橡胶衬套力学特性半经验参数化模型

1、第46卷第14期2010年7月 机 械 工 程 学 报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING Vol.46 No.14 Jul. 2010DOI：10.3901/JME.2010.14.115橡胶衬套力学特性半经验参数化模型于增亮 张立军 余卓平(同济大学汽车学院 上海 201804)摘要：综合考虑模型复杂程度、预测精度以及参数识别工作量因素，合理选择橡胶弹性元件半经验模型是进行整车底盘系统动力学仿真分析重要的基础性课题。针对目前应用的Kelvin-Voigt模型、三参数Maxwell模型、BERG模型和DZIERZEK模型进行模型结构特征、参数识别方法与特性预测

2、精度的对比分析。在此基础上，综合说明四种模型的特点与适用场合。研究表明：Kelvin-Voigt模型与三参数Maxwell模型结构简单，参数识别容易，但仿真误差较大，可用于定性计算；BERG模型的摩擦单元能够实现振幅影响的分析，精度明显提高，参数识别工况适中。DZIERZEK模型同时包含弹性元件与摩擦元件，仿真精度最高，但因模型复杂需要大量参数识别试验。BERG模型和DZIERZEK模型都适用于定量仿真分析。关键词：橡胶衬套 半经验参数化模型 预测精度 参数识别中图分类号：U461.4Semi-Empirical Parameterized Dynamic Model of Rubber Bu

3、shingMechanical PropertiesYU Zengliang ZHANG Lijun YU Zhuoping(College of Automotive Engineering, Tongji University, Shanghai 201804)Abstract：It is a primary topic to choose suitable rubber bushing model for vehicle chassis system dynamics simulation and analysis, taking the model complexity, predic

4、tion accuracy and identification difficulty into consideration. In this paper, four semi-empirical dynamic models for rubber bushing, including linear Kelvin-Voigt model and three-parameter Maxwell model, nonlinear BERG model and DZIERZEK model, are investigated in respect of model characterization,

5、 parameter identification approach and prediction accuracy. Based on the comparisons, the characteristics and application of each model are described. It is found that the Kelvin-Voigt model and three parameters Maxwell model are simple and easy to get model parameters, but they have a low precision

6、 and only can be used for qualitative analysis. The BERG model can simulate the amplitude effect by introducing a friction element, and it has obviously improved accuracy while requiring appropriate identification experiments. The DZIERZEK model consists of both non-linear elastic spring and frictio

7、n element which can describe nonlinear viscoelastic behavior with amplitude dependency. It has the best precision but needs much more identification tests due to complex model form. Both BERG model and DZIERZEK model are suitable for quantitative simulation analysis。Key words：Rubber bushing Semi-emp

8、irical parameterized model Prediction precision Parameter identification0 前言现代汽车悬架系统中大量应用橡胶衬套等弹性元件，其对于改善悬架弹性运动学性能，有效隔离路面不平度激励引起的振动噪声发挥重要作用。因此，在进行汽车底盘系统设计开发过程中，需要尽20091104收到初稿，20100415收到修改稿 可能详尽考虑橡胶弹性元件的力学特性1。但是，橡胶衬套元件具有明显的非线性粘弹力学特性，其特性受到预载荷、激振频率、激振振幅、工作温度以及使用周期等的强烈影响，这都使得针对橡胶衬套力学特性的建模十分困难，同时也使得该领域的研

9、究备受重视。 前期研究中，为了考虑弹性因素的影响，SJÖBERG等2基于形状因子的理论描述了规则橡胶元件的非线性弹性特征，其结果与采用超弹性材116 机 械 工 程 学 报 第46卷第14期 料属性的有限元模型相近，但是该理论在几何形状、材料属性的非线性较强时不合适。DZIERZEK3基于试验数据，考虑几何非线性特性与材料摩擦因素，创建了圆柱形橡胶衬套仿真模型。另外，为考虑频率的影响，除了经常使用的Kelvin-Voigt模型4与三参数Maxwell模型5外，近年来，新发展的分数导数模型能以较少的参数数量有效反映橡胶衬套弹性元件动态特性的频率影响。SJÖBERG等2, 6-

10、8使用分数导数模型，与弹性单元、摩擦单元共同组成了橡胶弹性元件的仿真模型，取得良好的特性预测效果。但分数导数模型当前时刻计算结果依赖于前面所有结果，不利于模型的实时仿真。为考虑振幅的影响效应，通常将包含有库仑摩擦力模型的单元作为橡胶衬套模型的摩擦部分，但与试验数据曲线相差较大。因此，BERG9提出了一种平滑的摩擦力模型，用于包含有橡胶弹性元件的系统动态力学分析，并在该领域得到广泛的认可与应用2, 6-7。由于对橡胶类材料微观特性的认识尚不完善，通过试验方法建立橡胶衬套外特性的半经验模型，同时利用试验数据识别模型参数形成等效模型成为橡胶衬套力学模型领域研究的主要方法，尤其是在仿真分析领域。但是，

11、面对各种半经验模型，针对具体的分析对象，如何在综合考虑模型精度、识别方法以及试验工作量的情况下，合理选择适用的模型成为重要的课题之一。为此，本文针对四种目前广泛应用的，具有代表性的橡胶弹性元件半经验模型：Kelvin-Voigt模型4、三参数Maxwell模型5，BERG模型9、DZIERZEK模型3，进行模型结构特征、参数识别方法与特性预测精度的对比分析，综合分析了四种典型橡胶衬套半经验模型的综合特点，并推荐了适用场合。 大，这是由于频率增大，阻尼力随之增大形成的。 (3) 阻尼系数随着频率增加而增加，但是存在饱和值，频率达到一定数值后阻尼保持为定值。1 主义橡胶衬套力学特性模型1.1 Ke

12、lvin-Voigt模型较早用于橡胶衬套动特性模拟的模型是Kelvin-Voigt模型4，该模型是由一个弹性元件与一个粘性元件并联形成的，如图1a所示。依据文献3中材料参数识别出的Kelvin-Voigt模型参数k=4 504 N/mm，c=3.2 N·s/mm计算得到该模型载荷迟滞 环。因为Kelvin-Voigt是简化的线性粘弹模型，其反映橡胶衬套粘弹特性的载荷位移迟滞环 形状是规则的椭圆形(图1b)。从图1c、1d中可以看图1 Kelvin-Voigt模型结构与动特性仿真结果 出以下3点。 1.2 三参数Maxwell模型(1) 动刚度与阻尼系数不能体现振幅因素的影三参数Max

13、well模型5是由一个Maxwell模型响，即Payne效应。 并联一个弹性元件形成的，如图2a所示。依据文献(2) 模型的动刚度随着频率的增加而逐渐增2010年7月 于增亮等：橡胶衬套力学特性半经验参数化模型 1173中材料参数识别出的Kelvin-Voigt模型参数 (1) 三参数Maxwell模型不能反映动特性对于k2=4 144.5 N/mm，c=3.3 N·s/mmk1=9 517.6 N/mm，振幅的依赖性。但与Kelvin-Voigt模型相比，该模计算得到该模型载荷迟滞环。该模型与较早使用的型在Kelvin-Voigt模型粘性单元串联一个弹簧元件，Kelvin-Voig

14、t模型类似，都属于忽略了橡胶材料非线可以避免在高频段内高估动刚度与阻尼的问题，能性因素的线性粘弹模型。因此，其迟滞环同样是规较好地模拟动刚度特性。 则的椭圆形状(图2b)。由图2c与2d中同样可以看(2) 动刚度随频率的增加而增加，增加的速度出以下3点。逐渐加快之后再逐步减小。(3) 阻尼系数在低频段随频率增加快速增大，达到峰值后随着频率的增加下降。橡胶材料的阻尼系数，会随着频率的增加有一个先增加、达到最大值、再逐步减小的过程，因此三参数Maxwell模型可以在一定程度上符合阻尼系数和频率的实际关系，从而广泛地使用于频率范围比较广的模型仿真当中。1.3 BERG模型为了更好体现出橡胶衬套动态特

15、性的振幅依赖性，BERG模型9在三参数Maxwell线性粘弹模型基础上并联一个摩擦单元形成的橡胶衬套非线性模型，如图3a所示。依据文献3中材料参数识别出的Kelvin-Voigt模型参数k1=4 178 N/mm，k2=10 498 N/mm，c=2.9 N·s/mm，Ffmax=2 109.5 N，x2=0.28 mm计算得到该模型载荷迟滞环。由于摩擦元件的引入，橡胶衬套载荷位移迟滞环不再是规则的椭圆形状。在加载与卸载开始后的一段位移内，由于摩擦力与粘弹力同时作用，载荷变化较快，当达到一定位移后，摩擦力增大到峰值便保持不变。由图3c、3d可以看出以下4点。(1) BERG模型的动刚

16、度与阻尼系数随频率的总体变化趋势与三参数Maxwell模型基本相同。(2) 在频率接近零的情况下，BERG模型的能量消耗不为零，这是因为虽然粘弹部分消耗的能量虽接近于零，但摩擦力的能量消耗不受频率影响，这与实际情况比较相符。(3) BERG模型预测的动刚度和阻尼系数也能表现出振幅因素的影响。随着振幅的增加，其碳黑填充物结构同时被破坏，这种结构是由通过范德瓦尔键链接的聚合体组成，致使动刚度也随之减小。(4) 橡胶衬套的阻尼系数随振幅的增加呈现先增加，达到某峰值后再减小的趋势，较好地吻合了橡胶衬套的振幅特性，模型动态阻尼系数随振幅的变化趋势也体现出与实际一致的特性。1.4 DZIERZEK模型图2

17、 三参数Maxwell模型结构与动特性仿真结果 在橡胶衬套动态特性的非线性因素中，除了碳黑增强剂的影响外，还包括弹性元件刚度大变形非118机 械 工 程 学 报 第46卷第14期尼来反映频率对橡胶衬套特性的影响，通过摩擦阻尼来反映振幅对橡胶衬套的影响。在期望的频率、振幅和变形模式范围内，此模型能很好地模拟衬套的阻尼和刚度特性。依据文献3中材料参数计算得到该模型载荷迟滞环。从图4c、4d中可以看出以下3点。图3 BERG模型结构与动特性仿真结果线性的影响。DZIERZEK3基于试验提出半经验模型，同时考虑两种非线性因素的影响，如图4a所示。整个模型的作用力由Fe、Fv、Fm1、Fm2、Ff五部分

18、组成，其中Fe为非线性回复力，Fv、Fm1、Fm2为粘弹性元件的力，Ff为摩擦力。该模型通过粘性阻 图4 DZIERZEK模型结构与动特性仿真结果2010年7月 于增亮等：橡胶衬套力学特性半经验参数化模型119(1) DZIERZEK模型动刚度与阻尼系数均显示出振幅与频率的依赖性。(2) 动刚度随频率的增加而逐渐增大，并且随振幅的增加而显著减小。但在大振幅工况时，由于弹性回复力的非线性因素，使得模型动刚度出现小幅增大现象。(3) 模型阻尼系数也随频率的增加而增大，同时增长速度逐渐缓慢。在小振幅范围内，模型表现出较大的阻尼系数，当振幅不断增大，参数数值显著减小。同理通过建立误差最小优化函数得到模

19、型参数的最优估计值。在三参数Maxwell模型中包含三个识别参数，则至少需要两个不同固定振幅与频率的动态工况才能确定仿真模型。 2.3 BERG模型BERG模型是在三参数Maxwell模型基础上增加一个摩擦单元形成的。首先根据摩擦单元载荷位移关系确定该单元参数。摩擦单元两个参数最大摩擦力Ffmax和位移值x2识别方法可参照文献5方法进行。因为只有在位移量足够大的时候，摩擦力效应才能够释放完全。因此在BERG模型的参数识别过程中，应该选取形变量较大，同时为消除粘弹分力的影响，形变速度恒定且非常小的静态试验工况对摩擦力Ff进行识别。在消除了摩擦力因素对模2 模型参数识别方法下面依次说明四种模型参数

20、识别方法。 2.1 Kelvin-Voigt模型依据Kelvin-Voigt模型结构图1a，模型动刚度与滞后角与模型参数的关系为型动刚度以及损耗能量贡献后，粘弹单元按照三参数Maxwell模型参数识别方法便可确定模型的全部kd()= (1)参数。Wc()= (2) 模型动刚度与阻尼系数分别为X02kdkd=式中 W每个循环工况所损耗能量W+WvX0位移峰值 (9) c=f2kXd0在参数识别过程中，要综合考虑两个参数对识别结果的影响，同时为了确保识别结果最接近试验数据，本文通过设置误差最小优化函数来实现，如式(3)所示k式中 ke模型弹性刚度kf 模型摩擦刚度 kv, r 模型粘弹刚度实部 k

21、v, i 模型粘弹刚度虚部22i kd,tcti=mini1+i1 (3) i=1kd,ece式中 k参数识别工况数量ikd,t识别工况动刚度仿真值Wf 摩擦分力损耗能量 Wv 粘弹分力损耗能量 X0 试验工况位移峰值ikd,e识别工况动刚度试验值cti识别工况阻尼系数仿真值ice识别工况阻尼系数试验值因此BERG模型参数识别需要一个形变量较大、形变速度恒定且非常小的静态工况，以及两个固定振幅与频率的动态工况。 2.4 DZIERZEK模型因为Kelvin-Voigt模型只有两个待识别参数，因此只需要一个固定振幅与频率工况下的动刚度与阻尼系数值就可以确定模型的参数。 2.2 三参数Maxwel

22、l模型DZIERZEK模型是四种模型中识别参数最多、仿真精度最高的模型，参数的识别也根据不同单元力的特点选择合适的试验工况。首先选择弹性分力与摩擦分力单元，因为两种三参数Maxwell模型中复刚度表达式为 单元都属于橡胶衬套的静态特性，必须通过形变量22较大、形变速度恒定且非常小的静态工况识别。为 kr=k1+k2 (4) 221+了充分体现弹性回复力大位移工况以及不同振幅工c况下的非线性特征，共须选取9个不同形变量的静ki= (5)1+22态试验工况进行弹性分力参数dt(弹性单元特征长式中，=ck2。度)、弹性单元刚度参数p、q、r与摩擦分力参数模型动刚度表达式为c的识别。其识别过程均依据文

23、献6提出的方法kd()=进行。120C4 Ff=c3kt机 械 工 程 学 报 第46卷第14期从图5中可以看出，试验橡胶衬套动刚度随振幅的增加而显著下降，同时随频率的增加而增大。阻尼系数总体随着振幅的增加下降，随着频率的增(10)大而增大。但是在25 Hz与30 Hz频率工况且振幅从式(10)可以看出，当位移X较小时，因为 非常小时，其随振幅的增加而增大。tanXX2dt2dt依据相应的参数识别方法与工况选取要求，依次对四种模型进行了参数识别，并分别对比了各个模型仿真结果与试验结果之间的差异。3.1 Kelvin-Voigt模型与三参数Maxwell模型 图6所示为两种线性模型Kelvin-

24、Voigt模型与三参数Maxwell模型的动态特性预测结果与试验结果对比的相对误差情况。由图6可知以下几点。则FektX部分趋近于零。因此在低于一定幅值的小振幅高频率动态工况中，粘弹单元损耗能量计算中可忽略参数c3、c4的影响，从而首先识别出k1、k2、c1、c2、cv参数。因为包含5个待识别参数，至少选取3个固定振幅与频率的形变小、频率高动态工况进行参数识别。参数c3，c4则通过建立该3个试验工况与已识别出的半完整模型之间动刚度与阻尼系数的误差最小优化函数确定。因此DZIERZEK模型参数识别所需试验工况共包括9个形变量较大、形变速度恒定且非常小的静态试验工况，以及3个形变小、频率高的动态工

25、况。(1) 由于两种模型的识别工况均选择了振幅为1 mm的不同频率工况，因此在该振幅工况下，动刚度仿真误差最小。当振幅向两个方向外延时，仿真误差均随之增大，其中Kelvin-Voigt模型相对误差最高达33%。(2) 三参数Maxwell模型是在减振器单元串连一个弹簧而形成，其动刚度仿真精度较Kelvin-Voigt模型有所改善。3 模型仿真精度对比分析为了验证各模型仿真精度，以某型车悬架摆臂用橡胶衬套为试验对象，基于Instron液压试验台架进行了振幅0.13.0 mm、频率1.03.0 Hz动态工况试验以及静态工况试验10。动态工况采用正弦波位移激励信号，静态工况则采用加载速度为0.05通

26、过试验得到的橡胶mm/s的三角波位移激励信号。衬套力学特性如图5所示。(3) 两模型阻尼系数仿真精度也受到振幅、频率的影响，随振幅的不断增大其仿真精度逐渐变差，同时在低频段相对误差较高，当频率增加时模型精度逐渐提高。因此在所有试验工况范围内，最高仿真误差出现在低频大振幅工况，误差高达90%。综上分析，两种线性粘弹模型仿真精度较差，尤其是阻尼系数的相对误差很大，不能满足悬架系统动力学建模分析高精度仿真的需要。但两种模型的优点在于整个模型的参数仅仅使用了一到两个工况的试验数据就能够识别出模型中的参数，其经济性较好，适合用在一些要求很低的场合。 3.2 BERG模型与DZIERZEK模型图7所示为两

27、种非线性模型BERG模型与DZIERZEK模型的动态特性预测结果与与试验结果对比的相对误差情况。由图7可知以下几点。(1) BERG模型是在三参数Maxwell模型基础上并联一个摩擦单元形成的，考虑了摩擦力对橡胶衬套力学特性的影响，使模型动态参数具有振幅依赖性，大大降低了模型仿真误差。其中模型动刚度的相对误差平均值8%，最大值16%。模型阻尼系数在低频、大振幅工况时仿真精度较差，相对误差最高值仍达到42%，随着频率的增加，其误差也逐渐图5 橡胶衬套实测动态特性对于振幅、频率依赖特性减小。(2) DZIERZEK模型具有非常低的仿真误差。动刚度最大相对误差能够控制在12%以内，除个别2010年7

28、月 于增亮等：橡胶衬套力学特性半经验参数化模型121图6 线性橡胶衬套粘弹模型仿真误差 图7 非线性橡胶衬套仿真模型仿真误差 工况外，阻尼系数的相对误差均小于22%，是一个精度非常理想的模型。但是，DZIERZEK模型在高频率低振幅的工况下，阻尼系数变化趋势与试验结果不同，相对误差达到98%，这说明DZIERZEK模型不完全符合橡胶衬套力学特性的变化规律，尤其是在高频率小振幅工况下(图8)。4 四种模型综合对比分析 通过对比4种不同模型与试验数值在动刚度、阻尼系数相对最大误差及平均误差，并考虑所需要的参数识别工况种类与数量，汇总如表所示，可以得到以下几点。122机 械 工 程 学 报 第46卷

29、第14期图8 DZIERZEK模型高频范围动态参数振幅依赖特性(1) 两种线性粘弹模型不能体现橡胶衬套动态特性的振幅因素影响，因此仿真精度较差。但由于模型参数较少，所需参数识别试验工况数量较低，因此可用作一些定性分析计算。(2) BERG模型通过在线性粘弹模型结构中并联一个摩擦单元实现了橡胶衬套动态特性的振幅依赖性。通过与试验结果的对比分析，其动态特性仿真误差在频率、振幅范围内的分布特性保持了与线性粘弹模型的相似性，但仿真精度有了很大的提高。此外该模型结构简单，所需参数识别工况较少。(3) DZIERZEK模型首先基于试验数据提出了一种能反映橡胶衬套大变形工况弹性回复力非线性特征的弹性单元模型

30、，同时在摩擦单元模型中也加入了非线性特征的考虑。粘弹单元通过两个Maxwell模型与一个粘性减振模型并联形成，两个动态参数的误差在大多数工况下均控制在较低的水平，但在高频小振幅工况局部精度显著下降。此外，由于模型参数较多，相应参数识别工况随之增加。表 各种橡胶衬套仿真模型适用性对比分析动刚度平模型 Kelvin-Voigt模型 三参数 模型 BERG 模型 DZIERZEK 模型均误差1/%动刚度最大误差e1max/%阻尼系数平均误差2/%阻尼系数最大误差e2max/%参数识别 工况N/个其他低频工况阻尼误差极大，不能分析振幅影响低频工况阻尼误差极大，不能分析振幅影响 可以分析振幅依赖性 可以

31、分析振幅依赖性，小振幅阻尼系数误差大静态：014.6 32.1 47 85.7动态：1 静态：013.7 29.6 47.7 92.8动态：2 静态：17.9 16.7 17 42.5动态：2 静态：94.6 11 13.2 98.9动态：35 结论通过针对四种橡胶衬套典型力学分析模型的理论推导、仿真计算，以及结合实际分析对象的参数识别与仿真精度对比分析，针对模型的适用性选择得出以下主要结论。(1) Kelvin-Voigt模型是最简单的模型，但仿真精度较差；三参数Maxwell模型的动刚度仿真精度有所提高，阻尼系数预测精度与Kelvin-Voigt模型相当。两种模型具有结构简单，但仿真精度较

32、差的特点，适用于定性分析。(2) BERG模型由于考虑了碳黑增强剂的摩擦效应，因此大大提高橡胶衬套阻尼特性的仿真精度，同时由于没有考虑非线性弹性回复力对橡胶衬套动态参数的影响，使得该模型动刚度预测精度随振幅的增加而降低。但该模型结构简单，识别试验工况适中，可推广应用。(3) DZIERZEK模型因同时考虑了橡胶衬套两种非线性特性因素，进一步提高了模型动刚度仿真精度，但在高频小振幅工况下阻尼系数呈现出不合理的变化趋势。同时模型参数较多，参数识别工况大大增加。适用于精度要求较高的分析场合。参 考 文 献1 GIL-NEGRETE N, VINOLAS J, KARI L. A simplified

33、methodology to predict the dynamic stiffness of carbon-black filled rubber isolators using a finite element2010年7月 于增亮等：橡胶衬套力学特性半经验参数化模型123code J. Journal of Sound and Vibration, 2006(296)：757-776.2 SJÖBERG M, KARI L. Non-linear behavior of a rubberisolator system using fractional derivatives J. Vehicle System Dynamics, 2002(37)：217-236.3 DZIERZEK S. Experiment-based modeling of cylindricalrubber bushings for the simulation of wheel suspension dynamic behavior R. SAE 200