维纳滤波器的设计及Matlab仿真实现

1、Wiener 滤波器的设计及Matlab 仿真实现1.实验原理在许多实际应用中,人们往往无法直接获得所需的有用信号,能够得到的是退化了或失真了的有用信号。例如,在传输或测量信号s(n时,由于存在信道噪声或测量噪声v(n,接受或测量到的数据x(n将与s(n不同。为了从x(n中提取或恢复原始信号s(n,需要设计一种滤波器,对x(n进行滤波,使它的输出y(n尽可能逼近s(n,成为s(n的最佳估计,即y(n = (n s。这种滤波器成为最优滤波器。 Wiener 滤波器是“理想”意义上的最优滤波器,有一个期望响应d(n,滤波器系数的设计准则是使滤波器的输出y(n(也常用(n d表示是均方意义上对期望响

2、应的最优线性估计。Wiener 滤波器的目的是求最优滤波系数,1,0,1, k o o o o w w w w w -=,从而使(22n dn d E n e E n J -=最小。 通过正交性原理,导出(k r k i r wxd xi oi -=-=, 2,1,0,1,-=k该式称为Wiener-Hopf 方程,解此方程,可得最优权系数,2,1,0,1, -=i w oi 。Wiener-Hopf 方程的矩阵形式为xd o x r w R =,解方程求得xd x o r R w 1-=2.设计思路下面我们通过具体的例子来说明Wiener 滤波器的设计方法:考虑如下图所示的简单通信系统。其中

3、,产生信号S(n所用的模型为95.01/(1(11-+=z z H ,激励信号为3.0,0(WGN n w 。信号s(n通过系统函数为85.01/(1(12-=z z H 的信道,并被加性噪声1.0,0(WGN n v 干扰,v(n与w(n不相关。确定阶数M=2的最优FIR 滤波器,以从接收到的信号x(n = z(n + v(n中尽可能恢复发送信号s(n,并用MATLAB 进行仿真。H1(zH2(z最优滤波器w(ns(nz(nx(ny(ne(nd(nv(n-信道解:s (n 是一个AR (1过程,在x (n = z (n + v (n 中,z (n 是一个二阶AR(2过程。 由于白噪声产生z

4、(n 的系统函数相当于H (z = H1(z H2(z ,因此21118.01.0185.01(95.01(-+=-+=z z z z z A 。二阶AR (2过程的参数1.01,2=a ,8.02,2-=a ,方差3.02W =。由二阶AR (2参数可以确定(r z k ,由Yule-Walker 方程0(1(1(0(z z z z r r r r -=2(1(2,21,2z z r r a a ,以及AR 模型的方差表达式2(1(0(2,21,22w z z z r a r a r +=,反解1(,0(z z r r 得,9101.08.01(3.08.018.011(110(2221,2

5、22,222,22,2=-+-=-+-+=a a a a r wz 9510(1(2,21,2-=+-=a r a r z z由此确定z (n 的自相关矩阵为-=9109595910z R 进而有21.156.056.021.11.0100191095959102-=+-=+=I R R v z x 期望响应d (n = s (n ,接下来,求(k r xd -。 因为(n d k n x E k r xd -=-把(1(85.0(n d n z n z =-和(n v n z n x +=代入上式,得1(85.0(-=-k r k r k r z z xd故58.11(85.00(0(=-=

6、z z xd r r r50.10(85.01(1(-=-=-z z xd r r r从而有-=50.158.1xd r ,将此式带入Wiener-Hopf 方程解得最优权系数为-=-8656.09052.01xd x o r R w 3.实验源码MATLAB 仿真实现该维纳滤波器的程序: % Generate signal s(n N = 64;w = sqrt(0.3*randn(N,1; A1 = 1 0.95;s = filter(1, A1, w; d=s;% Transmit and add a noise A2 = 1 -0.85;z = filter(1, A2, s;v =

7、sqrt(0.1*randn(N,1; x = z + v;% Wiener Filteringy = filter(0.9052 -0.8656, 1, x;% plot the waveforms n = 0 : N-1; subplot(211;plot(n, d, 'b-x', n, x, 'r-o'legend('d(n', 'x(n' axis tight ; ylabel('Amplitude' xlabel('Time (n'title('Desired Response /

8、 Input Signal' subplot(212;plot(n, d, 'b-x', n, y, 'r-o'legend('d(n', 'y(n' axis tight ; ylabel('Amplitude' xlabel('Time (n'title('Desired Response / Output Signal'4.仿真结果及分析仿真结果如图所示: 从图中可明显看出,y(n比x(n更接近于d(n,维纳滤波器从接收到的信号x(n = z(n + v(n中尽可能地恢复出了发送信号s(n。5.实验结论维纳滤波器的设计目标是使滤波器误差平方的集平均(期望值最小,在平稳并各态历经的条件下,相当于