6、7平行四边形、矩形、菱形、正方形

1、第6讲 平行四边形、矩形、菱形、正方形(1)【竞赛导航】1、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定？它们有什么区别与联系？2、解四边形的基本策略：转化思想.(1) 或特殊的问题转化为三角形问题；(2)不规则的图形转化为规则的图形.3、常用辅助线：(1)作平行线，构造平行四边形；(2)作对角线；（3）旋转；（4）轴反射.（5）涉及角度或线段计算时，常常联想到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、勾股定理等知识，并且要结合方程（组）思想。（6）解矩形、正方形的问题时，要善于利用对称性作线段或角的转化，把分散的条件集中.（7）利用旋转构造三角形全等是解决正方形问题的重要技巧.【典例解析】例1、已知

2、：四边形ABCD，从下列条件中； (1)ABCD (2)BCAD (3)AB =CD (4)BC=AD (5) A=C (6) B=D任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（ ）A、4种 B、9种 C、13种 D、15种例2、在中，的垂直平分线交于，交于。在上，且。（1）求证：四边形是平行四边形；FA（2）当的大小满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论。（3）四边形有可能是正方形吗？为什么？例3、如图：在等腰三角形ABC中延长边AB到D，延长CA边到E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE，求BAC的度数。例4、如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在

3、BC、CD上，且BAE=30°，DAF=15°，求AEF的面积.例5、如图；正AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，求B的度数.例6、如图，平行四边形ABCD中，过AC的中点O作EFAC交AD于E，交BC于F，则EF= 【沙场练兵】1如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OAa，OBOCOD1，则a等于（ ）A B C1 D22、如图；正AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则B的度数是（ ）A70° B75° C80° D95° （第1题） （第2题） （第

4、3题） （第4题）3如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连CE、AF，设CE、AF相交于G，则SS等于（）A B C D4、如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F在BC上，EAFDAE，则下列结论中正确的是（ ）AEAFFAB BBC3FC CAFAEFC DAFBCFC5、在边长为1的正方形的各边上，截取，连接构成四边形. 用的代数式表示四边形的面积.ABCDEFOMABCDEFOM6、如图(1),已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M,AM交BD于点F.(1)试问:OE=OF吗?为什么?(2)当点E运动

5、到AC的延长线上时，其他条件不变，OE=OF还成立吗？为什么？(2)(1)【冲刺金牌】1.如图，五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（ ）A48cm B36cm C24cm D18cm2. 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），则第n个图形的周长是（ ）A B C D3. 如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿

6、CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）A.2 B. C. D.6 4. 在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别为现给出下列命题：若，则若则则（ ）A是真命题，是真命题 B是真命题，是假命题C是假命题，是真命题 D是假命题，是假命题ADFCEB5如图，E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点，且SABE3，SECF8，SADF5，则矩形ABCD的面积为_6、如图，P是长方形ABCD内一点，已知PA=3 ，PB=4，PC=5，求的值.第7讲 平行四边形、矩形、菱形、正方形(2)【竞赛导航】本讲旨在进一步灵活应用平行

7、四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，进一步掌握转化思想、方程思想在解四边形中的运用.善用几何变换技巧解决综合问题.【典例解析】例1. 某同学想用5个边长不等的正方形，拼成如图3所示的大正方形，请问该同学的想法能实现吗? 如果能实现，试求这5个正方形的边长；如果不能，请说明理由.例2、如图，四边形ABCD中，BC=DC，对角线AC平分BAD，且AB=21 ，AD=9，BC=DC=10，求AC的长。例3、已知，判定以、为边的四边形的形状。例4、如图：矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分BAD交BC于E，CAE=15°，则BOE= 例5、如图：正方形ABCD中E、F是边AB、BC上两

8、点，且EF=AE+FC，DGEF于G，求证：DG=DA. 例6、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断图1图3图2图6图5图4（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE

9、=ka， CG=kb (ab，k0)，猜想第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？（3）运用第(2)题的猜想结果，在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值【沙场练兵】1. 顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形2. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）A3 B4 C5 D6 A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D3（第4题）（第3题）（第2题图）3. 如图,四

10、边形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACBD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn. 有下列结论：四边形A2B2C2D2是矩形；四边形A4B4C4D4是菱形； 四边形A5B5C5D5的周长；四边形AnBnCnDn的面积是；其中正确的有( )A. B. C. D.4、如图，平行四边形ABCD中, ABD=30°,AB=4，AEBD，CFBD，且E、F恰好是BD的三等分点，又M、N分别是AB，CD的中点，那么四边形MENF的面积是（ ）A3 B C3 D

11、5. 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状是 ；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（0°90°）， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由 （图2）（图3）（图1）【冲刺金牌】1、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120°以D

12、为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为（第3题图）（第1题图）（第2题图）2、如图在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A1处，OA=8，OC=4，则BDO的面积为 ，点A1的坐标为 .3、如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和8，图中阴影部分的面积为_.4、已知，四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别为AD、BC的中点，则线段MN长的取值范围是 ABCDEFGH（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）5、如图，点P在AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、

13、OB于点E、F，若PEF的周长是20cm，则线段MN的长是_6、如图,五边形ABCDE中,°,. 则这个五边形ABCDE的面积是 .7、如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则CDE的面积是 .8、如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H 下列结论：   AEDDFB；  S四边形 BCDG= CG2；若AF=2DF，则BG=6GF 其中正确的结论（ ）A只有  B只有 C只有 &

14、#160; D9、在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(E、F分别在边AB、CD上)，记它们的面积分别为S1和S2，则下列命题：若，则tanEDF=；若DE2=BD·EF，则DF=2AD.其中，正确的命题是 .10、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90°，BEAD于E，四边形ABCD面积为16，求BE的长。11、在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限（1）当BAO=45°时，求点P的坐标;(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由12、已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足是O.   (1) 如图，连结AF