第八章 应力应变状态分析

1、第七章应力、应变状态分析题号页码7-2 .17-3 .27-5 .37-6 .37-7 .47-9 .57-12 .67-15 .77-16 .87-20 .97-21 .97-22 .107-24 . 11*7-26 .12(也可通过左侧题号书签直接查找题目)7-2已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa），试用解析法计算图中指定截面的正 应力与切应力。(a)解：由题图所示应力状态可知，题 7-2 图 x = 30MPa， y= 10MPa， x= 20MPa， = 45o将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得指定斜截面上的正应力和切应力分别为= ( 30 + 10 + 20sin90

2、o )MPa = 40.0MPaá 2= ( 30 10 sin90o )MPa = 10.0MPaá 2(b)解：由题图所示应力状态可知， x = 30MPa， y= 10MPa， x= 20MPa， = 22.5o由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为= ( 30 + 10 + 30 10 cos45o 20sin45o )MPa = 38.3MPaá 22= ( 30 10 sin45o + 20cos45o )MPa = 0á 2(c)解：由题图所示应力状态可知， x = 10MPa， y= 20MPa， x= 15MPa， = 60o由此可

3、得指定斜截面上的正应力和切应力分别为á =10 20 + 10 + 20 cos(120o ) 15sin(120o )MPa = 0.490MPa22á =10 + 20 sin(120o ) + 15cos(120o )MPa = 20.5MPa2(d)解：由题图所示应力状态可知， x = 30MPa， y= 50MPa， x= 0， = 150o由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为= 3050 + 3050 cos(300o )MPa = 35.0MPaá 22= 30 50 sin(300o )MPa = 8.66MPaá 27-3试用图解

4、法（应力圆）解题 7-1。解：题 7-1 图所示应力状态的应力圆示如图 7-3。由图(a)可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为 = 10.0MPa， = o4545o= 15.0MPa由图(b)可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为 = 30o47.3MPa， = 30o= 7.3MPa7-5图示双向拉伸应力状态，应力ó x = ó y = ó 。试证明任意斜截面上的正应力均等 于ó ，而切应力则为零。题 7-5 图证明：由题设条件可知， x = y = ， x = 0 。 将上述已知数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有 = + + cos2

5、0 = 22 = sin 2 + 0 = 02由于式中 为任意值，故原命题得证。7-6图示受力板件，试证明 A 点处各截面的正应力与切应力均为零。题 7-6 图证明：在 A 点近处假想沿任意斜面 m - m 方向切一刀，取微体（含 A 点）如图 7-6 所示。设 m m 面之法线与 x 轴的夹角为 ，并假设该斜面之面积为 dA ，其上作用有正应力 和切应力 。由微体在 m m 面法向和切向力的平衡方程及 分别得到 Fn Ft= 0， dA = 0= 0， dA = 0 = 0， = 0由于方位角 是任取的，这就证明了 A 点处各截面上的正应力与切应力均为零。 顺便指出，本题用图解法来证更为方便

6、，依据 A 点上方两个自由表面上的已知应力（零应力）画应力图，该应力圆为坐标原点处的一个点圆。至此，原命题得证。7-7已知某点 A 处截面 AB 与 AC 的应力如图所示（应力单位为 MPa），试用图解法 求主应力的大小及所在截面的方位。题 7-7 图解：根据题图所给的已知应力，可画出应力圆来，如图 7-7 所示。从所画的应力圆上可以量得两个主应力，它们是：1 = 69.7MPa， 2 = 9.9MPa由于是平面应力状态，故知 3 = 0从该应力圆上还可以量得 1 的方位角为0 = 23.7o式中负号表示从 AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。7-9图示悬臂梁，承受载荷 F = 20kN 作用，

7、试绘微体 A，B 与 C 的应力图，并确定 主应力的大小及方位。题 7-9 图解：由题图可知，指定截面的剪力、弯矩分别为Fs = F = 20kN，| M | = Fa = 20 ×1kN m = 20kN m微体 A,B,C 的应力图依次示如图 7-9 (a),(b)和(c)。对于应力图(a)，其正应力为 = | M | =6 × 20 ×10 3 N= 6.00 ×10 7 Pa = 60.0MPaWzA 0.050 × 0.200 2 m 2由此可知，主应力各为1 = 60.0MPa, 2 = 3 = 01 的方位角为B0 = 0 o对于

8、应力图(b),其正应力和切应力分别为| M | | y | 12 × 20 ×10 3B = B =× 0.050 N = 3.00 ×10 7 Pa = 30.0MPazI 0.050 × 0.200 3 m 23F S () 12 × 20 ×10B = s z =× 0.050 × 0.050 × 0.075N = 2.25 ×10 6 Pa = 2.25MPaI z b0.050 × 0.200 3 × 0.050m 2极值应力为max 30.2 = B &

9、#177;( B ) 2 + 2= 15.0 ±15.0 2 + 2.252 MPa = MPa min 2 2 0.1678由此可知，主应力各为 1 = 30.2MPa， 2= 0， 3 = 0.1678MPa由tan0= x x min= 2.2530.0 + 0.1678= 0.07458得 1 的方位角为对于应力图(c)，其切应力为0 = 4.27 o= 3Fs =3 × 20 ×103 N= 3.00 ×106 Pa = 3.00MPaC2 A2 × 0.050 × 0.200m 2由此得各主应力依次为1 = 3.00MPa

10、， 2 = 0， 3 = 3.00MPa1 的方位角为0 = 45o7-12已知应力状态如图所示，试求主应力的大小。解：由题图可知，题 7-12 图 x = 60MPa， y= 20MPa， x = 40MPa， z= 20MPa由应力作用线均平行于 x y 平面的三个应力分量可得 max xx =+ y ±( x y ) 2 + 2 min 2= 60 + 20 ±22( 60 20284.7) 2 + 40 2 MPa = 4.72-6MPa将此二极值应力与 z 一同排序，得三个主应力依次为1 = 84.7MPa， 2 = 20.0MPa， 3 = 4.72MPa7-1

11、5在构件表面某点 O 处，沿 00，450，900 与 1350 方位粘贴四个应变片，并测得04590-6-6相应正应变依次为 0 = 450×10， 0 = 350×10， 0 = 100×10与-61350 = 100×10，试判断上述测试结果是否可靠。题 7-15 图解：依据平面应变状态任意方位的正应变公式(7-15)，有= x0o+ y2+ x y2= x= 450 × 106(a)90o= x+ y2+ x y2= y= 100 × 106(b) 45o =x y 2xy = 350 × 1062(c)将式(a)和

12、(b)的结果代入式(c)，得 xy= (550 700) ×10 6 = 150 ×10 6(d)将以上所得结果(a)、(b)和(d)代入公式（7-15），计算应有的测量值，135o = 1 (450 + 100) × 10 6 + 1 (450 100) × 10 6 cos270o135o22 1 × (150 × 10 6 )sin270o = 200 ×10 62的实际测量值比上述结果小了一半，这说明题中所给的这组测试结果不可靠。135o7-16图示矩形板，承受正应力ó x 与ó y 作用，试求板

13、厚的改变量 ä 与板件的体积 改变量 V 。已知板件厚度ä =10mm，宽度 b = 800mm，高度 h = 600mm，正应力ó x =80MPa，ó y = 40 MPa，材料为铝，弹性模量 E=70GPa，泊松比 µ = 0.33。题 7-16 图解：此为平面应力状态问题。设板厚度方向的正应变为 z ，则有µ板厚的改变量为µä z = E( x + y ) = å zä = E ( x + y )= 0.33 × 0.010 × (80 40) ×106 m

14、 = 1.886 × 10 6 m = 0.001886mm70 ×109体应变为 = (1 2 µ) (E x + y + z )由此可得该板件的体积改变量为 V = (1 2µ ) (Ex+ y+ z)(bh )= (1 2 × 0.33) × (80 40) ×106 × (0.800 × 0.600 × 0.010)m370 ×109= 9.33 × 10 7 m3 = 933mm37-20图示矩形截面杆，承受轴向载荷 F 作用，试计算线段 AB 的正应变。设截面尺

15、寸 b 和 h 与材料的弹性常数 E 和 µ 均为已知。解：由题图可知，AB 上任一点处有F题 7-20 图 x =故有， ybh= 0， x = 045o= x2= F ，2bh45o= x2= F2bh由平面应力状态的广义胡克定律可得 AB=45o= 1 (E45o-6 µó90 45o) = (1 µ )F2Ebh7-21在构件表面某点 O 处，沿 00、450 与 900 方位，粘贴三个应变片，测得该三方045-6位的正应变分别为 0 = 450×10， 0 = 350×10与 0 = 100×10-6，该表面处于平

16、面应力状态，试求该点处的应力ó x , ó y 与ô x 。已知材料的弹性模量 E= 200GPa，泊松比 µ =0.3。解：由公式(7-15)可知，= x + yo x y xy+cos0o sin0o(a)0222= x + yo x y xy+cos90o sin90o(b)45222= x + yo x y xy+cos180o sin180o(c)90222联解方程(a)、(b)和(c)，得y x = 0o= 450 ×10 6， = o90= 100 ×10 6 xy=+0o 90o 245o= 150 ×10

17、6根据平面应力状态的广义胡克定律，有 x =E1 µ 2( x+ µ y )9= 200 ×10Pa × (450 ×10 6 + 0.3 ×100 ×10 6 ) = 1.055 ×108Pa = 105.5MPa1 0.32 y =E1 µ 2( y+ µ x )9= 200 ×10Pa × (100 ×10 6 + 0.3 × 450 ×10 6 ) = 5.16 ×107Pa = 51.6MPa1 0.32根据剪切胡克定律，有E

18、200 × 109 Pa × (150 × 10 6 ) x = G xy= xy=2(1 + µ)2 × (1 + 0.3)= 1.154 ×107Pa = 11.54MPa7-22如图所示，一直径为 d 的橡皮圆柱体，放置在刚性圆筒内，并承受合力为 F的均布压力作用，试求橡皮柱的主应力。设橡皮的弹性模量与泊松比分别为 E 与 µ ，并忽略橡皮与刚筒间的摩擦。题 7-22 图解：由图 7-22 可知，橡皮圆柱体中的微体处于三向压应力状态（这里以图示应力箭头为 正），且 x 、 z 方向的正应变均为零，即 x =1 Ex &

19、#181;( y z ) z将此二方程联立求解，得= 1 Ex= 1 Ez+ µ( y+ µ( x+ z+ y) = 0) = 0 x = z=µ1 µy=µ1 µ( 4F )d 2（压）由此可知，橡皮柱的三个主应力依次为 1 = 2= 4µF(1 µ ) d 2， 3= 4F d 27-24在建立圆轴扭转切应力公式时，曾提出若干假设，试根据该假设说明圆轴横截 面与径向纵截面上均无正应力。解：根据各横截面仍保持平面，其形状、大小均不改变，如同刚性圆片这一假设可得（这 里采用圆柱坐标） = = 0(a)其中，足标 &

20、#241; 和 分别代表圆轴的径向和环向。又据横截面间的距离均不改变这一假设可得 x = 0(b)依据圆柱坐标系中的广义胡克定律，有Eµ =( + + x ) + 1 + µ 1 2 µ =E1 + µ Eµ1 2 µµ( + x + ) + (c) x =1 + µ1 2 µ( x + + ) + x 将式(a)和(b)代入式(c)，得到 = 0，= 0， x = 0这就说明圆轴横截面与径向纵截面（及同心圆柱面）上均无正应力。*7-25图示碳/ 环氧复合材料（T300/5208 ）微体处于平面应力状态，

21、已知应力ó x =100MPa，ó y =80MPa，ô xy = 50MPa，材料的弹性常数见表 7-1，试求正应变x 和y 与切 应变ã xy ，并绘制微体变形后的大致形状。解：偏轴应力、应变关系为题 7-25 图 x s11s12s16 x y = s12s22s26 y 1(a) xy s16s26s66 xy 查表 7-1，当 = 45o 时，有s11 = s22 = 59.8 ， s66 = 105.7 ， s12 = 9.99 ， s16 = s26 = 45.8单位均为 (103 GPa) 1 。将以上数据及各应力值代入式(a)，得 x 59.8 9.9945.8 1007.47 = 9.9959.845.8 80 =106= 6.08 ×10