平衡微分方程与切应力互等定理

1、第二章 应力状态分析一 . 内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发， 讨论一点的应力状态， 建立平衡微分方程和面力边界 条件。应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位 均有关。因此， 一点各个截面的应力是不同的。 确定一点不同截面的应力变化规 律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义， 及其分解为主应力、 切应力和应力分量； 其次是任意截面的应力分量确实定转 轴公式；最后是一点的特殊应力确定， 主应力和主平面、 最大切应力和应力圆等。应力状态分析说明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中

2、使用张量符 号描述物理量和根本方程， 如果你没有学习过张量概念， 请进入附录一 ，或者查 阅参考资料。本章的另一个任务是讨论弹性体内一点微分单元体的平衡。弹性体内 部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理； 边界单元体的平衡条件 为面力边界条件。重点1. 应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2. 平衡微分方程与切应力互等定理；3. 面力边界条件；4. 应力分量的转轴公式；三 知识点体力、应力矢量、应力分量、平衡微分方程 、面力边界条件 、主平面与主应 力、主应力性质 、截面正应力与切应力 、三向应力圆 、八面体单元 、偏应力 张量不变量 、面力 、正应力与切应力 、应力

3、矢量与应力分量 、切应力互等定 理、应力分量转轴公式 、平面问题的转轴公式 、应力状态特征方程 、应力不 变量 、最大切应力 、 球应力张量和偏应力张量W.1体力和面力学习思路：本节介绍弹性力学的根本概念一一体力和面力，体力 Fb和面力Fs的概 念均不难理解。应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它 们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。体力矢量用Fb表示，其沿三个坐标轴的分量用Fbii=1, 2, 3或者Fbx、 Fby和Fbz表示，称为体力分量。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsii=1，2, 3或者Fsx、Fsy和Fsz表示。体力和面

4、力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。学习要点：1.体力；2.面力体力:作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力， 又称为质量力 例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。面力是分布在物体外表上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。 为了说明物体在xyz坐标系内任意一点P所受体力的大小和方向，在 P点的邻域取一微小体积元素 V,设厶V的体力合力为 F,那么P点的体力定义为令微小体积元素 V趋近于0,那么可以定义一点P的体力为一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。物体内任一点的体力用Fb表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合

5、 力方向确定。体力沿三个坐标轴的分量用 Fbi( i = 1,2,3)或者Fbx, Fby, Fbz表示，称为体 力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力面力:类似于体力，可以给出面力的定义。对于物体外表上的任一点P,在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素 S。设厶S上作用的面力合力为 F，那么P点的面力定义为面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体外表坐标的函数。一般 条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi i = 1， 2， 3或者Fsx、Fsy和Fsz表示。面力的方向规定以与

6、坐标轴方向一致为正，反之为负。弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。法2应力和应力状态学习思路:物体在外界因素作用下，物体内部各个局部之间将产生相互作用，物体 内部相互作用力称为内力。为讨论弹性体的强度，将单位面积的内力，就是内力 集度定义为应力。Pn为过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。应力矢量不仅 随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向n的方向改 变而变化。一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。讨论一点各个截 面的应力变化趋势称为应力状态分析。但凡应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应 力。应力状态对于研究物体的强度是十分重要

7、的。 显然，作为弹性体内部一个确 定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。 不可能也不必 要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用 合理的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通 常将应力矢量分解。学习要点:1.应力矢量;2.应力矢量的分解；3.应力分量。应力矢量:物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个局部之间将产生 相互作用，这种物体一局部与相邻局部之间的作用力称为 内力。内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两局部，将希 望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力 F。内力

8、的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点 M的内力，在截面上选取 一个包含M的微面积单元 0，那么可认为微面积上的内力主矢 AF的分布是均匀 的。设於的法线方向为n，那么定义:上式中pn为微面积 於 上的平均应力。如果令 血 逐渐减小，并且趋近 于零，取极限可得上述分析可见：pn是通过任意点M，法线方向为n的微分面上的应力矢量。应力Pn是矢量，方向由内力主矢 氐确定，又受AS方位变化的影响。应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面 的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此但凡应力均必须 说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。一点所有截面的应力矢

9、量的集合称为一点的应力状态。应力状态对于研究物 体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢 量，就是应力状态必然存在一定的关系。 不可能也不必要写出一点所有截面的应 力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。正应力与切应力:讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为了探讨各个截面应 力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。应力矢量的一种分解方法是将应力矢量 向分解，如用px, py, pz表示其分量，那么pn在给定的坐标系下沿三个坐标轴方pn=px i + py j+ pz k这种形式的分解并没有工程实际应用的价值

10、。它的主要用途在于作为工具用 于推导弹性力学根本方程。另一种分解方法，是将应力矢量pn沿微分面 於的法线和切线方向分解。 与微分面 S法线n方向的投影称为正应力，用n表示；平行于微分面 S的 投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用 n表示。弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经 常使用的应力分解形式。由于微分面法线n的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力 n的方向。但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力n不仅需要确定截 面方位，还必须指明方向。应力分量: 为了表达弹性体内部任意一点 M的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微 分面，通过M点截取一个平

11、行六面体单元。将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向 3个坐标轴投影，可以得到应力 分量ij。应力分量的第一脚标i表示该应力所在微分面的方向，即微分面外法线的方向;第二脚标j表示应力的方向。如果应力分量与 j坐标轴方向一致为正， 反之为负。如果两个脚标相同，i = j，那么应力分量方向与作用平面法线方向一致， 这是正应力，可以并写为一个脚标，例如X。如果两脚标不同，i工j，那么应力分量方向与作用平面法线方向不同， 这是 切应力，例如六面体单元的3对截面共有九个应力分量 j。应该注意：应力分量是应力矢量在坐标轴上的投影，因此是标量，而不是矢量在的坐标系中应力状态通常用应力张量表示。使用应力张量可

12、以完整地描述一点的应力状态§2.3应力矢量与应力分量学习思路：应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且也由于截面的法线方向n的方向改变而变化，研究这一变化规律称为应力状态分析。 如果应力分量能够描述 一点的应力状态，那么应力分量与其它应力参数必然有内在联系。本节分析应力矢量与应力分量之间的关系，为深入讨论应力状态作准备。利用三个坐标平面和一个任意斜截面构造微分四面体单元，通过四面体 单元探讨坐标平面的应力分量和斜截面上的应力矢量的关系。根据平衡关系，推导任意斜截面的应力矢量、法线方向余弦和各个应力 分量之间的关系。分析说明：一点的应力分量确定后，任意斜截面的应力矢量是确定的 学习要点：

13、1. 微分四面体单元；2. 应力矢量与应力分量。一点的九个应力分量如果能够完全确定一点的应力状态， 那么其必须能够表达通过 该点的任意斜截面上的应力矢量。为了说明这一问题，在0点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四 面体单元。斜截面的法线方向矢量为n,它的三个方向余弦分别为I, m和n。设斜截面上的应力为 Pn，i，j和k分别为三个坐标轴方向的单位矢量，pn在坐标轴上的投影分别为px, py, pz。那么应力矢量可以表示为Pn= pxi+ py j+ pz k同样，把单位体积的质量所受的体积力Fb沿坐标轴分解，有Fb= Fbxi+ Fby j+ Fbz k设S为 从BC的面积，贝UZOBC

14、=IS, OCA=mS, AOAB=nS从BC的法线方向的单位矢量可表示为n = I i+ I j + m k微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设h为O点至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得LF =0 pS- crAQBC - AOA AOAB + - hSR =0fl丛卡A3'Qrt将公式咖eg dg 皿，QB皿代入上式，那么砒_槪_r/+ /耳=0对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，因此与1相比为小量，趋 近于零，因此同理Px 二 rJ + M + 厲处如果采用张量记号，那么上述公式可以表示为上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力

15、之间的关系。这一关系式说明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面 的应力矢量，或者正应力和切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。§2.4平衡微分方程学习思路：物体在外力作用下产生变形，最后到达平衡位置。平衡不仅是指整个物 体，而且弹性体的任何局部也是平衡的。本节通过微分平行六面体单元讨论弹性体内部任意一点的平衡。应该注意：在讨论微分单元体平衡时，考虑到坐标的微小变化将导致应 力分量的相应改变。即坐标有增量时，应力分量也有对应的增量。这个增量作为 高阶小量，如果不涉及微分单元体平衡时是可以不考虑的。微分平衡方程描述了弹性体内部任意一点的平衡，确定了应力分量与体 力之间的关系。

16、又称为纳维Navier方程。平衡微分方程描述弹性体内部应力分量与体力之间的微分关系，是弹性力学 的第一个根本方程。切应力互等定理是弹性体力矩平衡的结果。学习要点:1.微分单元体及平衡关系；2.平衡微分方程与切应力互等定理平衡方程物体在外力作用下产生变形，最后到达平衡位置。不仅整个物体是平衡的，而且 弹性体的任何局部也都是平衡的。为了考察弹性体内部的平衡，通过微分平行六面体单元讨论任意一点M的平衡。在物体内，通过任意点M ,用三组与坐标轴平行的平面截取一正六面体单 元，单元的棱边分别与x，y，z轴平行，棱边分别长dx，dy，dz。讨论微分平行六面体单元的平衡在X面上有应力分量x， xy和 xz ；在X+dX面上，应力分量相对X截面有一个增量，取一阶增量，那么样处理对y，z方向的应力分量作同根据微分单元体