1965年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1、1965年普通高等学校招生全国统一考试数学1如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为底面边长为，故底面积 棱锥的高故正六棱锥的体积2在A处的甲船测得乙船在北偏西的B处，以速度22里/小时向正北方向行驶，甲船立即从A处出发，以速度26里/小时向北偏西度的方向沿直线驶去追赶乙船，问是多大角度时，经过一段时间甲船能够在某C处恰好与乙船相遇？（lg2.2=0.3424,lg2.6=0.4150) C 北 B 西 A 解：设经过x小时后，甲船在C处追上以船，则BC=22x（里）AC=26x（里）由正弦定理 3把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都

2、是度，它们的经度相差度，求A、B两地之间的球面距离解：A、B两地之间的球面距离为过A、B所作之大圆的圆弧AB的长，设其长为L，且设过A、B作平面O1ABNS（极轴），此平面与球面交成圆O1设其半径为r，由已知，AO1B=设C、D分别为赤道平面上与点A、B同经度之两点，则由已知，AOC=BOD=在过A、B的大圆上有 N O1 B A O D C S 由此可知，只需求出即可在圆O1中，线段AB=又在过A、C的大圆中，因OO1A=900，OAO1=，所以代入上式，可得线段AB=在AOB中，线段AB=于是可得=所以由此可得A、B两地之间的球面距离为此处之角度以度为单位4（1）证明（x为任意值）（2）已

3、知n为任意正整数，用数学归纳法证明（x为任意值）证：（1）（2）当n=1时，结论显然成立假设当n=k时结论成立，即当n=k+1时，故当n为任意正整数时，结论均成立5已知一点P的坐标是（4，-2），直线L的方程是y-x+5=0，曲线C的方程是，求经过P点而与L垂直的直线和曲线C的交点的坐标，并画出此题的略图解：曲线C是椭圆，中心在（-1，1），其长轴平行于y轴，短轴平行于x轴（如图） Y B y-x-5=0 C A X O P(4,-2) L L1 设直线L1过点P（4，-2）且垂直于直线L与曲线C相交于点A、BL1的方程为y+2=-(x-4)即y=-x+2.欲求L1与曲线C的交点，解方程组故直

4、线L1与曲线C的交点为6当P是什么实数时，方程与方程有一公共根？解：设是它们的公共根，则由（1），（2）消去，得整理后，得到代入（3），得故当p=-2时，方程与方程有一公共根37已知抛物线Y P1 Q1 M2 P3 M1 X O Q2 M3 P2 （1）在抛物线上任取二点P1（x1，y1），P2（x2 ,y2），经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3，证明P1P2P3的面积为（2）经过线段P1P3、P2P3的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q1、Q2，试将P1P3Q1与P2P3Q2的面积和用y1,y2表示出来（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如

5、此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积解：（1）P1的坐标为（x1，y1），P2的坐标为（x2 ,y2），P1P2的中点为点P3的横坐标纵坐标P1P2P3的面积=的绝对值（2）P1的坐标为（x1，y1），P3的坐标为，P1P3的中点为，点Q1的横坐标纵坐标同理，点Q2的横坐标纵坐标P1P3Q1的面积+P2P3Q2的面积=的绝对值+的绝对值（3）线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积S=SP1P2P3+（SP1Q2P3+SP3Q2P2）+8附加题（1）已知为实数，证明均为正整数的充要条件是（2）已知方程的三根都是实数，证明是一个三角形的三边的充要条件是证明：（1）条件的必要性是显然的，因为已知所以立即可得，下面证明条件的充分性：设是三次方程的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有此即由此即可知三次方程的系数正负相间，所以此方程无负根，即方程根均非负;又由可知，方程无零根，故（2）由（1）的证明可知，均为正数的充要条件是于是问题转化为证明为三角形三条边的充要条件为条件的必要性：若为三角形的三边，则由三角形的性质必有于是由此可得即.