数学建模习题——线性规划

1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示.按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按 50%勺税率纳税.此外还有 以下限制：1)政府及代办机构的证券总共至少要购进 400万元；2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；3)所购证券的平均到期年限不超过5年.证券名称证券不性信用等级到期年限到期税前收益(%)A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5表四问：(1)若该经理有1000万元资金，应如何投资？(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资

2、金，该经 理应如何操作？(3)在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%, 投资应否改变？若证券 C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变？解：设利润函数为M(x)，投资A、B、C D E五种类型的证券资金分别为X1，X2，X3，X4，X5万元，则由题设条件可知0.045x55M (x) 0.043x1 0.027x2 0.025x3 0.022x4-3；XiX22x19x1x2 x3 x4 x5 1000x3 x4 4002x2 x3 x4 5x5 1.4(x1 x2 x3 x415x2 4x3 3x4 2x5 5(x1 x2 x3 x4x5 )x5 )XpXzEXs0利用M

3、ATLA求解最优解，代码如下:c=-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045;A=1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2b=1000;-400;0;0;Aeq=；beq电vlb=0;0;0;0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下:218.18180.0000736, 36360.000043、4545-29. 834即 x1 218.1818,x2 0,x3 736.3636,x4 0,x5 45.4545因止匕，应投资A证券218

4、.1818万元，B证券0万元，C证券736.3636万元，D证券45.4545万元，最大利润为29.8364万元。(2)设借到资金y万元,则由题设条件可知:0.025x3 0.022x40.045x5 0.0275yx5)乂5)M (x) 0.043x1 0.027x2 x1 x2 x3 x4 x5 1000 x2 x3 x4 4002x1 2x2 x3 x4 5x5 1.4(x1 x2 x3 x49x1 15x2 4x3 3x4 2x55(x1 x2 x3 x4x1,x2, 乂3,4,00 y 100利用MATLA求最优解，代码如下c=-0.043 -0.027 -0.025 -0.022

5、-0.045 0.0275;A=1 1 1 1 1 -1;0 -1 -1 -1 0 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6 0;410 -1 -2 -3 0;0 0 0 0 0 1;b=1000;-400;0;0;100;Aeq=;beq=;vlb=0;0;0;0;0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：240, 0000iQ. 000081Q. 0000句O. 000030. 0000100. DOOOfval -30. 0700即 Xi 240, X2 0,X3 810, X4 0,X5 50, y 100所以经理应借出100万元用于投资，应投资 A证券240万元，B 证券0万元，C证券810万元，D证券50万元，最大利润为30.07万 元。(3)在1000万元资金的条件下：(I)若证券A的税前收益增加为4.5%,根据MATLAB!行结果 (运行结果与第(1)问的运行结果相同)可知所投资的各种证券值不 变，所以投资不用改变。(II)若证券C的税前收益减少为4.8%, MATLAB!行结果如下：X =336, 0