集合中的新定义题

1、集合中的新定义题赏析湖南省祁东县洪桥镇一中 徐秋蓉一、新运算问题例1 定义集合A与B的运算：ABx|xA，或xB，且xAB，已知集合A1，2，3，4，B3，4，5，6，7，则(AB)B为( )(A) 1，2，3，4，5，6，7 (B) 1，2，3，4(C) 1，2 (D) 3，4，5，6，7解法一 利用韦恩图，知(AB)B为阴影所示部分，即为1，2，3，4，而选(B)解法二 直接由新运算分步计算，由新定义，得AB1，2，5，6，7，则(AB)B1，2，5，6，73，4，5，6，71，2，3，4，而选(B)例2 设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为MPx|xM且xP，则M(MP)等于（ ）

2、(A) P (B) MP (C) MP (D) M分析 这是集合新定义题，“MP”是学生在中学不曾学过的一种集合运算，应紧扣集合中元素的属性来解题解 当MP时，由韦恩图知，MP为图形中的阴影部分，则M(MP)显然为MP当MP时，MPM，则M(MP)MMx|xM且xM综上，应选(B)二、元素或集合的个数问题例3 设P3，4，5，Q4，5，6，7，定义PQ(a，b)|aP，bQ，则PQ中元素的个数为( )(A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 12解 理解新定义集合PQ的特征是平面上的点集，横坐标为P集合中元素，而纵坐标为Q集合中元素则由分类计数原理知PQ中元素的个数为3×412，选

3、(D)例4 设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为MPx|xM且xP已知A1，3，5，7，B2，3，5，则集合AB的子集个数为( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 由题意，集合AB1，7，因此AB的子集个数为4，选(D)三、理想配集问题 例5 设I1，2，3，4，A与B是I的子集，若AB1，3，则称（A、B）为一个“理想配集”那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（A、B）与（B、A）是两个不同的“理想配集”）( )A4B8C9D16解 元素1、3既在A中又在B中考虑元素2，有3种可能：2A，2B；2A，2B；2A，2B；再考虑4，也有3种可能，故共有9种可能建立排列

4、组合模型，将“理想配集”用排列组合的语言“翻译”过来，问题便迎刃而解四、元素的和问题例6 定义集合A，B的一种运算：A*Bx|xx1x2，其中x1A，x2B，若A1，2，3，B1，2，则A*B中的所有元素之和为( )(A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 21解 A*B2，3，4，5，因此A*B中的所有元素之和为14故选(B)例7 对集合A1，2，3，2001及每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果。例如，集合1，2，4，7，10的“交替和”为1074216，集合7，10的“交替和”为1073，

5、5的“交替和”为5，等等，试求A的所有子集的“交替和”的总和解：集合A1，2，3，2001的子集中，除了集合2001，还有220012个非空子集将其分为两类，第一类是含2001的子集，第二类是不含2001的子集，而且这两类各自所含子集的全体相互构成一一映射，从而这两类所含子集的个数相同因为若Ai是第二类的，则必有Ai2001是第一类的集合；如果Bi是第一类的集合，则Bi中除2001外，还应用1，2，3，2000中的做其元素，即Bi中除2001外是非空的，而是第二类的集合；令Ai与Ai2001对应，则这种“成对的”的集合的“交替和”都为2001，从而可得A的所有子集的“交替和”的总和为(2200

6、12)×2001200122000×2001五、集合的分拆问题例8若集合A1、A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A=a1,a2,a3的不同分拆种数是 （ ）A.27 B.26 C.9 D.8【解】集合A的子集为共8个，集合A的一个分拆可以列表如下：A1A2A1A2， ，共有27个，选A.六、集合长度问题例9 设数集Mx|mxm，Nx|nxn，且M、N都是集合x|0x1的子集，如果把ba叫做集合x|axb的“长度”，那么集合MN的“长度”的最小值是( )(A) (B) (C) (D)解 由题意，知集合M的“长度”是，集合N的“长度”是，由集合M、N是x|0x1的子集，知当且仅当MNx|0x1 时，集合MN 的“长度”最小，最小值是