示。所示。 图图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取信号用经典滤波器从噪声中提取信号 但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经但是，如果信号和干扰的频谱相互

5、重叠，则经典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。 现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，现代滤波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最在某种最佳准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。 本书仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法，本书仅介绍经典滤波器的设计分析与实现方法

6、，而现代滤波器属于随机信号处理范畴，已超出本书而现代滤波器属于随机信号处理范畴，已超出本书学习范围。学习范围。 经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低通、高通、带通和带阻等滤波器。通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频特它们的理想幅频特性如图性如图6.1.2所示。所示。 这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单这种理想滤波器是不可能实现的，因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，我们只能按照某位脉冲响应均是非因果且无限长的，我们只能按照某些准则设计滤波器，使之在误差容限内逼近理想滤波些准则设计滤波器，使之在误差容限内逼近理想滤波器，理想

7、滤波器可作为逼近的标准。器，理想滤波器可作为逼近的标准。 另外，需要注意的是另外，需要注意的是, 数字滤波器的频率响应函数数字滤波器的频率响应函数H(ej)都是以都是以2为周期的为周期的，低通滤波器的通频带中心位，低通滤波器的通频带中心位于于2的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于的的奇数倍处。奇数倍处。一般在数字频率的主值区一般在数字频率的主值区, 描述描述数字滤波器的频率响应特性。数字滤波器的频率响应特性。 图图6.1.2 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应

8、长数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长度分类，可以分成度分类，可以分成无限长单位脉冲响应无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器滤波器和和有有限长单位脉冲响应限长单位脉冲响应(FIR)滤波器滤波器。它们的系统函数分别为：。它们的系统函数分别为： (6.1.1)式中的式中的H(z)称为称为N阶阶IIR数字滤波器系统函数数字滤波器系统函数; (6.1.2)式中的式中的H(z)称为称为N1阶阶FIR数字滤波器系统函数数字滤波器系统函数。这两种。这两种数字滤波器的设计方法不同，因此下面分成两章分别进行数字滤波器的设计方法不同，因此下面分成两章分别进行学习。学习。(6.1.1)NkkkMjrjzaz

9、bzH101)(6.1.2)10)()(NnnznhzH 根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频滤波器和其他滤波器。滤波器和其他滤波器。上述低通、高通、带通和带上述低通、高通、带通和带阻滤波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、阻滤波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔伯特变换器、频谱校正等滤波器。希尔伯特变换器、频谱校正等滤波器。滤波器可用于波形形成、调制解调器、从噪声滤波器可用于波形形成、调制解调器、从噪声中提取信号中提取信号(见图见图6.1.1)、信号分离和信道均衡等。所、信号分离和信道均衡等。所以学习滤波器的设计与实现是必不可少的。以

10、学习滤波器的设计与实现是必不可少的。 2 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数假设数字滤波器的频率响应函数字滤波器的频率响应函数H(ej)用下式表示：用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej()式中，式中，|H(ej)|称为幅频特性函数称为幅频特性函数; ()称为相频特性函称为相频特性函数。数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。后在时间上的延时情况

11、。因此，即使两个滤波器幅频因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。输出的信号波形也是不一样的。 一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，对几种，对几种 典型滤波器典型滤波器(如巴特沃斯滤波器如巴特沃斯滤波器)，其相频特性是确定，其相频特性是确定 的，所以设计过程中，对相频特性一般不作要求。的，所以设计过程中，对相频特性一般不作要求。但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技 术指标，例如波形传输、图像信号

12、处理等。术指标，例如波形传输、图像信号处理等。本章主要研究针对幅频特性指标的选频滤波器设计。本章主要研究针对幅频特性指标的选频滤波器设计。 对于图对于图6.1.2所示的各种理想滤波器，我们必须设所示的各种理想滤波器，我们必须设计一个因果可实现的滤波器去近似实现。另外，也要计一个因果可实现的滤波器去近似实现。另外，也要考虑复杂性与成本问题，因此实用中通带和阻带中都考虑复杂性与成本问题，因此实用中通带和阻带中都允许一定的误差容限，即允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带通带不是完全水平的，阻带不是绝对衰减到零不是绝对衰减到零。此外，按照要求，在通带与阻带。此外，按照要求，在通带与阻带之间还

13、应设置一定宽度的之间还应设置一定宽度的过渡带过渡带。 图表示低通滤波器的幅频特性，图表示低通滤波器的幅频特性，p和和s分别称为通带分别称为通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为0|p，在通在通带中要求带中要求(11)|H(ej)|1，阻带频率范围为阻带频率范围为s|，在，在阻带中要求阻带中要求|H(ej)|2。从从p到到s称为过渡带称为过渡带，过渡带上的，过渡带上的频响一般是单调下降的。频响一般是单调下降的。 (6.1.3a)pjjp0,dB| )e (|min| )e (|maxlg20HH通常，通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通常，通带内

14、和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用通带内允许的最大衰减用 p表示，阻带内允许的最小表示，阻带内允许的最小衰减用衰减用 s表示。对低通滤波器，表示。对低通滤波器， p和和 s分别定义为：分别定义为：(6.1.4a)jsjmax |(e )|20lgdBmax |(e )|HH通带中阻带中 显然，显然， p 越小越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小；通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小； p与与s间间距越小距越小, 过渡带就越窄。过渡带就越窄。 所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率所以

15、低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率p、通带、通带最大衰减最大衰减 p 阻带边界频率阻带边界频率s和阻带最小衰减和阻带最小衰减 s确定。确定。 片段常数特性片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数片段常数特性特性”。所谓片段，是指所谓片段，是指“通带通带”和和“阻带阻带”，常数是常数是指指“通带波纹幅度通带波纹幅度1”和和“阻带波纹幅度阻带波纹幅度2”，而通带最，而通带最大衰减

16、大衰减 p和阻带最小衰减和阻带最小衰减 s是与是与1和和2完全等价的两个常完全等价的两个常数。数。片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解尤其有助于理解IIR数字滤波器的双线性变换设计思想。数字滤波器的双线性变换设计思想。 图图6.1.3所示的单调下降幅频特性，所示的单调下降幅频特性， p和和 s别可以表别可以表示为示为如果将如果将|H(ej0)|归一化为归一化为1，(6.1.3b)和和(6.1.4b)式则表示为：式则表示为：dB| )e (| )e (|lg20pj0 jpHH(6.1.3b)(6.1.4b)dB| )e (| )

17、e (|lg20sj0 jsHH(6.1.5)dB| )e (|lg20pjpH(6.1.6)dB| )e (|lg20sjsH 当幅度下降到当幅度下降到 时，标记时，标记=c，此时，此时 dB，称，称c为为3 dB通带截止频率。通带截止频率。p、c和和s统称为边界频率，它们是滤波器设计中统称为边界频率，它们是滤波器设计中 所涉及到的很重要的参数。所涉及到的很重要的参数。对其他类型的滤波器，对其他类型的滤波器，(6.1.3b)式和式和(6.1.4b)式中的式中的 H(ej0)应改成应改成 ，0为滤波器通带中心频率。为滤波器通带中心频率。2/23)(0jeH 图图6.1.3 低通滤波器的幅频特性

18、指标示意图低通滤波器的幅频特性指标示意图 IIR滤波器和滤波器和FIR滤波器的设计方法完全不同。滤波器的设计方法完全不同。IIR滤波器设计方法有间接法和直接法；滤波器设计方法有间接法和直接法；（1）间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其。其 设计步骤是：设计步骤是： 先设计过渡模拟滤波器得到系统函数先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。（2）直接法：直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由）直接法：直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由

19、 于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。FIR滤波器滤波器不能采用间接法不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、，常用的设计方法有窗函数法、 频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。 本章只介绍本章只介绍IIR滤波器的间接设计方法。滤波器的间接设计方法。为此，为此， 我们先介绍模拟低通滤波器的设计，这是因为低我们先介绍模拟低通滤波器的设计，这是因为低 通滤波器的设计是设计其他滤波器的基础。通滤波器的设计是设计其他滤波器的基础。模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是：模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是： 先将希望设计

20、的各种滤波器的技术指标转换为低先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低 通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器 最后采用最后采用频率转换法频率转换法将低通滤波器转换成所希望将低通滤波器转换成所希望 的各种滤波器。的各种滤波器。 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯且有多种典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭滤波器、椭圆圆

21、(Ellipse)滤波器、贝塞尔滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等。这些滤波滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。 这些这些典型的滤波器各有特点典型的滤波器各有特点： 巴特沃斯滤波器具巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；有单调下降的幅频特性； 切比雪夫滤波器的幅频特性切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性。在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性。设设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。计时，

22、根据具体要求选择滤波器的类型。选频型模拟滤波器按幅频特性可分成选频型模拟滤波器按幅频特性可分成低通、高低通、高通、带通和带阻滤波器通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅频特性如图，它们的理想幅频特性如图6.2.1所示。但设计滤波器时，总是先设计低通滤波所示。但设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器。下面先介绍低通滤波器的技术指标和逼的滤波器。下面先介绍低通滤波器的技术指标和逼近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫近方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器的设计方法。滤波器的设计方法。 图图6.2

23、.1 各种理想模拟滤波器幅频特性各种理想模拟滤波器幅频特性 6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法信号中讲过，分别用信号中讲过，分别用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模拟表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下：者的关系如下： 可以用可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(j)中任一个描述模拟滤波中任一个描述模拟滤波 器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。但是设计模拟滤波器时，但是设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函设

24、计指标一般由幅频响应函 数数|Ha(j)|给出给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指，而模拟滤波器设计就是根据设计指 标，标，求系统函数求系统函数Ha(s)。aaajaaa( )LT( )( )ed(j)FT( )( )edsttHsh th ttHh th tt 工程实际中通常用所谓的损耗函数（也称为衰工程实际中通常用所谓的损耗函数（也称为衰减函数）减函数）A()来描述滤波器的幅频响应特性，来描述滤波器的幅频响应特性， 对归对归一化幅频响应函数一化幅频响应函数A()定义如下（其单位是分贝，定义如下（其单位是分贝，用用dB表示）：表示）： 2aa()20lg(j)10lg(j) dBAHH（6.

25、2.1）应当注意，应当注意，损耗函数损耗函数A()和幅频特性函数和幅频特性函数|H(j)|只是只是 滤波器幅频响应特性的两种描述方法。滤波器幅频响应特性的两种描述方法。损耗函数的优点是对幅频响应损耗函数的优点是对幅频响应|Ha(j)|的取值，放大了的取值，放大了 小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变 化情况。化情况。 二者的特点如图二者的特点如图6.2.2所示。图所示。图6.2.2(a)所示的幅频响所示的幅频响 应函数完全看不清阻带内取值较小（应函数完全看不清阻带内取值较小（0.001以下）的以下）的 波纹，而图波纹，而图6.2.2(

26、b)所示的同一个滤波器的损耗函数所示的同一个滤波器的损耗函数 则能很清楚地显示出阻带则能很清楚地显示出阻带60 dB以下的波纹变化曲以下的波纹变化曲 线。线。另外，另外，直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲 线形状相反线形状相反，所以，所以，习惯将习惯将A()曲线称为损耗函数曲线称为损耗函数 如图如图6.2.2（b）所示。）所示。 图图6.2.2 幅频响应与损耗函数曲线的比较幅频响应与损耗函数曲线的比较 模拟低通滤波器的设计指标参数有模拟低通滤波器的设计指标参数有 p、p、 s和和 s。其中。其中p和和s分别称为通带边界频率和阻带截分别称为通带边界频

27、率和阻带截 止频率，止频率， p称为通带最大衰减（即通带称为通带最大衰减（即通带0，p 中允许中允许A()的最大值），的最大值）， s称为阻带最小衰减（即称为阻带最小衰减（即 阻带阻带s上允许上允许A()的最小值），的最小值）， p和和 s的单的单 位为位为dB。以上技术指标如图以上技术指标如图6.2.3所示所示, 图图(a)以幅频特性描述以幅频特性描述, 图图(b)以损耗函数描述。以损耗函数描述。 图图6.2.3 模拟低通滤波器的设计指标参数示意图模拟低通滤波器的设计指标参数示意图 由图由图6.2.3可见，对于单调下降的幅度特性，可见，对于单调下降的幅度特性， p和和 s可表示成：可表示成：

28、 因为图6.2.3中 ，所以c称为3 dB截止频率。1和2分别称为通带和阻带波纹幅度，容易得到关系式： (6.2.4)1lg(201p(6.2.5)2slg202pap10lg|(j)|H (6.2.2)2sas10lg|(j)|H (6.2.3)2/ 1| )j (|caHac20lg|()| 3HjdB 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个系统函数滤波器的技术指标给定后，需要设计一个系统函数 Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标。一般，希望其幅度平方函数满足给定的指标。一般 滤波器的单位冲激响应为实函数，因此滤波器的单位冲激响应为实函数，因此如果能由如果能由 p、p、 s和和s求出

29、求出|Ha(j)|2，那么就，那么就 可以求出可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的，由此可求出所需要的Ha(s)。2*aaaaaj|(j )|(j )(j )( )()|sHHHH s Hs (6.2.6) Ha(s)必须是因果稳定的必须是因果稳定的，因此极点必须落在，因此极点必须落在s平面平面的左半平面，相应的的左半平面，相应的Ha(s)的极点必然落在右半的极点必然落在右半平面。这就是平面。这就是由由Ha(s)Ha(s)求所需要的求所需要的Ha(s)的具的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。 因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重因此幅

30、度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重 要的作用。对于上面介绍的五种典型滤波器，其幅要的作用。对于上面介绍的五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。 6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计1 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理巴特沃斯低通滤波器的巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数幅度平方函数|Ha(j)|2用下用下式表示：式表示： 式中，式中，N称为滤波器的阶数。当称为滤波器的阶数。当=0时，时，|Ha(j)|=1； =c时，时， ，c是是3 dB截止频率。在截止频率。在 =c附近，随附近

31、，随加大，幅度迅速下降。加大，幅度迅速下降。 2/1| )(|jHaNH2c2a11| )j (|(6.2.7) 幅度特性与幅度特性与和和N的关系如图的关系如图6.2.4所示。幅度下降的所示。幅度下降的 速度与阶数速度与阶数N有关，有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈愈大，通带愈平坦，过渡带愈 窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快, 总的频响特总的频响特 性与理想低通滤波器的误差愈小。性与理想低通滤波器的误差愈小。 图图6.2.4 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与巴特沃斯低通滤波器幅度特性与 和和N的关系的关系 以以s替换替换j，将幅度平方函数，将幅度平方函数|Ha(

32、j)|2写成写成s的函数：的函数： 复变量复变量s=+j，此式表明幅度平方函数有，此式表明幅度平方函数有2N个极个极 点，极点点，极点sk用下式表示：用下式表示： 式中，式中，k=0，1，2，2N-1。2N个极点等间隔分布个极点等间隔分布 在半径为在半径为c的圆上的圆上(该圆成为巴特沃斯圆该圆成为巴特沃斯圆)，间隔是间隔是 /Nrad。例如。例如N=3，极点间隔为，极点间隔为/3rad，如图，如图 6.2.5所示。所示。NssHsH2caaj11)()(6.2.8)21221(jcc21e)j () 1(NkNks（6.2.9） 图图6.2.5 三阶巴特沃斯滤波器极点分布图三阶巴特沃斯滤波器极

33、点分布图 为形成为形成因果稳定因果稳定的滤波器，的滤波器，2N个极点中个极点中只取只取s平面左平面左 半平面的半平面的N个极点构成个极点构成Ha(s)，而右半平面的，而右半平面的N个极点个极点 构成构成Ha(s)。Ha(s)的表达式为的表达式为 设设N=3，极点有，极点有6个，它们分别为个，它们分别为22jj 330c1c2c11j j 333c4c5ce , , ee , , essssss 10ca)()(NkkNsssH（6.2.10）121j()22cekNks 取取s平面左半平面的极点平面左半平面的极点s0、s1、s2组成系统函数组成系统函数 Ha(s)，即，即 由于不同的技术指标对

34、应的边界频率和滤波器幅频特由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特 性不同，为使设计公式和图表统一，将频率归一化。性不同，为使设计公式和图表统一，将频率归一化。 巴特沃斯滤波器采用对巴特沃斯滤波器采用对3 dB截止频率截止频率c归一化归一化，归一，归一 化后的系统函数为化后的系统函数为)e)(e)()(32jc32jcc3cassssH 令令p=+j=s/c，=/c，称为归一化频率，称为归一化频率， p称为归称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型归一化低通原型系统函数为系统函数为 (6.2.11) a1c0cc1NkksGss10a)(1)(

35、NkkpppG（6.2.12）式中，式中，pk=sk/c, 为归一化极点，用下式表示：为归一化极点，用下式表示： 显然显然, 这样，这样，只要根据技术指标求出阶数只要根据技术指标求出阶数N，按照，按照(6.2.13)式求式求出出N个极点，再按照个极点，再按照(6.2.12)式得到归一化低通原型系统式得到归一化低通原型系统函数函数Ga(p)，如果给定，如果给定c，再去归一化，即将，再去归一化，即将p=s/c代入代入Ga(p)中中(或由或由(6.2.14)式求出式求出sk=cpk)，便得到期望设计的便得到期望设计的系统函数系统函数Ha(s)。ckksp(6.2.14)110 e21221j,N,

36、,kpNkk（6.2.13） 将极点表示式将极点表示式(6.2.13)代入代入(6.2.12)式，得到式，得到Ga(p)的分的分 母是母是p的的N阶多项式，用下式表示：阶多项式，用下式表示： 归一化原型系统函数归一化原型系统函数Ga(p)的系数的系数bk，k=0，1，N 1，以及极点，以及极点pk，可以由表，可以由表6.2.1得到。得到。另外，表中还另外，表中还 给出了给出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求的因式分解形式中的各系数，这样只要求 出阶数出阶数N，查表可得到，查表可得到Ga(p)及各极点及各极点, 而且可以选择而且可以选择 级联型和直接型结构的系统函数表示形式，避免了

37、因级联型和直接型结构的系统函数表示形式，避免了因 式分解运算工作。式分解运算工作。a1212101( )NNNNNGppbpbpb pb(6.2.15) 表表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数 由由(6.2.9)式和式和(6.2.10)式可知式可知, 只要求出巴特沃斯滤波只要求出巴特沃斯滤波 器的阶数器的阶数N和和3 dB截止频率截止频率c，就可以求出滤波器的，就可以求出滤波器的 系统函数系统函数Ha(s)。所以，。所以，巴特沃斯滤波器的设计实质上巴特沃斯滤波器的设计实质上 就是根据设计指标求阶数就是根据设计指标求阶数N和和3 dB截止频率截止频率c的过程。的

38、过程。下面先介绍阶数下面先介绍阶数N的确定方法的确定方法。 阶数阶数N的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过的大小主要影响通带幅频特性的平坦程度和过 渡带、阻带的幅度下降速度，它由技术指标渡带、阻带的幅度下降速度，它由技术指标p、 p、 s和和 s确定。将确定。将=p代入幅度平方函数代入幅度平方函数(6.2.7)式式 中，再将幅度平方函数中，再将幅度平方函数|Ha(j)|2代入代入(6.2.2)式，得到：式，得到： (6.2.16) 10/2cpp101N 将将=s代入代入(6.2.7)式中，再将式中，再将|Ha(j)|2代入代入(6.2.3) 式中，得到：式中，得到： 由由(6.2.16)

39、和和(6.2.17)式得到：式得到： sp/10s/10p101101N10/2css101N（6.2.17） 令令 (6.2.18a) sspp(6.2.18b) sp/10sp/10101101k则则N由下式表示：由下式表示： (6.2.18c) spsplglgkN 用上式求出的用上式求出的N可能有小数部分，可能有小数部分，应取大于或等于应取大于或等于N的的最小整数最小整数。 关于关于3 dB截止频率截止频率c，如果技术指标中没有给出，如果技术指标中没有给出 可以按照可以按照(6.2.16)式或式或(6.2.17)式求出。由式求出。由(6.2.16)式式 得到：得到： (6.2.19)

40、N211 . 0pc) 110(p由由(6.2.17)式得到：式得到：(6.2.20)N211 . 0sc) 110(s请注意，如果采用请注意，如果采用(6.2.19)式确定式确定c，则通带指标刚，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余；好满足要求，阻带指标有富余； 如果采用如果采用(6.2.20)式式确定确定c，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。 (1) 根据技术指标根据技术指标p、 p、s和和 s，用，用(6.2.18)式求式求 出滤波器的阶数出滤波器的阶数N。 (2) 按照按照(6.2.13)式，求出归一化极点式，求出归一化极点pk，将，将

41、pk代入代入 (6.2.12)式，得到归一化低通原型系统函数式，得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。 也可以根据阶数也可以根据阶数N直接查表直接查表6.2.1得到得到pk和和Ga(p)。 (3) 将将Ga(p)去归一化。将去归一化。将p=s/c代入代入Ga(p)，得到实，得到实 际的滤波器系统函数际的滤波器系统函数 c| )()(asppGsH这里这里c为为3 dB截止频率，如果技术指标没有给出截止频率，如果技术指标没有给出c， 可以按照可以按照(6.2.19)式或式或(6.2.20)式求出。式求出。 【例例6.2.1】 已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大，通带最大

42、衰减衰减 p=2 dB，阻带截止频率，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最，阻带最 小衰减小衰减 s=30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃，按照以上技术指标设计巴特沃 斯低通滤波器。斯低通滤波器。解解：(1) 确定阶数确定阶数Nsp0.1sp0.1sspp10141.322310122.42lg41.32234.25lg2.4kffN取取N=5 (2) 按照按照(6.2.13)式，其极点为式，其极点为 按照按照(6.2.12)式，式，归一化低通原型系统函数为归一化低通原型系统函数为 上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放 在一起，形成因

43、式分解式。这里不如直接查表在一起，形成因式分解式。这里不如直接查表6.2.1简简 单，由单，由N=5直接查表得到：直接查表得到： 57j456j3j254j153j0e ee eeppppp，40a)(1)(kkpppG 极点：极点： 0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000归一化低通原型系统函数为归一化低通原型系统函数为 式中式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式为分母因式分解形式为 以上公式中的数据均取小数点后四位。以上公式中的数据均取小数点后四位。012233445a1)(

44、bpbpbpbpbppG) 1)(16180. 1)(16180. 0(1)(22appppppG (3) 为将为将Ga(p)去归一化，先求去归一化，先求3 dB截止频率截止频率c。按照按照 (6.2.19)式，得到：式，得到： 将将c代入代入(6.2.20)的变换式，得到的变换式，得到:s10.12sc(101)2 10.525 krad/sN此时算出的此时算出的比题目中给的比题目中给的s小，因此，过渡带小小，因此，过渡带小 于指标要求。或者说，在于指标要求。或者说，在s=212 krad/s时衰减时衰减 大于大于30 dB，所以说阻带指标有富余量。，所以说阻带指标有富余量。 将将p=s/c

45、代入代入Ga(p)中中, 得到：得到： s5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH10.12cp(101)2 5.2755 krad/spN 6.2.3 切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器的设计1 切比雪夫滤波器的设计原理切比雪夫滤波器的设计原理巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是阻带都是频率的单调减函数。阻带都是频率的单调减函数。因此，当通带边界处满足因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有较大富余量。指标要求时，通带内肯定会有较大富余量。因此，更有因此，更有效的设计方法应该是将逼近精确度均匀地分布效的

46、设计方法应该是将逼近精确度均匀地分布在整个通在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时均匀分布带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时均匀分布在两者之内。在两者之内。这样，就可以使滤波器阶数大大降低。这这样，就可以使滤波器阶数大大降低。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。 切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式：它有两种形式： 振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调下降的切比雪夫内是单调下降的切比雪夫型滤波器；型滤波器； 振幅特性在通带

47、振幅特性在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹的切比雪夫内是单调下降、在阻带内是等波纹的切比雪夫型滤波型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图图6.2.7(a)和和(b)分别画出不同阶数的切比雪夫分别画出不同阶数的切比雪夫型和型和型滤波器幅频特性。型滤波器幅频特性。 图图6.2.7 不同阶数的切比雪夫不同阶数的切比雪夫型和型和型滤波器幅频特性型滤波器幅频特性 我们这里仅介绍我们这里仅介绍切比雪夫切比雪夫型滤波器的设计方法型滤波器的设计方法。其幅。其幅度平方函数用度平方函数用|Ha(j)|2表示：表示： 式中，式中，为小于为小于1的正

48、数，表示通带内幅度波动的程度，的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大愈大，波动幅度也愈大; p称为通带边界频率。称为通带边界频率。令令=/p，称为对，称为对p的归一化频率。的归一化频率。CN(x)称为称为N阶切比阶切比雪夫多项式，定义为雪夫多项式，定义为2a22p1|(j)|1NHC1|)arch(ch1|)arccoscos()(xxNxxNxCN， 当当N=0时，时，C0(x)=1； 当当N=1时，时，C1(x)=x； 当当N=2时，时，C2(x)=2x21； 当当N=3 时，时，C3(x)=4x33x。由此可归纳。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为出高阶切比雪夫多

49、项式的递推公式为切比雪夫多项式的特性：切比雪夫多项式的特性： (1) 切比雪夫多项式的过零点在切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内；的范围内； (2) 当当|x|1时，时，|CN(x)|1，在，在|x|1时，时，CN(x)是双曲线函数，随是双曲线函数，随x单调上升。单调上升。)()(2)(11xCxxCxCNNN(6.2.25) 这样，当这样，当|x|1时，时， 在在0至至2之间波动，函数之间波动，函数 的倒数即是幅度平方函数的倒数即是幅度平方函数|Ha(j)|2。所以。所以 |Ha(j)|2在在0，p上有等波纹波动，最大值为上有等波纹波动，最大值为1， 最小值为最小值为1/(1+2)。当

50、。当p时，时，|Ha(j)|2随随加加 大，很快接近于零。大，很快接近于零。图图6.2.8分别画出了四阶切比雪夫分别画出了四阶切比雪夫型和巴特沃斯低通型和巴特沃斯低通 滤波器的幅频特性，滤波器的幅频特性，显然显然, 切比雪夫滤波器比巴特沃斯切比雪夫滤波器比巴特沃斯 滤波器有较窄的过渡带。滤波器有较窄的过渡带。)(22xCN221( )NCx 图图6.2.8 四阶切比雪夫四阶切比雪夫型和巴特沃斯低通滤波器的幅频型和巴特沃斯低通滤波器的幅频特性比较特性比较 按照按照(6.2.24)式，幅度平方函数与三个参数（式，幅度平方函数与三个参数（、p、 N）有关。其中）有关。其中与通带内允许的波动幅度有关，

51、定与通带内允许的波动幅度有关，定 义允许的通带内最大衰减义允许的通带内最大衰减 p用下式表示：用下式表示：2app2amax(j)10lg |min(j)HH式中式中22aa21max()1 min()1HjHj因此因此(6.2.26)1lg(102p(6.2.27)110p1 . 02 这样，根据通带内最大衰减这样，根据通带内最大衰减 p，可以求出参数，可以求出参数。 阶数阶数N影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的 疏密，因为疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数。等于通带内最大值与最小值的总个数。设阻带的起始点频率设阻带的起始点频率(阻带截

52、止频率阻带截止频率)用用s表示，在表示，在 s处的处的|Ha(j)|2用用(6.2.24)式确定：式确定： (6.2.28) 2as22s1()1NpHjC令令s=s/p，由，由s1，有，有ss2as11()ch arch()1()NCNH 可以解出可以解出(6.2.29)2ass11arch1(j)arch()HN(6.2.30)sp2as111charch1(j)NH3 dB截止频率用截止频率用c表示，表示，2ac1(j)2H按照按照(6.2.24)式，有式，有pccc221)( ，NC 通常取通常取c1，因此，因此上式中仅取正号，得到上式中仅取正号，得到3 dB截止频率计算公式：截止频率

53、计算公式： cc1()ch arch()NCN 1arch1chpcN（6.2.31）p通常是设计指标给定的，由通常是设计指标给定的，由(6.2.27)和和(6.2.29)式式求出求出 和和N后，可以求出滤波器的极点，并确定归一化系统后，可以求出滤波器的极点，并确定归一化系统 函数函数Ga(p)，p=s/p。下面略去繁杂的求解过程，下面略去繁杂的求解过程， 仅介绍一些有用的结论。仅介绍一些有用的结论。 设设Ha(s)的极点为的极点为si=i+ji，可以证明：，可以证明： 式中式中（6.2.33）1arsh1N(6.2.34)1chsh22p222p2iiNiNiNiii, 3 , 2 , 1

54、212cosch212sinchpp(6.2.32)(6.2.33)式是一个椭圆方程，长半轴为式是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚轴上在虚轴上)，短半轴为短半轴为psh(在实轴上在实轴上)。 令令bp和和ap分别表示长半轴和短半轴，可推导出：分别表示长半轴和短半轴，可推导出： 式中式中(6.2.35)NNa1121(6.2.36)NNb1121(6.2.37)1112因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在bp为长半轴、为长半轴、ap为短半轴的椭圆上的点。为短半轴的椭圆上的点。 为因果稳定，用左半平面的极点构成为因果稳定，用左半平面的极点构成Ga(p)，即

55、，即式中式中, c是待定系数。根据幅度平方函数是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.24)式可导式可导出：出：c=2N1，代入，代入(6.2.38)式，得到归一化的系统函数式，得到归一化的系统函数为为(6.2.39)NiiNpppG11a)(21)(NiippcpG1a)(1)(6.2.38)去归一化后的系统函数为去归一化后的系统函数为 (1) 确定技术指标参数确定技术指标参数 p、p、 s和和s。 p是是 =p时的衰减，时的衰减， s是是 =s时的衰减，它们满足时的衰减，它们满足ppaa1p1( )( )2()NsNpNiiHsGpsp(6.2.40)(6.2.41)p2ap110lg|(j

56、)|Hs2as110lg|(j)|H(6.2.42)这里这里 p就是前面定义的通带最大衰减，见就是前面定义的通带最大衰减，见(6.2.26)式。式。 (2) 求滤波器阶数求滤波器阶数N和参数和参数。归一化边界频率为。归一化边界频率为p=1, s=s/p。由由(6.2.24)式得到：式得到： 将以上两式代入将以上两式代入(6.2.41)和和(6.2.42)式，得到：式，得到： 22p2ap22s2as11()(j)11()(j)NNCHCH pssp0.122222p0.12222ss0.12s0.1101()1cos (arccos1)1101()1ch ( arch)101ch ( arch

57、)101NNCNCNN 令令(6.2.43)110110ps1 . 01 . 011k则则11chrchsNak，因此，因此)(arch)(archs11kN（6.2.44）这样，先由这样，先由(6.2.43)式求出式求出 ，代入，代入(6.2.44)式，求出阶数式，求出阶数N，最后取大于或等于最后取大于或等于N的最小整数。的最小整数。11k按照按照(6.2.27)式求式求： p0.12101（6.2.45） (3) 求归一化系统函数求归一化系统函数Ga(p)。为求。为求Ga(p)，先按照，先按照(6.2.32) 式求出归一化极点式求出归一化极点pk, k=1，2，N。 将极点将极点pk代入代

58、入(6.2.39)式，得到：式，得到： a1i11( )2()NNiGpppNkNkpk2) 12(coschj2) 12(sinch（6.2.46）(4) 将将Ga(p)去归一化，得到实际的去归一化，得到实际的Ha(s)，即，即paa/( )( )|p sHsGp(6.2.47)11arshN 【例【例6.2.2】 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止 频率频率fp=3 kHz，通带最大衰减，通带最大衰减 p=0.1 dB，阻带截止频，阻带截止频 率率fs=12 kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=60 dB。解解： (1) 滤波器的技术要求：滤波器的

59、技术要求： pppsssspsp0.1dB,26krad/s60dB,224krad/s1,4ffff (2) 由由(6.2.44)和和 (6.2.45)式求阶数式求阶数N和和：1526. 011011056 . 406. 247. 9)4()6553(6553110110)()(01. 01 . 01 . 01 . 011s11ppsNArchArchNkArchkArchN，取(3) 将极点将极点pk、N和和代入代入(6.2.39)式求式求Ga(p)：51i) 15(a)(21526. 01)(ipppG 由由(6.2.46)式求出式求出N=5时的极点时的极点pi，代入上式，得到：，代入上

60、式，得到： (4) 将将Ga(p)去归一化，得到：去归一化，得到：)6359. 08720. 0)(1949. 13331. 0)(5389. 0(442. 21)(22appppppG147214627/aa102595. 2106437. 11 )102459. 4102788. 6)(100158. 1(1| )()(pssssspGsHsp 6.2.4 椭圆滤波器的设计椭圆滤波器的设计椭圆（椭圆（Elliptic）滤波器在）滤波器在通带和阻带内都具有等波通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性纹幅频响应特性。由于其极点位置与经典场论中的椭圆。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，所以由