课例椭圆的标准方程

1、课例椭圆的标准方程抚顺一中 王悦一、教学设计与策略（一）指导思想及依据普通高中数学课程标准明确指出学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程而自主学习是探究学习、合作学习的基础，其重要含义是主动学习，有利培养学生的主体意识和创新精神（二）教学策略选择与设计普通高中数学课程标准在对本节内容的教学要求中指出：要让学生经历从具体问题情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及其标准方程通过“自主学习”的课堂教学模式，从引导学生学习的主动性、独立性、创

2、造性出发，运用创设问题情境、自主探究、合作交流等教学策略激发学生自主学习意识，促进学生的主动发展和全面发展（三）教学目标1知识与技能目标能识别椭圆的实际背景，会解释椭圆的定义中各要素的约束条件，会推导椭圆的标准方程，能记住椭圆的标准方程，会刻划椭圆标准方程的结构特征，能近似的画椭圆的几何图形，进一步体验数形结合思想的作用2过程与方法目标通过列举生活中的常见的与椭圆曲线有关的实例，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，让学生感受椭圆曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；在教师的引导下，通过自学提纲，学生以自主探究、小组讨论等形式探索学习椭圆的定义和标准方程，并能解决相关的问题；培养学生分析探

3、索能力3情感、态度与价值观目标通过让学生自主探究椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性和主动性；培养学生主动发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力；培养学生的学习兴趣和创新意识；让学生体会运动变化、对立统一的辩证思想 （四）教学内容本节课是圆锥曲线部分的第一节课，涉及的概念与方法是全新的，理解和掌握本节课的知识与研究方法，将对圆锥曲线相关内容的学习产生重要的影响，所以说，本节课的学习具有着承前启后的重要作用1通过学生和教师共同列举出椭圆在生活实际、科技领域等方面的体现和应用，激发学生的学习兴趣和主动探究意识，并恰当地进行爱国主义教育2让学生通过自制椭圆定义模型体会运动

4、变化规律，增强学生动手能力，培养创新精神3教师给出学习提纲并引导学生自主学习椭圆的定义及椭圆标准方程，培养学生自主探究与合作交流的学习能力4通过巩固练习、反思小结的教学环节深化学生自主探究学习能力，进一步培养学生主动发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力5充分利用网络资源构建学生自主学习、分工协作的学习平台（五）教学重点和难点：重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程 难点：椭圆标准方程的推导（六）教学过程：1.创设情境、导入新课：（1）让学生列举出他们通过上网查到的在生活实际、科技领域等方面与椭圆相关的内容；教师提出问题“我国神舟七号载人飞船巡天飞行的轨道是什么曲线？”，

5、并演示飞船环绕地球运动的动画（2）教师引导学生利用自制的椭圆定义模型画出椭圆图形设计意图：通过刚刚发生的国内外大事，激发学生的学习兴趣，适时进行爱国主义教育让学生亲自动手利用模型体会椭圆定义，体会运动变化规律，加强动手能力，培养创新意识2. 新知探究：（1）教师出示自主学习提纲（共含1-6六个问题），引导学生根据提纲自学教材39页到41页例2，教师针对可能有学习困难的学生给予帮助指导【通过自主学习提纲的引导，有利于学生理解本节课的学习目标、重和方法点，进一步提高学生的自主学习能力】 （2）依据学习提纲展开学习讨论，并利用自制的定义模型加以检验论证；教师通过课件动态的演示促进学生的理解【在检验自

6、主学习效果的同时，通过适时的引导以加深学生对知识内容的理解，提升学生自主探究能力】（3）椭圆标准方程的推导教师通过设置七个渐进式的引导问题，与学生共同完成椭圆标准方程的推导【这部分内容属于本节课的难点，需要教师给予适当的精讲，处理学生的思维障碍，从而顺利突破教学难点】 3.练习巩固与课堂评价：教师出示五道巩固练习题，学生利用所学知识对习题进行探究讨论，教师进行适时点拨和评价【巩固习题设置有一定梯度，目的在于使学生深刻的理解和掌握所学习的新知识内容，检验并加强学生自主学习效果】4.课堂小结：学生总结，教师引导并布置作业【培养学生总结归纳、反思评价的学习能力，体会运动变化、对立统一的辩证思想充分利

7、用网络资源构建学生自主学习、分工协作的学习平台，培养学生在自主学习过程中合理地使用外部资源整合知识的能力】（七）教学媒介：1课前：教师利用网络资源收集有关椭圆在生活实际、科技领域等方面的素材，编制自主学习提纲和习题，合理整合教学内容；学生上网收集有关椭圆的知识内容，并自制简易的椭圆定义模型，进行课前自主探究学习2课上：教师利用多媒体进行辅助教学，直观、生动、高效二、教学过程实录（一）创设情境、导入新课师：椭圆是我们生活中常见的图形，课前让同学们通过上网或查资料的方法收集了有关椭圆的相关资料，谁来说说我们在那些地方见过椭圆？生：某些餐桌、餐盘、香皂盒等都有椭圆型的生：学校操场跑道是椭圆型的，太阳

8、系中行星的运动轨道也是椭圆的（学生发言踊跃，课堂气氛活跃，学生的学习兴趣浓厚）师：同学们说得非常好！椭圆在我们的生活实际、科技领域等方面都扮演着重要的角色近几年我们连续发射了神舟五、六、七号载人航天飞船和众多科技卫星，那么飞船和卫星绕地球飞行的轨迹是什么？（此处隐含爱国主义教育）生：椭圆（学生齐答，同时教师演示飞船环绕地球运动的动画）师：我们还可以通过用平面去截一个圆锥面得到椭圆（演示平面截圆锥面得到的曲线的动画，让学生了解“圆锥曲线”这个名称的来历） 师：我们还可以用什么方法得到椭圆呢？下面请大家拿出课前制作的椭圆定义模型画出你们的椭圆（教师引导学生利用自制的椭圆定义模型画出不同大小的椭圆图

9、形，让学生体会椭圆的定义，由此引出课题：椭圆及其标准方程）（二）新知探究师：请同学们根据学习提纲自学教材39页到41页例2并思考讨论这样两个问题（教师在屏幕上显示学习提纲，板书思考讨论题学生自学一段时间后，可以针对思考讨论题展开探究讨论，教师巡视，并针对可能有学习困难的学生给予帮助指导）学习提纲： 1平面内与两个定点F1、F2 的点的轨迹叫做椭圆 2这两个定点叫做 ， 叫焦距 3方程 或 ，叫做椭圆的标准方程a、b、c 之间的关系是 4方程 的焦点在 x 轴；方程 的焦点在 y 轴可以记为：焦点所在的坐标轴由 确定 5平面内与两个定点F1、F2 的距离和等于常数2a，当2a|F1F2|时，动点

10、的轨迹为 ；当2a|F1F2|时，动点的轨迹为 ；当2a|F1F2|时，动点的轨迹 6求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1） 两个焦点坐标分别是（3，0），（3，0），椭圆经过点（5，0） （2） 两个焦点坐标分别是（0，5），（0，5），椭圆上点 P 到两焦点的距离和为26思考讨论题：（1）椭圆的定义和圆的定义有什么异同？（2）如果到两个定点的距离的和不大于|F1F2|时，轨迹还是椭圆吗？为什么？师：通过刚才大家的学习，请同学先回答这两个思考讨论题生：都是在平面内，都有定点和定值不同的是椭圆的定义中是到两个定点的距离的和为常数，而圆定义中是到一个定点的距离为定值 师：如何理解椭圆定义中的常

11、数要大于两个定点的距离|F1F2|？请同学来回答第二个问题生：我认为椭圆上的点与两个定点形成的是三角形，三角形两边之和大于第三边，所以椭圆上的点到两个定点的距离的和一定大于两个定点的距离师：很好那么如果到两个定点的距离的和小于或等于两个定点的距离的点的轨迹又如何呢？哪位同学能说清楚呢？生：我可以通过我的椭圆定义模型给大家演示说明（学生上讲台边演示边讲解）很显然，如果到两个定点的距离的和等于两个定点的距离时，表示的轨迹图形是以两个定点为端点的线段；如果小于两个定点的距离时，不能作出任何曲线 师：很好，这位同学说得非常准确，而且能利用手中的模型形象直观地阐述自己的观点，同时也想到这种做法的同学请举

12、手（通过举手，适时进行课堂评价，同时教师通过课件动态的演示思维的过程，加深学生对第5个问题的正确理解）师：下面请同学们来解答学习提纲上的问题（前四个问题较容易解决，第五个问题刚刚解决，第六题选取不同层次学生来回答，检验自主学习效果）师：就第六题请同学来说说你的做法生：对于第一小题我先设出焦点在x轴的椭圆标准方程，已知c的值是3，由a、b、c的关系可知a、b的关系式，再把（5，0）点带入方程，然后解关于a、b的方程组，得出方程师：还有其它的想法吗？生：由题易知c的值是3，a的值是5，由a、b、c的关系可求得b的值是4，可得方程师：你倾向于哪位同学的想法？（教师通过让学生举手的方式，进行信息反馈）

13、师：就第六题的第二小题请同学来说说你的做法生：由题知c的值为5，由定义知a的值是13，所以方程为师：再仔细想想，有没有问题？生：不对，焦点应该在y轴上，应该是师：那么求椭圆标准方程要注意那些问题？生：焦点在哪个轴上，相应的那个项的分母就大师：反之，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上生：老师，对第二小题我还有个想法，设P点坐标(x,y)，然后利用两点间距离公式列出等式，但是去根式化简比较麻烦（教师通过让有此类想法的学生举手，进行评价和反馈）师：这位同学的想法刚好为我们提出了关于椭圆标准方程的推导问题下面我们来共同探讨椭圆标准方程的推导师：通过前几课的学习，我们如何研究曲线的性质？ 生：可以通过

14、曲线的图像和方程来研究曲线的性质师：如何求曲线的方程呢？生：建立适当的坐标系，列出等量关系，化简求出曲线方程 师：请同学们在你们利用模型画出的椭圆图形上建立适当的坐标系，并根据椭圆的定义列出等量关系（学生均能建立如图坐标系，大多数能列出等量关系式） 师：如何化简方程呢？两边平方，会使得方程变得更加复杂，移项之后，再平方，稍简单些，同学们可课后尝试推导下面我们再介绍一种更为简便的方法（教师利用多媒体演示讲解推导过程） 师：请同学来说一说椭圆标准方程方有什么特征？ 生：x,y都是2次项，没有xy项以及一次项，分母是平方数，所以为正数，左边两项用加号连接，右边是常数1因为a 大于b所以焦点在x轴上时

15、，x2项对应的分母较大 师：总结得很准确焦点在y轴上时椭圆的标准方程？生： (a >b>0)师：能否说明道理？（学生）生：根据图形的对称性，只要将x,y互换就能得到师：回答正确！看来同学们能够充分利用椭圆图形来研究椭圆的定义及标准方程，这正是数形结合思想的体现，在下一步的学习中我们还要充分结合这一思想来研究有关椭圆的性质（渗透数形结合的思想）（这部分内容属于本节课的难点，需要教师给予适当的精讲，但不能面面俱到，通过设置的引导问题，及时发现、处理学生的思维障碍，促进学生学会自主学习，从而顺利突破教学难点） （三）练习巩固与课堂评价教师出示五道巩固练习题，包括两道探究式和开放式的习题，

16、学生利用所学知识对习题进行探究讨论,教师对其中部分习题适时进行变式，以此检验并加强学生自主学习效果，培养学生自主探究、合作交流以及分析问题、解决问题的学习能力（四）课堂小结师：通过本节课的学习，请同学们思考你都学到了哪些知识？生：我们学习了椭圆的定义、椭圆的标准方程师：通过本节课的学习，请同学们谈谈你在学习的过程中有那些深刻体会生：我觉得利用定义模型讨论学习提纲第5题特别直接生：推导椭圆标准方程的化简方法非常巧妙生：练习题的第2题给我启发很大师：同学们总结的非常好，我们通过这堂课不仅学到了知识，还学到了学习的方法正所谓，智者，当借力而行（培养学生总结归纳、反思评价的学习能力，体会运动变化、对立

17、统一的辨证思想）（五）布置作业 1P43 1、2 2同学们尝试在几何画板上可用几种方法画出椭圆来，可利用网络查找下节课请做得较好的同学来讲解（通过探究在几何画板上椭圆的不同画法，加深学生对椭圆概念的认识，同时通过上网，培养学生在自主学习过程中合理地使用外部资源整合知识的能力） 三、教学反思（一）收获1促进了学生的主动发展教学中重视了导入问题的设计，引发了学生的认知冲突，使学生产生了探究的冲动；在知识形成过程中，通过自学探究激发了学生潜能和创新意识 2建立了和谐的师生关系教师只是课堂活动中的引导者，学生带着教师精心设计的问题，与教材、教师、同学之间多向交流，获得了智慧提升的乐趣，课堂上呈现出师生

18、愉快和谐的气氛3树立自信，体验成功在课堂教学中学生真正自主地参与了教学的全过程，思维积极，在从问题的提出到问题的解决过程中，尝试到成功的喜悦，从而树立起进一步学习的自信心 （二）问题1用时问题 “自主学习”课堂教学模式比传统教学方法费时较多，在某种程度上势必影响预期教学计划的完成，这个问题还需在今后的教学中不断探索 2学生差异问题 由于学生的个体差异、群体差异是客观存在的，因此在同一班级或不同班级中开展自主学习的深度和广度还有待进一步的实践探索参考文献1. 中华人民共和国教育部制订普通高中数学课程标准人民教育出版社2003.42. 叶尧城高中数学课程标准教师读本华中师范大学出版社2003.93

19、. 董洪亮新课程教学组织策略与技术教育科学出版社2004.64. 黎奇新课程背景下的有效课堂教学策略首都师范大学出版社2006.4 课例椭圆的标准方程点评抚顺一中 付利中一、对教学设计与教学策略的评析本课例是将丰富学生的学习方式作为教学设计的基本理念，采用了“自主学习”课堂教学模式进行的教学设计，在充分注重学生主体作用的发挥的前提下，通过对学生自主学习的促进来体现教师自身的主导作用，努力为学生积极主动的学习创造有利的条件，促进学生参与教学实践，形成积极主动的学习方式二、对课标要求的把握与落实的评析本课例对知识与技能目标的设定，能在满足课程标准要求的同时，更加注重对学生自学的指导作用，注重知识内容所蕴含的数学思想方法较为突出的是对过程与方法目标的设定，让学生充分体验新知识从实际中的抽象过程，重视对标准方程推导的思维过程的交流，进而通过学生自主学习及生与生、师与生的思维交流达成情感、态度与价值观的目标从教学目标的落实情况看，教师通过让学生自主探究椭圆的定义和标准方程，培养了学生主动发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，较好的培养了学生的学习兴趣和创新意识