实际问题与二次函数之桥梁问题

1、.-有关抛物线形的实际问题有关抛物线形的实际问题.图 片 欣 赏.图 片 欣 赏.图 片 欣 赏.图 片 欣 赏.生活中的抛物线形生活中的抛物线形.活动一：做一做活动一：做一做 拱桥为抛物线型，其函数解析式为拱桥为抛物线型，其函数解析式为 当水位线在当水位线在AB位置时，水面宽位置时，水面宽4米，这时水米，这时水面离桥顶的高度为面离桥顶的高度为米；当桥拱顶点到米；当桥拱顶点到水面距离为水面距离为2米时，水面宽为米时，水面宽为米米221xyxyABO24. 如图的抛物线形拱桥如图的抛物线形拱桥,当水面在当水面在 时时,拱桥顶离水面拱桥顶离水面 2 m,水面宽水面宽 4 m,水面下降水面下降 1

2、m, 此时水面宽度为多此时水面宽度为多少？水面宽度增加多少少？水面宽度增加多少 ?l活动二：探究活动二：探究.抛物线形拱桥，当水面抛物线形拱桥，当水面在在 时，拱顶离水面时，拱顶离水面2m2m，水面宽度水面宽度4m4m，水面下降，水面下降1m1m，水面宽度为多少？，水面宽度为多少？水面宽度增加多少？水面宽度增加多少？lxy0(2,-2)(-2,-2)当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的宽，水面的宽度为度为 m.3y6x62462水面的宽度增加了水面的宽度增加了m探究：探究：2axy 解：设这条抛物线表示的二次函数为解：设这条抛物线表示的二次函数为21a由抛物线经过点（由抛物线

3、经过点（2，-2），可得），可得221xy所以，这条抛物线的二次函数为：所以，这条抛物线的二次函数为：3y当水面下降当水面下降1m时，水面的纵坐标为时，水面的纵坐标为ABCD.抛物线形拱桥，当水面抛物线形拱桥，当水面在在 时，拱顶离水面时，拱顶离水面2m2m，水面宽度水面宽度4m4m，水面下降，水面下降1m1m，水面宽度为多少？水面宽度为多少？水面宽度增加多少？水面宽度增加多少？lxy0(4, 0)(0,0)462水面的宽度增加了水面的宽度增加了m(2,2)2(2)2ya x解：设这条抛物线表示的二次函数为解：设这条抛物线表示的二次函数为21a由抛物线经过点（由抛物线经过点（0，0），可得），

4、可得21(2)22yx 所以，这条抛物线的二次函数为：所以，这条抛物线的二次函数为：当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的，水面的宽度为宽度为 m.1 y6262x 1y 当水面下降当水面下降1m时，水面的纵坐标为时，水面的纵坐标为CDBE.X yxy0 0X y0X y0(1)(2)(3)(4).y y0 0 x x0 0y yx xx xy y0 00 0(2,2)(2,2)(4,0)(4,0)-1-1y yx坐标系的建立可有不同的坐标系的建立可有不同的方法方法,会得到不同的函数关会得到不同的函数关系式系式,但不同的方法得到的但不同的方法得到的结果是一致的结果是一致的.0

5、0.活动三：想一想活动三：想一想 通过刚才的学习，你知道了用二次函通过刚才的学习，你知道了用二次函数知识解决抛物线形建筑问题的一些数知识解决抛物线形建筑问题的一些经验吗？经验吗？.建立建立适当适当的直角坐标系的直角坐标系审题，弄清已知和未知审题，弄清已知和未知合理合理的设出二次函数解析式的设出二次函数解析式 求出二次函数解析式求出二次函数解析式 利用解析式求解利用解析式求解得出实际问题的答案得出实际问题的答案 .1.1.有一个抛物线型拱桥有一个抛物线型拱桥, ,拱顶拱顶O O离水面高离水面高4 4米米, ,水面宽度水面宽度AB=10AB=10米米, ,现有一竹排运送一只货箱现有一竹排运送一只货

6、箱欲从桥下经过欲从桥下经过, ,已知货箱的长已知货箱的长1010米米, ,宽宽6 6米米, ,高高2.552.55米米( (竹排与水面持平竹排与水面持平) )问问: :货箱能否货箱能否顺利通过该桥顺利通过该桥? ?O Oy yx xBACEFD.2.2.周朗学过了抛物线的图象后周朗学过了抛物线的图象后, ,想测学校大想测学校大门的高度门的高度, ,如图所示如图所示, ,大门的地面宽度大门的地面宽度AB=18AB=18米米. .他站在门内他站在门内, ,在离门脚在离门脚B B点点1 1米远的米远的D D处处, ,垂直地面立起一根垂直地面立起一根1.71.7米长的木杆米长的木杆, ,其顶部恰其顶部

7、恰好在抛物线门上好在抛物线门上C C处处, ,由此由此, ,他求出了大门的高他求出了大门的高度度. .你知道他求得的结果是什么你知道他求得的结果是什么? ?ABCDOyx.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高面高 米，与篮圈中心的水平距离为米，与篮圈中心的水平距离为8 8米，当球米，当球出手后水平距离为出手后水平距离为4 4米时到达最大高度米时到达最大高度4 4米，设篮米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3 3米。米。209问此球能否投中？问此球能否投中？3米米2098米米4米米4米米0投篮

8、问题投篮问题:yx.03xy20(8,)9(8 , 3) (1)在出手角度和力度都不变的情况在出手角度和力度都不变的情况下下,小明的出手高度为多少时能将篮球投小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈入篮圈?探究延伸探究延伸: :(0,3)小明的出手高度为小明的出手高度为3m时时能将篮球投入篮圈能将篮球投入篮圈.03xy(8,3)(7,3)(2) 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？篮也能将篮球投入篮圈？y小明朝着篮球架再向前平移1m后跳起投篮也能将篮球投入

9、篮圈.实际问题实际问题数学问题数学问题转化转化(二次函数的问题二次函数的问题)建立适当的坐标系建立适当的坐标系 实际问题实际问题 的答案的答案检验检验目标目标总结升华:( (有关抛物线形的实有关抛物线形的实际问题际问题) )数学问题数学问题 的答案的答案利用利用二次函数的图象二次函数的图象求解求解. 3.05m B A o y x2.5m4m(1).(1).一位运动员在距篮下一位运动员在距篮下4m4m处跳起投篮处跳起投篮, ,篮球运行篮球运行的路线是抛物线的路线是抛物线, ,当球运行的水平距离为当球运行的水平距离为2.5m2.5m时时, ,达到最高高度达到最高高度3.5m,3.5m,然后准确落

10、入篮筐然后准确落入篮筐, ,已知篮筐已知篮筐中心到地面的距离为中心到地面的距离为3.05m.3.05m.(1)(1)建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系, ,求抛物线的解析式求抛物线的解析式(2)(2)该运动员是国家队后卫刘伟该运动员是国家队后卫刘伟的身高的身高1.88m,1.88m,在这次跳投中在这次跳投中, ,球在头顶上方球在头顶上方0.25m0.25m处出手处出手, ,问问: :球出手时球出手时, ,他离地面的高他离地面的高度是多少度是多少? ?姚明的身高是姚明的身高是2.26m,2.26m,如果这名运动员是姚明如果这名运动员是姚明, ,他他跳离地面的高度是多少跳离地面的高度

11、是多少? ?. 3.05m B A o y x(2) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线5 . 3512xy 运行，然后准确落入蓝筐内，运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的距离为已知蓝筐的中心离地面的距离为3.05m。 1、球在空中运行的最大高度是多少米？、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度度 为为2.25m ，则他离篮筐中心的水平距离，则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？是多少？.6.6.如图如图: :在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,坐标原点为坐标原点为O,AO

12、,A点坐标为点坐标为(4,0),B(4,0),B点坐标为点坐标为(-1,0),(-1,0),以以ABAB的中心的中心P P为圆心为圆心,AB,AB为直径作为直径作PP与与y y轴的正半轴的正半轴交于点轴交于点C.C.(1)(1)求经过求经过A,B,CA,B,C三点的抛物线对应的解析式三点的抛物线对应的解析式; ;(2)(2)设设M M为为(1)(1)中抛物线的顶点中抛物线的顶点, ,求直线求直线MCMC对应对应的函数解析式的函数解析式; ;(3)(3)试说明直线试说明直线MCMC与与PP的位置关系的位置关系, ,并并证明你的结论证明你的结论. .xyAMPCOBN.探究性题探究性题: : 当当

13、k k为何值时为何值时, ,对于函数对于函数y=x2+2x-k不论不论k k取何实数时取何实数时,y,y的值总大于的值总大于0?0?.4.4.已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c图象的顶点图象的顶点坐标为坐标为(1,-4),(1,-4),与与y y轴的交点坐标为轴的交点坐标为(0,-3).(0,-3).(1)(1)求这个二次函数的表达式求这个二次函数的表达式; ;(2)(2)若这个二次函数的图象与若这个二次函数的图象与x x轴的交点轴的交点是是A,B(AA,B(A在在B B的左边的左边),),点点C C的坐标为的坐标为(2,4)(2,4), ,求求ABCABC的面

14、积的面积. .2.2.如图如图, ,一个中学生推铅球一个中学生推铅球, ,铅球在铅球在A A点处出手点处出手, ,在在B B点处落地点处落地, ,它的运行路线是一条抛物线它的运行路线是一条抛物线, ,在平在平面直角坐标系中面直角坐标系中, ,这条抛物线的关系式这条抛物线的关系式为为: :(1)(1)请用配方法把请用配方法把 化成化成 的形式的形式; ;(2)(2)求出铅球在运行过程中求出铅球在运行过程中到达最高点离地面的距离到达最高点离地面的距离和这个学生推铅球和这个学生推铅球的成绩的成绩( (单位单位: :米米) )53321212xxy53321212xxykhxay2)(X(米米)BAO

15、 Oy(米米).3.3.已知自变量为已知自变量为x x的二次函数的二次函数 与与 , ,这两个二次函数的图象这两个二次函数的图象中的一条与中的一条与x x轴交于轴交于A,BA,B两个不同的点两个不同的点. .(1)(1)试判断哪个二次函数的图象可能经过试判断哪个二次函数的图象可能经过A,BA,B两两点点; ;(2)(2)若若A A点的坐标为点的坐标为(-1,0),(-1,0),试求出试求出B B点的坐标点的坐标; ;(3)(3)在在(2)(2)的条件下的条件下, ,对于经过对于经过A,BA,B两点的二次函两点的二次函数数, ,写出顶点坐标写出顶点坐标, ,画出草图画出草图, ,并指出并指出,

16、,当当x x取何值取何值时时,y,y的值随的值随x x的的增大而减小增大而减小. .2122mmxxy2222mmxxy-1-11xyoyxX=1o-4-1.4.4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道其高度为道其高度为6m,6m,宽度宽度OMOM为为12m,12m,现以现以O O为原点为原点,OM,OM所所在直线为在直线为x x轴建立平面直角坐标系轴建立平面直角坐标系, ,如图如图: :(1)(1)直接写出点直接写出点M M及抛物线顶点及抛物线顶点P P的坐标的坐标; ;(2)(2)求出这条抛物线的关系式求出这条抛物线的关系式; ;(3)(3)施工队

17、计划在隧道口搭建一个矩形施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架脚手架”CDAB,CDAB,使使A,DA,D点在抛物线上点在抛物线上,B,C,B,C点在地面点在地面0M0M上上, ,为为了筹备材料了筹备材料, ,需要求出需要求出“脚手架脚手架”三根木杆三根木杆AB,AD,DCAB,AD,DC的长度之和的的长度之和的最大值是多少最大值是多少, ,请你帮请你帮施工队算一下施工队算一下. .OAPxyBCD.5.5.已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点A(0,5)A(0,5)和和点点B(3,2).B(3,2).(1)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式; ;(2)(

18、2)现有一半径为现有一半径为1,1,圆心圆心P P在抛物线上运动在抛物线上运动的动圆的动圆, ,问当问当PP在运动过程中在运动过程中, ,是否存在是否存在PP与坐标轴相切的情况与坐标轴相切的情况? ?若存在若存在, ,请求出请求出圆心圆心P P的坐标的坐标; ;若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由; ;(3)(3)若若QQ的半径为的半径为r,r,点点Q Q在抛物线上在抛物线上, ,当当QQ与两坐标轴都相切时与两坐标轴都相切时, ,求半径求半径r r的值的值. .求符合下列条件的二次函数的解析式求符合下列条件的二次函数的解析式: :.自学课本第自学课本第26页的页的“探究探究2”.ANDC

19、BxyM(5).(5).如图是抛物线拱桥如图是抛物线拱桥, ,已知当水位在已知当水位在ABAB位置位置时时, ,水面宽水面宽 m,m,水位上升水位上升3m3m时就达到警戒线时就达到警戒线CD,CD,这时水面宽这时水面宽 m,m,若洪水到来时若洪水到来时, ,水位以水位以每小时每小时0.25m0.25m速度上升速度上升, ,求水位过警戒线后几求水位过警戒线后几小时淹没到拱桥顶小时淹没到拱桥顶? ?6434O.3.如图如图:(单位单位m）等腰直角三角形）等腰直角三角形ABC以以2米米/秒的速度沿直线秒的速度沿直线l向正方形移动，直到向正方形移动，直到AB与与CD重合重合.设设x秒时，三角形与正方形

20、重秒时，三角形与正方形重 叠部分叠部分面积为面积为ym2.(1)写出写出y与与x的关系式的关系式. (2)当当x=2, 3.5时时,y分分别是多少别是多少? (3)当重叠部分的面积是正方形当重叠部分的面积是正方形面积一半时面积一半时,三角形移动了多长时间三角形移动了多长时间?(1)y=2x21010l(2)8, 24.5(3)秒秒.练习：在矩形荒地练习：在矩形荒地ABCD中，中，AB=a，BC=b,（ab 0），今在四边上分别选取），今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，建一个花园，如何设计，可使花园面积最大？如何设计，可使花园面积最大？DCABGHFEab b.1.1.已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2-x+m-x+m(1)m(1)m为何值时为何值时, ,抛物线的顶点在抛物线的顶点在x x轴的上方轴的上方; ;(2)(2)若抛物线与若抛物线与y y轴交于点轴交于点A,A,作作ABAB平行于平行于x x轴交抛物线于另一点轴交抛物线于另一点B,B,当当SSAOBAOB=4=4时时, ,求抛求抛物线的解析式物线的解析式. .2.2.一条抛物线一条抛物线 经过点经过点(0, )(0, )与与(4, )(4, )(1)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式, ,并求出顶点坐