利用导数讨论函数性质

1、第二章一元微分学第六节利用导数讨论函数性质本节内容包括：利用导数讨论函数的单调性、求函数极值和极值点、最值和最值点及其应 用，利用导数讨论函数图形的凹凸性、求曲线的拐点，求曲线切线、法线、渐近线及函数作图 等。这局部内容很重要，事实上前面几节的知识都用到了本节的内容。在高等数学的各种考试 中本节的知识都是重要局部，同学们一定要很熟练。但由于这局部内容一般不要求很高的技巧要求熟练、准确及对概念的清楚，所以只简单地举几个例子。最后举二个例子介绍相关变化 率的问题。例1.设f (x)二阶可导，那么.dy dx(4 y) y (0).假设曲线yf (x)的一个拐点为(x0,3),分析:由题设知y lx

2、 x)3,并且d2y|dx0，而 d y d (4 dx2 dxy)y f(4 y)y 字dydx=y(4 y)y1 (4y)y(4 y)y2 1(4(1)y)由凡|2 IX §dd2y|dx30，得3注：此题的解决无需技巧，关键是清楚拐点的概念及复合函数求导.tint的渐近线例2:求曲线解：先看是否有水平渐近线：易见所以有lim y 1，故有水平x渐近线y 1 ；再看是否有铅直渐近线：易见0 时 x 0, y，所以有女叫y，故有铅直渐近线再看是否有斜渐近线:易见limx10,故无斜渐近线.例3.求椭圆2x2ab21在第一象限中的切线，使它被两坐标轴所截的线段最短.解法一：椭圆的参数

3、方程为x a cos , y bsi n ，设切点为(a cos ,bs in )(02b cos那么切线的斜率为k，切线方程为a sinbcosy bsin(x acos )asi n切线在x轴上的截距为cosa，切线在Ky轴上的截距为从所截线段长为sin1()亏上-(0cos sin2求i的最小值点等价于求f2 a2 COS4(0sin2的最小值点.f ( ) -sincos2b2厂cos sin0 tanf 在0,有唯一驻点arcta n2因此从而知0,3内取得最小值,由本问题的实际背景我们可以判断f()在arctan 时 f (取得最小值.此时切点坐标为rirx 'a b yb

4、Zb所求的切线方程为I/ a aab，化简得a(a b) . b(a b)解法二：设切点为x, y0x a，那么切线的斜率为空，切线方程为a y2切线在x轴上的截距为xb2切线在y轴上的截距为.从所截线段长为 yl(x)(0x yx a)求lx的最小值点等价于求f(x)4 a2 x2(0ya的最小值点.f (x)簧x2b4yy2a43x2b43(字)a2 x3 a2 2又x, y满足笃爲 1a b联立以上两个方程得:从而知f(x)在(0,a)有唯一驻点f (x)在a ax ，由本问题的实际背景我们可以判断a brrx aa b 7(0,a)内取得最小值，因此f-a ax时f (x)取得最小值.

5、此时切点坐标为v'a b所求的切线方程xya(a b) b(a b)注：利用高等数学知识解决实际问题即所谓的应用题几乎是必考的其中用微分学一元 或多元微分学知识解决实际应用中的最大值或最小值问题是其中很重要的一局部解决这种 问题的关键是：根据实际背景和问题的要求选好自变量并求出目标函数同时确定该目标函数的 定义域I 一般情况下I是一个区间，可以是开的、闭的或半开半闭， 也可是有限的、 无限的. 求出目标函数在I内的驻点，如果驻点是唯一的，那么可用下面两种方式说明该驻点就是所求 的最大值点或最小值点：1根据实际问题的背景，可以判定目标函数在区间I内部取得最大值或最小值，且在I内的驻点又是

6、唯一的，那么该驻点就是最大值点最小值点2丨假设目标函数在区间I内只有唯一驻点，又通过一阶导或二阶导可以判定该驻点为极大值点或极 小值点，那么该驻点就是最大值点最小值点另外要注意：选择不同的自变量，目标函数的表达式会不一样，计算量及复杂性可能有很大差异，因此选择适宜的自变量有时是很关键的. 有的问题既可用一元微分学去解决，也用二元微分学去解决，就看哪个更简便事实上例3用二元微分学知识去解可能更方便，实际就是求目函数f (x, y)x2呂(0 x a,0yy b)2 2 在约束条件 务 与 1下的最小值问题，可用拉格朗日乘数法去解决.a b例4一长度为5m的梯子铅直地靠在铅直的墙上，其下端沿地板以

7、3m/s的速度离开墙角而滑动，(1) 当其下端离开墙角1.4m时，梯子上端下滑的速度是多少？(2) 何时梯子上、下端滑行的速度相同？解：1梯子滑行t秒时，上、下端距离墙角的距离分别为y米和x米，依题意有dx 小y 2 5 x ,3,dt此题欲求dy |x 14,dt .对y 25 x2两边对时间t求导得dyx dx 3xdt 25 x2 dt 25 x2从而得|x 1.41 1.425 1.420.875，即上端下滑速度为 0.875m/s .3x25 x23，得x5、2-$，即梯子滑行秒后，其上、下端366滑行的速度相同.注：仔细体会此题的解答， 此题中涉及三个变量 x, y,t,任一变量都

8、是任一其它变量的函数，此题中己知x, y的函数关系，且己知 x对t的导数，要求 y对t的导数这种问题称为相关变化率的问题.在己知x, y的函数关系F(x, y) 0后，这种问题是简单的，只须两边对t求导可得Fxdx Fy 0，从而求出dy .在具体问题中，难点可能是x,y的函数关系的建立.dt dtdt例5.溶液自深18cm顶直径为12cm的正圆锥漏斗中漏入一直径为 10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗盛满水，当溶液在漏斗中深12cm时，其水平面下落速度为 1cm/min，问此时圆柱形容器中水平面上升的速度为多少？分析：这里涉及三个变量：时刻t,及时刻t时漏斗水面深度 x、圆柱形容器中的水面高度

9、y ,x, y都是t的函数，y是x的函数。dx |x 121,欲求dy |x 12。仿上面例题，如能建立x, ydtdt的函数关系，问题就不难了。那么x, y的函数关系的建立成为解决此题的关键，这种关系的建立是基于“漏斗漏出的水量和圆柱形容器中的水量相等。3(6?18)，此时圆柱形容器39解：设在t时刻漏斗水的深度和圆柱形容器中水的深度分别为x厘米和y厘米，1t时刻漏斗的水面半径为r 1x，此时漏斗漏出的水量为中的水量为25 y，因此有23 x25 y(6 18)39两边对t求导得25 dy1 dxdx又由|x 121(cm/min),得dt9 dtdtdy12216.|x 12(cm/min

10、)。dt 9 2525练习题：1设 f (x)x2!x2n,(n为正整数，证明在(2n)!)内有正的最小值.2nx先说明f(X)有最小值点，记为xo ,那么f(X。) 0 ,再利用f (x0)f (x0)(2n)!2 .比拟e与e的大小.注意变形取对数变成为比拟Ine与eln 的大小，它等价于比拟 与的大小，利用eIn xf(x)的单调性可解决问题x3.求数列1,.、2,33, ,n.n,中的最大项.数列an也是函数an f(n),求其最大值即最大项的问题可用单调性解决.这种函数的自变量n是离散变量，不能对n求导，于是把n变成x，通过讨论f (x)的单调性进而得到数列的变化情况，再求出最大项.

11、此题中1f (x) xx，但由于求导不1an随n增加时或一减少时n是很方便，可考虑函数g(x)In xx4 .求曲线y 3tt3的拐点.答案：(1,4),(11 4).5 .设函数f(x)的定义域为D x|x0,x1，且满足 f(x)x 1f ()1 x，求 f (x)的x表达式并求曲线yf (x)的渐近线.x1由f (X)f()1x，作换元tx12f(x) f()-1x1f(T f宀xx 1容易的x-，再作换元xx2x 1么,由以上三个式子可得xx 1得 f(t) f() x 亍得f (11 tt1 tJ，即1 t2t 1三一1即tf (x)的表达式,有了表达式后再求渐近线是n10，n为多少且ai,a2, ,an各是多少时,6 .将 10分成 n分a1,a2, ,an即 ai 0, aii 1乘积a1 a2 an最大。对于固定的n ,玄勺a2an10时乘积aa2 an