随机变量的几种收敛及其相互关系

1、精选优质文档-倾情为你奉上 论 文 专心-专注-专业摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种

2、收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and sta

3、tistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and conve

4、rgence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introducti

5、on of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variable

6、s the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real l

7、ife importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目 录引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。然而其体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性。概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现

8、某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。特别值得一提的是，概率论是今天的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。概率论中的重要概念概率的收敛性，寻找概率收敛中的随机变量序列收敛性的相互性质以及收敛性之间的相互关系，弄清楚它们之间的关系在理论和应用上都是很有意义的。1 几种收敛性定义 定义1.1 (r阶收敛)设对随机变量,及有,其中为常数,如果则称r阶收敛于,并记为. 当是，称均方收敛到。记为.例1.1 设相互独立，且满足，。则，故，即.定义1.2 (几乎处处收敛)

9、如果则称以概率1收敛于,又称必乎处处收敛于X,并记为.例1.2 设，是定义在0,1上博雷尔概率空间=上的随机变量，满足：，。而，若=0,1上理点；，若=0,1上有理点全体。而，若；，若。则易知。；，但，故。定义1.3 （依分布收敛）设随机变量,X的分布函数分别为及。若对的每个连续点x有则称依分布函数收敛于X （弱收敛到）。记为，或者。例1.3 ，的记号同林德伯格-莱维（Lindeberg-Levy）定理，令，则，即，有。定义1.4 （依概率收敛）如果对于任意>0,则称Xn依概率收敛于X，并记为或. 例 1.4 设独立同分布，且，令，则由大数定律可知.2 依概率收敛与依分布收敛的关系随机变

10、量序列依概率收敛和依分布收敛是概率论中两种较重要的收敛形式,弄清楚它们之间的关系是本节要讨论的.本节约定所涉及定义1.3，定义1.4。定理2.1 若随机变量序列依概率收敛于某随机变量,则依分布收敛于X.但定理2.1的逆不成立。证明 设，则=,从而设，则因而有同理可证，对，有所以对，有如果x是的连续点，则令，趋于x，得即.反之不然，例如，若样本空间，定义随机变量如下：，则的分布律为，,1,如果对一切n，令，则显然。但是对于任意的，所以不依概率收敛于。但是在特殊场合有下面结果：对于常数C，则与等价。事实上，若，则， 从而。反之，若，则由定理2.1得。例2.1 设为独立同分布的随机变量,公共的分布列

11、为显然:与X的分布函数相同,故依分布收敛X.但对于任意0<E<1和0<R<12,对一切n,有 可见不依概率收敛于.同此可知,一般说来,并不能从随机变量序列依分布收敛肯定其依概率收敛,但在特殊情形下,它却是成立的,那就是下述定理.定理 2.2 随机变量序列依概率收敛于XC(C为常数)的充要条件是依分布收敛于XC. 那么,在一般情形,能不能适当地增加条件,使随机变量序列依分布收敛能保证其依概率收敛呢?考察一下上述反例知,当极限分布函数不连续时无法保证,但如果极限分布函数连续呢?回答是肯定的,这就是本文的主要结果.定理2.3 设分布函数列弱收敛于连续的分布函数,则存在随机变量

12、序列和随机变量X,它们分别以和为其对应的分布函数列和分布函数,且依概率收敛于X.定理的证明需用到下述引理.取,再取F为0,1)中Borel点集全体,而P取直线上的Lebesgue测度,则构成一概率空间.引理2.1 在上定义, ,则是服从0,1)上均匀分布的随机变量,且对任意,有.证明 显然是上的随机变量.又当时,有;当时,有当时,有,故服从0,1)上均匀分布.对任意实数a,b,若,则若,因,故,于是.总之,有.引理2.2设为一分布函数,对任意,定义,则有(i)对任意和实数b, 当且仅当;(ii)对任意和实数当且仅当.证 (i)必要性.设,由下确界定义知,存在,使.因为单调不减,故.充分性 设,

13、由于单调不减,且在点b处左连续,故存在,使,从而有.(ii)是(i)的直接推论.引理2.3 设为一分布函数,则存在上的随机变量,使的分布函数正好是.证明 在上定义，设, (2.1)由引理2.1知, 是服从0,1)上均匀分布的随机变量.因为单调不减,对任意,定义. (2.2)显然也是单调不减函数,从而是Borel函数.令, , (2.3)则是上的随机变量,且由引理2.2(i)可知.因此, 还是以为分布函数的随机变量.引理2.4 若分布函数列弱收敛于连续的分布函数,则这时收敛关于x是一致的.证明 对应于和是同一概率空间上,类似于引理2.3中的(2.1),(2.2)和(2.3)式,定义函数, 以及随

14、机变量X和,存在性即得证.下证依概率收敛于X.因,对于任意给定的和,存在充分大的M>0,使有.对于取定的M,可选取正整数k和m,使有对于取定的m,存在,使有对于取定的r,由引理2.4, 关于x是一致的,因而存在正整数N,使当时,有 (2.4)对一切成立,从而当时,有=.由的任意性知依概率收敛于X,定理得证.对给定的分布函数,由于可以在不同的概率空间上定义随机变量X ,使X 的分布函数为,故无法讨论X的唯一性.但我们猜测下述结论成立.3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系在一般情况下,不能由几乎处处收敛推出r阶收敛。那么,在何种场合下,以上的r阶收敛与几乎处处收敛中一种收敛性能导致另一种收敛性呢

15、?这就是本文要讨论的问题,本文在一定条件下得到了这两种收敛性的等价关系, 本节约定所涉及定义1.1 ，定义1.2。具体结果表述为如下定理:定理3.1 1)设存在使,且 (3.1)则 (3.2)2)如(3.2)式成立,且几乎处处有界,即存在正数 c ,使得 (3.3)则对任 , (3.4)证明:1)设(3.1)式成立,往证 (3.5)用反证法:若(3.5)式不成立,则必有 (3.6)定义事件 (3.7)其中为给定的数。易见,单调非降,因此 (3.8)于是由概率的连续性和单调性知 (3.9)从而由此得，即， (3.10)上式中令,此与(3.1)式矛盾。这样,我们证明了(3.5)式成立。由数字分析知

16、,收敛级数的一般项趋于零,因此由(3.5)式得出从而有2)由(3.2)、(3.3)式容易推出 (3.11)于是由不等式得,a.s. (3.12)其中 (3.13)因此由Lebegue控制收敛定理知，证毕。由定理3.1 可得到下面的推论:推论3.1 设存在 使,c为常数,且,则;反之,若且几乎处处有界,则。4 依概率收敛与r阶收敛的关系设依概率收敛于，众所周知，此时未必r阶收敛于;如果给附加一些另外条件，则可r阶收敛于，本文证明了几个这样的定理，它们推广了有关文献中的类似定理。设是概率空间.的元素记为.随机变量,常简记成,.,()，有时简记为.引理4.1 (不等式)设,是R.V则，其中注 关于数

17、列的不等式为 ，其中与引理2.3.1中的相同.当然，它可看作是引理4.1的特殊情形。 推论4.1如果，则(此推论使我们在一些情形免除证明)。 引理4.2 设，g(x)为实值连续函数，则.特别地，若，则对r>0,有。引理4.3 (控制收敛定理)若随机变量序列满足(1),是可积随机变量(从而存在);(2) 以概率1(或依概率)收敛于随机变量，则.引理4.4设，g(x)为有界实值连续函数，则 (1) ,(2) 证 由引理4.2,.再由有界控制收敛定理，就有(1)式成立.又由，有.由不等式可知有界，再由有界控制收敛定理，.引理4.5设,，又，则.引理4.6若,，则 (i) ; (ii).证明 只

18、证(i)，令.对自然数K，令，因，故有,当时，就取，则=.于是，引理4.7 若X为R.V且，则对任何实值函数好g(x)都有.下面的定理4.1说明:对有公共界的随机变量序列，依概率收敛与任何r>0阶收敛是等价的。 定理4.1 设对某常数c有，则对任何实数而言，的充要条件是.证明 只须证充分性。取则g(x)为有界实值连续函数，对如此的g及利用引理4.4的(1)就有.由引理4.6及4.7, .从而有 . 再由引理4.6及4.7有.从而，亦即.证毕若受控于，而为次可积，则r阶平均收敛等价于依概率收敛.定理4.2 设其中随机变量满足 (其中r>0为一实数)，则对这个r而言的充要条件是.证明

19、只须证充分性.因为，由引理4.2有.因为,由引理5就有.于是,.又.故.总之: 以概率1成立且可积，还有.所以由控制收敛定理.定义4.1 设是概率空间，是R.V序列，若则称的积分一致可积.若对任给，存在，使得所有满足的事件A，都有，则称的积分一致绝对连续。若 ，即若 ，则称的积分一致有界.若，则称依概率有界. 引理4.8 (i)的积分一致可积的充要条件是的积分一致绝对连续且一致有界。 （ii）若依分布收敛，则依概率有界。 引理4.9 若依概率有界，且 (r>0)的积分一致绝对连续，则一致可积. 证明 对于，由于的积分一致绝对连续，有存在，使当时就有.因为依概率有界，对于上述的有B>

20、0使当>B时就有 .这样一来，当>B时就有 证毕定理 4.3 设对某, 一致可积，则的充要条件是.证明 充分性.由Riesz定理，存在的子列，使以概率1收敛于.由Fatou定理,有,可见可积.由于的积分一致绝对连续及可积,对任给，存在，当且时就有.又因，故存在N，当时.这样一来，当时就总有.这便证明了.由引理4.9及定理4.3，立即得到:若对某, 的积分一致绝对连续，则对这个r而言的充要条件是.这条结论也可由定理4.3的证明看出, 因那里仅用到及的积分的一致绝对连续性。5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系在一般情况下，由随机变量序列几乎处处收敛可推出其依概率收敛 ,进而可

21、推出其依分布收敛,可见判别几乎处处收敛的重要性.给出了它的几个等价命题,同时还证明了独立随机变量和序列几乎处处收敛等价于依概率收敛,亦等价于依分布收敛。若存在集,使当时，有，则称随机变量序列是 a.s.收敛的。定理5.1 a.s.收敛的.证明：必要性 设则存在集当时，有进而有充分性 设是则存在集使当时，有，对任意的，由于是一实值序列，因此，从而对，有即.定理5.2 定理5.3 证明：对因为，所以，于是，推论5.1 ，证明：由及定理5.3可得推论5.2 若对证明： 由定理5.3，即得.定理5.4 设独立，为常数列，则0 定理5.5 设独立，记则定理5.6 设独立，记则总结四种收敛性 随机变量序列

22、的收敛性，（1）当用测度描绘时，可定义几乎必然收敛,依概率收敛；（2）用数学期望描绘时,可定义r阶收敛；（3）用随机变量分布函数的弱收敛描绘时,可定义依分布收敛。四种收敛蕴涵关系随机变量序列从不同角度定义的收敛,它们内部有一定的蕴涵关系。从定义出发，可得出以下的结果：几乎处处收敛r阶收敛依概率收敛依分布收敛注：图中的 表示推出一般情况是不能反推的。上面章节证明出的结果是在给出一定条件的情况下得出新结果：（1）几乎处处收敛与r阶收敛等价一般不能由几乎处处收敛推出r阶收敛，但给出一定的条件可使r阶收敛推出几乎处处收敛，上面第3章已经证明了在一定条件下得出r价收敛与几乎处处收敛等价。（2）几乎处处收

23、敛与依概率收敛等价一般情况几乎处处收敛推出依概率收敛，由（1）得：几乎处处收敛与依概率收敛等价（3）r阶收敛与依概率收敛 一般情况r阶收敛可推出依概率收敛，上面第4章证明出依概率收敛可推出r阶收敛，所有它们等价（4）几乎处处收敛与依分布收敛等价几乎处处收敛间接推出依分布收敛，上面第5章证出它们是等价的。（5）依概率收敛与依分布收敛等价一般依概率收敛推出依分布收敛，由上面第1章和（4）得：它们等价。（6）r阶收敛与依分布收敛等价 由（3）（5）得：它们等价。致 谢首先要感谢我的导师XXX，X老师严谨的治学态度、对我的严格要求将使我终身受益。您严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；您循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.感谢您从本文研究开始一路指导至本文的完成，从论文题目的选定到论文写作的指导，经