132秦九韶算法导学案

1、§32算法案例 秦九韶算法班级：姓名：学习旦标1. 了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。2. 理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。重点难点重点：理解秦九韶算法的思想。难点：用循环结构表示算法的步骤。一 2_堂法指易评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法一 aa 1 一问题知识探究(一):秦九韶算法的基本思想 思考1:对于多项式了 (x) = 2x5 - 5x4 - 4x

2、3 + 3x2-6x + 7 ,求/'(5)的值若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法 运算和多少次加法运算？一次加法运思考2:在上述问题中，若先计算尸的值，然后依次计算 x2 ?x,(X2 ? X)? X ,(x2 ? X)? X)? X的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？算需要的时间要长得多，因此第二种算法能更快的得到结果。思考3:利用后一种算法求多项式 /(x)=anx" + a nxnx H aYx + ao的值，这个多项式应写成哪种形式？ao由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？第一步，计算

3、V ； =anx + an_x.第二步，第三步，小结：第二种做法和第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而 能提 高运算效率。而且对于计算机来说，做一次乘法运算所需的时间比做思考4:对于/(.r) = anx" +- atx + aQ=(? ? ? (a + an_ ).r + ait_2 )x - a ).r +第"步，计算 v, = v,_X +思考 2:该算法的程序框图如何表示？aQ5: n/（x） = anxn + H axx + aQ 的值的方法称为秦九韶算法，利用该算 法 求 /' （互）的值，一共需要多少次乘法 运算，多少次加法运算？思考6：在秦九韶

4、算法中，记 VQ=an那么第 R 步的算式是什么？知识探究（二） ： 秦九韶算法的程序设计思考 3： 该程序框图对应的程序如何表 述？思考 1：用秦九韶算法求多项式的值， 可以用什么逻辑结构来构造算法？其 算 法步骤如何设计？ 第一步，第二步，理论迁移例 1已知一个 5 次多项式为第三步，543/（x） = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2尸 + x +10第四步，用秦九韶算法求 5）的值 .第五步 ,例2阅读下列程序，说明它解决的实 际问题是什么？INPUT “x=； an=0y=0WHLE n<5y=y+(n+l)*a Ann=n+lWENDPRINT yEND.目标检测1、利

5、甬秦九韶算法求多项式7x3 +3 必一5X + 11 在 x = 23 的值时，在运算中下列哪个值用不到（）A. 164 B. 3767C.86652 D.851692、利用秦九韶算法计算多项式/（ %=3x 6 + 4/ + W + 6x3 + 7r2 + 8x + 1当x=4的值的时候，需要做乘法和加法 的次数分别为（）A. 6, 6 B. 5, 6C. 5, 5 D. 6, 53、利用秦九韶算法求多项式3x6 + 12x5 + 8x4 - 3.5x3 + 7.2x2 + 5x -13在x = 6的值，写出详细步骤。4、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果s表示（）A

6、.。0 +。 + ° 2 +。3 的值C. ao + (2Xo + ?3xo 的值D,以上都不对5、已知n次多项式P, （x） = aox" + o,x"' H an_Ax + an如果在一种算法中，计算Xo* （k=2, 3,4,，n）的值需要k 1次乘法，（1）计算乙（玉）的值需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算43 °）的值需要多少次运算？B.气+° 2工0 + aoxl的值(2)若米取秦九韶算法：片 3) = % , R+i 3) = xPk (x) + ak+i(k=0, 1,2,n 1),计算 P3(xo)的值只需6

7、次运算，那么计算43。)的值共需要多少次运算？若采取秦九韶算法，设ai=i+l, i=0,1,，n,求P5 (2)(写出采取 秦九韶算 法的计算过程)资料：秦九韶的生平秦九韶(1202? 1261年)，字道古，南宋普州 安 岳(今四川省安岳县)人。秦九韶的突岀数学成就表现为四个方面：(1) "大衍求一术"。即为一次同余式组解法。西方解决同类问 题 的理论是高斯于 1801年建立的，比秦九 韶晚 了 554年。他还把这种理论用于解决商 功、利 息、粟米、建筑等问题。(2) 线性方程组解法。他在数书九章中解决了许多相当于线性方程组的问题，其中数字相当大，计算也很复杂。他在“均货推本”题草中，井然有序地写岀厂解题过程，这种解法与高斯消元法本质相当，但比高斯早约600年。(3) 高次方程数值解法。他集秦汉以来“开方术”之大成，运用贾宪 的“增乘开方法”，解决于数字高次方程有理 数根和无理数根的近似值计算问题。他所设计的演算程序被称为“秦九韶方法”。西方同类问题的探究始于 19世纪，他比意大 利的鲁菲 尼、英国的霍纳要早五、六百年。三斜求积”。他在数书九章中，依据分别为12、14、15的三边求岀了相应的三角形面积，其方法具 有一般性。