等腰三角形性质定理-(提高)-知识讲解

1、精选优质文档-倾情为你奉上等腰三角形性质定理（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B

2、、C是底角2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形 (2)BC (3)BDCD，AD为底边上的中线.(4)ADBADC90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有

3、三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A180°2B，BC .（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心

4、，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是.【高清课堂： 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BCa,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.

5、在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.ABC就是所求作的等腰三角形. 【典型例题】类型一、等腰三角形中的分类讨论【高清课堂： 等腰三角形的性质及判定：例2（1）】1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( ) A60° B120° C60°或150° D60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答(1)顶角为锐角如图，按题意顶角的度数为60°； (2)顶角为直角，

6、一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意； (3)顶角为钝角如图，则顶角度数为120°，故此题应选D【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形举一反三：【高清课堂： 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边【答案】 解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长13337； (2)3为底边长时，则两个腰长的和13310，则一腰长 这样得两组：3，3，7 5，5，3 而由构成三角

7、形的条件：两边之和大于第三边可知：337，故不能组成三角形，应舍去 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5【变式2】等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是 【答案】50°或80°解：若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°100°=80°，则其底角为：（180°80°）÷2=50°；若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：5

8、0°或80°故答案为：50°或80°类型二、等腰三角形的操作题2、（2016顺义一模）我们把过三角形的一个顶点，且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段” 例如：如右图，RtABC，取AB边的中点D，线段CD就是ABC的等腰线段（1） 请分别画出下列三角形的等腰线段； （2） 例如，在EFG中，G=2F，若EFG有等腰线段，请直接写出F的度数的取值范围【思路点拨】（1）利用三角形的等腰线段的定义画图；（2）分类讨论等腰线段，从而求得F的度数.【答案与解析】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设F=x，则G=2x，如图2，线

9、段EM是等腰线段，EMG是等腰三角形，EM=EG，ME=MF，F=MEF=x，EMG=G=2x，2x90°，x45°；如图3，GN为等腰线段，NF=NG，GN=GE，F=NGF=x，E=ENG，EGN=x，ENG=2x，E=2x，x+2x+2x=180°，x=36°，F的度数的取值范围为0°x45°【总结升华】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图也考查了等腰三角形的性质举一反三

10、：【变式】直角三角形纸片ABC中，ACB90°，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，探究：如果折叠后的CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中的B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形【答案】解：若CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.设B为度 145°，2A90°当BDBE时 3 ，45°90°180°，30° . 经计算EDEB不成立.当DEDB时3180°245°90°180°

11、2180°，45°.综上所述，B30°或45°.类型三、等腰三角形性质的综合应用3、如图，在ABC中，AD是BC 边上的中线,E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F.求证：AFEF.【思路点拨】根据点D是BC的中点，延长AD到点H，得到ADCHDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE=EF【答案与解析】证明：延长AD到H使DHAD，连接BH.AD是BC边上的中线，BDCD在ADC和HDB中，ADCHDB，1H，BHACBEAC，BEBH，3H，13又23，12，AFEF【总结升华

12、】证明不在同一个三角形的两条线段相等，而它们所在的三角形不全等，可以利用辅助线将它们转移到同一个三角形中，然后通过等腰三角形来证明.举一反三：【变式】如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AEEF求证：ACBF【答案】 证明：延长AD至点G，使DGAD，连接BG.ABCDEFG 4、如图，ACBC，ACB90°，A的平分线AD交BC于点D，过点B作BEAD于点E.求证：BEAD.【答案与解析】 证明：如图，延长BE、AC交于点F.12，AEAE，AEBAEF90°，AEBAEF（ASA）.BEFEBF.390°F2，BCAC,BCFACD（A

13、SA）BFAD，BEAD.【总结升华】在几何解题的过程中，当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散的条件相对集中，以利于问题的解决举一反三：【变式】如图1，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BFAC，垂足为F，BAC=45°，原题设其它条件不变求证：AEFBCF【答案】证明：（1）AB=AC，D是BC的中点，BAE=EAC，在ABE和ACE中，ABEACE（SAS），BE=CE；（2）BAC=45°，BFAF，ABF为等腰直角三角形，AF=BF，AB=AC，点D是BC的中点，ADBC，EAF+C=90°，BFAC，CBF+C=90°，EAF=CBF，在AEF和BCF中，AEFBCF（ASA）5、如图，ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE 求证：AEBC【思路点拨】根据等边三角形性质推出BC=AC，CD=CE，ABC=BCA=ECD=60°，求出BCD=ACE，根据SAS证ACEBCD，推出EAC=