2020年山东省新高考数学试卷

1、2020年山东省新高考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合，则ABCD2（5分）A1BCD3（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A120种B90种C60种D30种4（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球（球心记为，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的

2、纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为ABCD5（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是ABCD6（5分）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天7（5分）

3、已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是ABCD8（5分）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是A，B，C，D，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9（5分）已知曲线A若，则是椭圆，其焦点在轴上B若，则是圆，其半径为C若，则是双曲线，其渐近线方程为D若，则是两条直线10（5分）如图是函数的部分图象，则ABCD11（5分）已知，且，则ABCD12（5分）信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量所有可能的取值为1，2，且，2，定义的信息熵A若，则B若，则随着的增大而

4、增大C若，2，则随着的增大而增大D若，随机变量所有可能的取值为1，2，且，2，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则14（5分）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为15（5分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，垂足为，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 16（5分）已知直四棱柱的棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证

5、明过程或演算步骤。17（10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，且，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（12分）已知公比大于1的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和19（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：，得下表：，32184，6812，3710（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数

6、据，完成下面的列联表：，（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82820（12分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值21（12分）已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求的取值范围22（12分）已知椭圆的离心率为，且过点（1）求的方程；（2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值2020年山东省新高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每

7、小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1【解答】解：集合，故选：2【解答】解：，故选：3【解答】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：种结果；余下的3人去丙场馆；故共有：种安排方法；故选：4【解答】解：可设所在的纬线圈的圆心为，垂直于纬线所在的圆面，由图可得为晷针与点处的水平面所成角，又为且，在中，另解：画出截面图，如下图所示，其中是赤道所在平面的截线是点处的水平面的截线，由题意可得，是晷针所在直线是晷面的截线，由题意晷面和赤道面平行，晷针与晷面垂直，根据平面

8、平行的性质定理可得，根据线面垂直的定义可得，由于，所以，由于，所以，也即晷针与处的水平面所成角为，故选：5【解答】解：设只喜欢足球的百分比为，只喜欢游泳的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，由题意，可得，解得该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是故选：6【解答】解：把，代入，可得，当时，则，两边取对数得，解得故选：7【解答】解：画出图形如图，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，可得，最大值为6，在处取得最小值，最小值为，是边长为2的正六边形内的一点，所以的取值范围是故选：8【解答】解：定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：在上单调

9、递减，且；故；当时，不等式成立，当时，不等式成立，当或时，即或时，不等式成立，当时，不等式等价为，此时，此时，当时，不等式等价为，即，得，综上或，即实数的取值范围是，故选：二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9【解答】解：若，则，则根据椭圆定义，知表示焦点在轴上的椭圆，故正确；若，则方程为，表示半径为的圆，故错误；若，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，若，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，故正确；当，时，则方程为表示两条直线，故正确；故选：10【解答】解

10、：由图象知函数的周期，即，即，当时，由五点作图法，得，所以，则，当时，由五点作图法，得，所以，所以故选：11【解答】解：已知，且，所以，则，故正确利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，且，所以：，故正确，故错误由于，且，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立故正确故选：12【解答】解：若，则，故，故正确；若，则，设，则，令，解得，此时函数单调递减，令，解得，此时函数单调递增，故错误；若，则，由对数函数的单调性可知，随着的增大而增大，故正确；依题意知，又，又，故错误故选：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解答】解：由题意可得抛物线

11、焦点，直线的方程为，代入并化简得，设，则；，由抛物线的定义可得故答案为：14【解答】解：将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前项和为，故答案为：15【解答】解：作垂直于，交、于、，垂足为，过点作垂直于，垂足为，到直线和的距离均为，又，由于是圆弧的切线，设大圆的半径为，则，解得，图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积减去小半圆的面积，所以故答案为：16【解答】解：由题意直四棱柱的棱长均为2，可知：，上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，设为半径的球面上的点，过作垂直的垂直，为垂足，则由题意可知可得：即，所以在侧面的轨迹是以的中点为圆心，半径为的

12、圆弧以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为：故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17【解答】解：中，即，中，即，即，又，与已知条件相矛盾，所以问题中的三角形不存在18【解答】解：（1），解得或（舍去），（2）记为在区间，中的项的个数，故，可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，由，可知，数列的前100项和19【解答】解：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，可得下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，由，；故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关，20

13、【解答】解：（1）证明：过在平面内作直线，由，可得，即为平面和平面的交线，平面，平面，又，平面，平面；（2）如图，以为坐标原点，直线，所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，1，0，1，设，0，0，1，1，设平面的法向量为，则，取，可得，0，与平面所成角的正弦值为，当且仅当取等号，与平面所成角的正弦值的最大值为21【解答】解：（1）当时，（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，当时，当时，曲线在点，（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积（2）方法一：由，可得，即，即，令，则，在上单调递增，即，令，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，（1），故的范围为，方法二：由可得，

14、即，设，恒成立，在单调递增，即，再设，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，（1），即，则，此时只需要证，即证，当时，恒成立，当时，此时不成立，综上所述的取值范围为，方法三：由题意可得，易知在上为增函数，当时，（1），存在使得，当时，函数单调递减，（1），不满足题意，当时，令，易知在上为增函数，（1），当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，（1），即，综上所述的取值范围为，方法四：，易知在上为增函数，在上为增函数，在0，上为减函数，与在0，上有交点，存在，使得，则，则，即，当时，函数单调递减，当，时，函数单调递增，设，易知函数在上单调递减，且（1），当，时，时，设，恒成立，在，上单调递减，（1），当时，方法五：等价于，该不等式恒成立当时，有，其中设（a），则（a），则（a）单调递增，且（1）所以若成立，则必有下面证明当时，成立设，在单调递减，在单调递增，即，把换成得到，当时等号成立综上，22【解答】解：（1）离心率，又，把点代入椭圆方程得，解得，故椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在