2017年春中考数学总复习第二轮中考题型专题专题复习七函数与几何图形综合探究题试题

1、专题复习专题复习( (七七) ) 函数与几何图形综合探究题函数与几何图形综合探究题 1 1(2016黄冈)如图，抛物线 y12x232x2 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上一个动点设点 P 的坐标为(m，0)，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q. (1)求点 A，点 B，点 C 的坐标； (2)求直线 BD 的解析式； (3)当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 M，试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行四边形； (4)在点 P 的运动过程中，是否存在点 Q，使BDQ 是以

2、BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)当 x0 时，y2， C(0，2) 当 y0 时，12x232x20，解得 x14，x21. B(4，0)，A(1，0) (2)点 D 与点 C 关于 x 轴对称，D(0，2) 设直线 BD 的解析式为 ykxb. 4kb0，b2.k12，b2.y12x2. (3)CDQM，要使四边形 CQMD 是平行四边形，则 CDQM. CD4，Q(m，12m232m2)，M(m，12m2) QM12m232m2212m12m2m4. 12m2m44，解得 m10，m22. P 点在 OB 上运动，0m4.m2. (4

3、)当QBD90时，即QBDB， 设BQ所在直线的解析式为y2xb， 将B(4，0)代入，得b8，y2x8. 点Q是直线QB与抛物线的交点， 12x232x22x8，解得x13，x24. B(4，0)，Q1(3，2) 当QDB90，即QDDB， 设QD所在直线的解析式为y2xb， 将D(0，2)代入，得b2， y2x2. 点Q是直线QD与抛物线的交点， 12x232x22x2，解得x18，x21. Q2(8，18)，Q3(1，0) 2 2(2016十堰)如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax21 经过点 A(4，3)，顶点为 B.点 P 为抛物线上的一个动点，l 是经过点(0，2

4、)且垂直于 y 轴的直线，过点 P 作 PHl，垂足为点 H，连接 PO. (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点 B 的坐标； (2)当点 P 运动到点 A 处时，计算：PO5，PH5，由此发现 POPH(填“”“”或“”)； 当点 P 在抛物线上运动时，猜想 PO 与 PH 有什么数量关系，并证明你的猜想； (3)如图 2，设点 C(1，2)，问是否存在点 P，使得以点 P，O，H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由 图 1 图 2 解：(1)抛物线 yax21 经过点 A(4，3)， 342a1.解得 a14. 抛物线的解析式为 y14x21，顶点

5、B 的坐标是(0，1) (2)猜想 POPH. 证明：当点 P 移动到抛物线与 x 轴，y 轴的交点位置时，有 POPH2，POPH1，显然 POPH 成立； 当点 P 在抛物线上的 x 轴上方时，如图 3. 设 P(b，b241)，根据坐标的意义及勾股定理，得 POb2（b241）2（b241）2b241， PH2|b241|2(b241)b241， POPH. 当点 P 在抛物线上的 x 轴下方时，如图 1. 设 P(b，b241)，根据坐标的意义及勾股定理，得 POb2（b241）2（b241）2b241， PH|b241|2(b241)2b241， POPH. 综上所述，当 P 点在抛

6、物线上运动时，总有 POPH. 图 3 图 4 (3)存在P1(1，34)，P2(1，34)如图 4，根据坐标的意义和勾股定理，可以求得 BC （01）2（12）21910， AC （14）2（23）29110， AB （04）2（13）2161642. ABC 是等腰三角形 由(2)知道 POPH，POH 也是等腰三角形，且 POPHb241， 假设存在点 P(b，b241)，使得以点 P，O，H 为顶点的三角形与ABC 相似，求出 P 点的坐标即可由题意知 H(b，2)， OH b222b24. 要使等腰OHP 与等腰ABC 相似，就需要PHCBHOBA. PHb241，BC10，OHb2

7、4，AB42， b24110b2442.两边平方得（b241）210b2432. 整理，得 b43b240，(b24)(b21)0. b240，b210.解得 b1 或1. 点 P1(1，34)，P2(1，34) 3 3(2016东营)在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是(0，4)、(1，0)，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90，得到平行四边形ABOC. (1)若抛物线过点C、A、A，求此抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点M的坐标； (3)若P为抛物线上的一动

8、点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标 解：(1)ABOC绕点O顺时针旋转 90，得到ABOC，点A的坐标是(0，4)， 点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(1，4) 抛物线过点C，A，A，设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)，得 abc0，c4，16a4bc0，解得a1，b3，c4. 抛物线的解析式为yx23x4. (2)连接AA，设直线AA的解析式为ykxd， 可得：0d4，4kd0，解得k1，d4. 直线AA的解析式是yx4. 设M(x，x23x4)， SAMA124x23x4(x4)2x

9、28x2(x2)28， 0 x4，x2 时，AMA的面积最大，最大值为 8，M(2，6) (3)设P点的坐标为(x，x23x4)，当P、N、B、Q构成平行四边形时， 当BQ为边时，PNBQ且PNBQ， BQ4，x23x44. 当x23x44 时，x10，x23，即P1(0，4)，P2(3，4)； 当x23x44 时，x33412，x43412，即P3(3412，4)，P4(3412，4) 当BQ为对角线时，PBx轴，即P1(0，4)，P2(3，4)； 当这个平行四边形为矩形时，即P1(0，4)，P2(3，4)时，N1(0，0)，N2(3，0) 综上所述，当P1(0，4)，P2(3，4)，P3(

10、3412，4)，P4(3412，4)时，P、N、B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N1(0，0)，N2(3，0) 4 4 (2016岳阳)如图 1， 直线 y43x4 交 x 轴于点 A， 交 y 轴于点 C.过 A、 C 两点的抛物线 F1交 x 轴于另一点 B(1，0 ) (1)求抛物线 F1所表示的二次函数的表达式； (2)若点 M 是抛物线 F1位于第二象限图象上的一点，设四边形 MAOC 和BOC 的面积分别为 S四边形 MAOC和 SBOC，记 SS四边形 MAOCSBOC，求 S 最大时点 M 的坐标及 S 的最大值； (3)如图 2， 将抛物线 F1沿 y 轴翻折

11、并“复制”得到抛物线 F2， 点 A、 B 与(2)中所求的点 M 的对应点分别为 A、 B、M，过点 M作 MEx 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，在 x 轴上是否存在点 P，使得以 A、D、P 为顶点的三角形与ABC 相似；若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 解：(1)直线 y43x4 交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 C(0，4) 设抛物线 F1的表达式为 yax2bxc，由题意得 9a3bc0，abc0，c4，解得a43，b83，c4. 抛物线 F1的表达式为 y43x283x4. (2)如图 3，过点 M 作 MQx 轴交 AC 于点 Q，设点 M(x

12、，43x283x4)，则点 Q(x，43x4) MQ(43x283x4)(43x4)43x24x43(x32)23. SAMCSAMQSQMC12MQ32(x32)292. S四边形 MAOCSAMCSAOC2(x32)29212432(x32)2212. SS四边形 MAOCSBOC2(x32)221212412(x32)2172. 3x0，当 x32时，S 最大，S最大172，此时，点 M 坐标为(32，5) 图 3 图 4 (3)存在理由如下： 由翻折得：M(32，5)，A(3，0)，B(1，0) 易得直线 AC 的解析式为 y43x4， 则点 D(32，2) 由勾股定理得 AC5，AD

13、52. 由对称性可得：CABDAP. 设点 P(m，0)，易知点 P 在点 A的左侧，则 PA3m. 若PAABADAC，即3m2525，解得 m2 时， APDABC，此时，点 P(2，0)； 若PAACADAB，即3m5522，解得 m134时，ADPABC，此时，点 P(134，0) 综上所述，存在点 P1(2，0)或点 P2(134，0)，使得以 A、D、P 为顶点的三角形与ABC 相似 5 5(2016青岛)已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6 cm，BC8 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O.点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；同时，点 Q

14、 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接 PO 并延长，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFAC，交 BD 于点 F.设运动时间为t(s)(0t6)，解答下列问题： (1)当 t 为何值时，AOP 是等腰三角形？ (2)设五边形 OECQF 的面积为 S(cm2)，试确定 S 与 t 的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 S五边形 OECQFSACD916？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OD 平分COP？若存在，求出 t 的值；若不存在，请

15、说明理由 解：(1)四边形 ABCD 是矩形，ABC90. 在RtABC 中，AB6，BC8，AC 628210. AOBOCODO5. 根据题意，得 APDQ1tt. AOP 是等腰三角形，有以下三种可能： 当 APOP 时，过点 P 作 PGAO 于 G， AG12AO52，AGPADC90. 又PAGCAD，PAGCAD. PAACAGAD，即t10528.解得 t258； 当 APAO 时，t5； 当 AOPO 时，点 P 与点 D 重合，此时 t86，不合题意，舍去 故当 t258或 5 时，AOP 是等腰三角形 (2)QFAC，DFQDOC. SDFQSDOC(DQDC)2，即SD

16、FQSDOCt236. SCOD14S矩形 ABCD146812. SDFQt23612t23，S四边形 FOCQ12t23. ADBC，PAOECO，APOCEO. 又AOCO，APOCEO，CEAPt. 过点 O 作 OHBC 于 H，OH12CD1263. SCEO12t332t. SS四边形 FOCQSCEO12t2332tt2332t12. (3)存在SACD12ADCD128624. 当 S五边形 OECQFSACD916 时， t233t21224916， 整理，得2t29t90，解得 t13，t232. 故当 t3 或32时，S五边形 OECQFSACD916. (4)存在过点

17、 D 作 DMPE 于点 M，DNAC 于点 N. PODCOD，DMDN245. ONOM OD2DN252（245）275. OPDM3PD，OP3PDDM3（8t）245558t. PM(558t)7518558t. 在RtPDM 中，根据勾股定理，得 PD2PM2DM2， 即(8t)2(18558t)2(245)2， 解得 t162439(不合题意，舍去)，t211239. 当 t11239时，OD 平分COP. 6 6(2016威海)如图，抛物线 yax2bxc 经过点 A(2，0)，点 B(4，0)，点 D(2，4)，与 y 轴交于点 C，作直线 BC，连接 AC，CD. (1)求

18、抛物线的函数表达式； (2)E 是抛物线上的点，求满足ECDACO 的点 E 的坐标； (3)点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点若以点 C，M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 备用图 解：(1)抛物线 yax2bxc 经过点 A(2，0)，点 B(4，0)，点 D(2，4)， 设抛物线的函数表达式为 ya(x2)(x4) 8a4，解得 a12. 抛物线的函数表达式为 y12(x2)(x4)，即 y12x2x4. (2)分两种情况 情况一：若点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记作 E1.连接 CE1，过点 E1作 E

19、1F1CD，垂足为 F1. 由(1)知，OC4. ACOE1CF1，tanACOtanE1CF1，即AOCOE1F1CF12412. 设线段 E1F1h，则 CF12h， 点 E1的坐标为(2h，h4) 将 E1(2h，h4)代入 y12x2x4， 解得 h10(舍去)，h212. 点 E1的坐标为(1，92) 情况二：若点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记作 E2.连接 CE2，过点 E2作 E2F2CD，垂足为 F2.设 E2F2f，则 CF22f. 点 E2的坐标为(2f，4f) 将 E2(2f，4f)代入 y12x2x4， 解得 f10(舍去)，f232. 点 E2的坐标为(3，5

20、2) 综上所述，点 E 的坐标为(1，92)或(3，52) 图 1 图 2 (3)可能存在两种情况 情况一：CM 为菱形的边长如图 1，在第一象限内抛物线上取点 P1，过点 P1作 P1N1y 轴，交 BC 于点 N1，过点 P1作 P1M1BC，交 y 轴于点 M1，则四边形 CM1P1N1为平行四边形若四边形 CM1P1N1是菱形，则 P1M1P1N1. 过点 P1作 P1Q1y 轴，垂足为 Q1. OCOB，BOC90， OCB45.P1M1C45. 设点 P1的坐标为(m，12m2m4)， 在RtP1M1Q1中，P1Q1m，P1M1 2m. 直线 BC 经过点 B(4，0)，点 C(0

21、，4)，可求直线 BC 的函数表达式为 yx4. P1N1y 轴，点 N1的坐标为(m，m4) P1N112m2m4(m4)12m22m. 2m12m22m，解得 m10(舍去)，m242 2. 此时菱形 CM1P1N1的边长为 2(422)424. 情况二：CM 为菱形的对角线如图 2，在第一象限内抛物线上取点 P2，过点 P2作 P2M2BC，交 y 轴于点 M2，连接 CP2，过点 M2作 M2N2CP2， 交 BC 于点 N2， 则四边形 CP2M2N2为平行四边形 连接 P2N2交 CM2于点 Q2.若四边形 CP2M2N2是菱形，则 P2Q2CM2，P2CQ2N2CQ2. OCB4

22、5， N2CQ245.P2CQ245. CP2Q2P2CQ245.P2Q2CQ2. 设点 P2的坐标为(n，12n2n4)， CQ2n，OQ2n4. n412n2n4，解得 n1n20. 此情况不存在 综上所述，菱形的边长为 424. 7 7(2016聊城)如图，已知抛物线 yax2bxc 经过点 A(3，0)，B(9，0)和 C(0，4)，CD 垂直于 y 轴，交抛物线于点 D，DE 垂直于 x 轴，垂足为 E，l 是抛物线的对称轴，点 F 是抛物线的顶点 (1)求出该二次函数的表达式以及点 D 的坐标； (2)若RtAOC 沿 x 轴向右平移到其直角边 OC 与对称轴 l 重合， 再沿对称

23、轴 l 向上平移到点 C 与点 F 重合， 得到RtA1O1F，求此时RtA1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分的图形的面积； (3)若RtAOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度(0t6)得到RtA2O2C2，RtA2O2C2与RtODE 重叠部分的图形面积记为 S.求 S 与 t 之间的函数表达式，并写出自变量 t 的取值范围 解：(1)抛物线 yax2bxc 经过点 A(3，0)，B(9，0)和 C(0，4) 设抛物线的解析式为 ya(x3)(x9) 点 C(0，4)在抛物线上，427a. a427. 抛物线的解析式为 y427(x3)(x9)427x289x4. CD 垂直于 x 轴

24、，C(0，4) 427x289x44. x6. 点 D 的坐标为(6，4) (2)如图 1 所示，点 F 是抛物线 y427x289x4 的顶点， F(3，163)，FH43. GHA1O1，GHA1O1FHFO1. GH3434.解得 GH1. RtA1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分的图形的面积为 S 四边形 GA1O1H， S重叠部分SA1O1FSFGH 12A1O1O1F12GHFH 123412143 163. 图 1 图 2 图 3 (3)当 0t3 时，如图 2 所示 C2O2DE，O2GDEOO2OE.O2G4t6.O2G23t. SSOO2G12OO2O2G12t23t13

25、t2. 当 3t6 时，如图 3 所示 C2HOC，DC2CDC2HOC.6t6C2H4. C2H23(6t) 设直线 OD 为 ykx，D(6，4)y23x. 设直线 AC 为 yk2xb， 将 A(3，0)，C(0，4)代入可得 3k2b0，b4，解得k243，b4.y43x4. 直线 A2C2是直线 AC 向右平移了 t 个单位长度， 直线 A2C2为 y43(xt)4. 由题意知 G 为直线 OD 与 A2C2的交点， 联立y23x，y43（xt）4，解得x2t6，y43t4. 即 G(2t6，43t4) 过点 G 作 GMC2O2， 则 GM6t. SS 四边形 A2O2HGSA2O

26、2C2SC2GH 12OAOC12C2HGM 12341223(6t)(6t) 13t24t6. 当 0t3 时，S13t2； 当 3t6 时，S13t24t6. 8 8(2016德州)已知，m、n 是一元二次方程 x24x30 的两个实数根，且| |m | |n .抛物线 yx2bxc 的图象经过点 A(m，0)，B(0，n)，如图所示 (1)求这个抛物线的解析式； (2)设(1)中抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C、D 的坐标，并判断BCD 的形状； (3)点 P 是直线 BC 上的一个动点(点 P 不与点 B 和点 C 重合)，过点 P 作 x 轴的垂线

27、，交抛物线于点 M，点 Q 在直线BC 上，距离点 P 为2个单位长度，设点 P 的横坐标为 t，PMQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式 解：(1)解方程 x24x30，得 x11，x23. m、n 是方程 x24x30 的两根，且|m|n|， m1，n3. 把点 A(1，0)，B(0，3)代入 yx2bxc， 得1bc0，c3，解得b2，c3. 这个抛物线的解析式为 yx22x3. (2)令 y0，则 x22x30，解得 x11，x23. 点 C 的坐标为(3，0) 又yx22x3(x1)24， 顶点 D 的坐标为(1，4) 过点 D 作 DEy 轴于点 E， OBOC3，

28、BEDE1. BOC 和BED 都是等腰直角三角形 OBCDBE45. CBD90.BCD 是直角三角形 (3)由点 B 的坐标为(0，3)，点 C 的坐标为(3，0)， 得直线 BC 的解析式为 yx3. 点 P的横坐标为 t，PMx 轴， 点 M 的横坐标为 t. 又点 P 在直线 BC 上，点 M 在抛物线上， 点 P 的坐标为(t，t3)，点 M 的坐标为(t，t22t3) 过点 Q 作 QFPM 于点 F，则PQF 为等腰直角三角形 PQ2，QF1. 讨论：如图 1，当点 P 在 M 上方时，即 0t3 时， PMt3(t22t3)t23t， S12PMQF12(t23t)12t23

29、2t. 图 1 图 2 如图 2，当点 P 在点 M 下方时，t3 时， PMt22t3(t3)t23t， S12PMQF12(t23t)12t232t. 9 9(2016临沂)如图，在平面直角坐标系中，直线 y2x10 与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两点点 C 的坐标是(8，4)，连接 AC，BC. (1)求过 O，A，C 三点的抛物线的解析式，并判断ABC 的形状； (2)动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1个单位长度的速度向点 C 运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设

30、运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PAQA? (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使以 A，B，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)令 y0，则2x100，x5，A(5，0) 把 x0 代入 y2x10，得 y 10，B(0，10) 设过 O，A，C 三点的抛物线的解析式为 yax2bxc，可得 c0，25a5bc0，64a8bc4，解得a16，b56，c0. 抛物线的解析式为 y16x256x. ABC 是直角三角形，理由如下： B(0，10)，A(5，0)， OA5，OB10.AB2125，AB5 5. C(8，4)，A(5

31、，0)，AC225，AC5. B(0，10)，C(8，4)，BC2100，BC10. AC2BC2AB2. ABC 是直角三角形，且C90. (2)PAQA，PA2(2t)252，QA2(10t)252， (2t)252(10t)252. 解得 t10(舍去)或 t103. 故当运动时间为103秒时，PAQA. (3)存在 抛物线 y16x256x 过 O，A 两点，则对称轴是 x52，设 M 的坐标为(52，m) 当 AMBM 时，M 是 AB 的垂直平分线与抛物线对称轴的交点， 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E，与 AB 交于点 F， 由题意可知 EFy 轴，E 是 OA 的中点， F

32、 是 AB 的中点 AB 的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是 F，此时不能形成三角形 当 ABBM 时，(52)2(10m)2AB2125，解得 m1205192，m2205192， M1(52，205192)，M2(52，205192) 当 ABAM 时，(552)2m2AB2125，解得 m35192，m45192， M3(52，5192)，M4(52，5192) 综上所述， 存在符合要求的点 M 共有 4 个， 分别是 M1(52，205192)， M2(52，205192)， M3(52，5192)， M4(52， 5192) 1010(2016武汉)抛物线 yax2c 与 x 轴

33、交于 A、B 两点，顶点为 C，点 P 在抛物线上，且位于 x 轴下方 (1)如图 1，若 P(1，3)、B(4，0) 求该抛物线的解析式； 若 D 是抛物线上一点，满足DPOPOB，求点 D 的坐标； (2)如图 2，已知直线 PA、PB 与 y 轴分别交于 E、F 两点当点 P 运动时，OEOFOC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由 图 1 图 2 解：(1)将 P(1，3)，B(4，0)代入，得 3ac，016ac，解得a15，c165， 抛物线的解析式为 y15x2165. 有两种可能， .当点 D 在 P 点左侧时，DPOPOB， PDOB，点 P 与点 D 关于 y

34、 轴对称，那么此时点 D 的坐标为(1，3)； .当点 D 在点 P 的右侧时，延长 PD 交 x 轴于点 Q， DPOPOB， QOQP. 设 Q(m，0)，OQQPm. 过 P 作 PFx 轴于 F， P(1，3)，PF3，FQm1. 32(m1)2m2，解得 m5.Q(5，0) 又 P(1，3)，直线 PQ 的解析式为 y34x154. 联立直线与抛物线的解析式，得y15x2165，y34x154， 解得 x1114，x21(与 P 点重合，舍去) 点 D 的坐标为(114，2716)， 综上所述，点 D 的坐标为(1，3)或(114，2716) (2)是定值，不妨设 B(b，0)，则

35、A(b，0)， ab2c0，b2ca. 设 P(x0，y0)，y0ax20c，过点 P 作 PHAB 于 H，APHAEO， OEHPOAAH，即OEy0bx0b.OEby0 x0b. 同理可得：BHPBOF，HBBOPHOF，即bx0by0OF.解得 OFby0bx0. OEOFby0(1bx01bx0)2b2y0b2x202（ca）y0cay0ca2c. 又 C(0，c)，OCc.OEOFOC2cc2. 1111(2016常德)如图，已知抛物线与 x 轴交于 A(1，0)，B(4，0)，与 y 轴交于 C(0，2) (1)求抛物线的解析式； (2)H 是 C 关于 x 轴的对称点，P 是抛物线上的一点，当PBH 与AOC 相似时，求符