三角函数恒等变换练习试题和答案解析详解

1、.WORD.格式.专业资料.整理分享.两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键.知识点回顾1 .两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(aB ) =cosacosB+sinasin3(C a b)cos(a+§ ) =cos acosBsinasin 3(C “+ B)sin(a§ ) =sinacos_§cos_ asin

2、且(S “ b)sin(a+§ ) =sinacosl+cos asin 良(S “+ b)tan a tan3tan(a B ) =(-(T “ - b)'-1 + tana tanB''tan a +tan3tan( "+ 2 = 1 tan 刖 § ")2 .二倍角公式21 = 1 2sin a ;sin 2 a = 2sina cosa ；cos 2 OC = cos2 a sin 2 a = 2cos2 atan 2 a2tan a;z-2-1 tan a3 .在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式

3、的正用、逆用和变形用等.如T“±b可变形为tan a ± tan § = tan( a ±8 )(1 ?tan a tan 8 ),tan a + tan 3 tan a tan 3tanatanS= 1 -lTt-;= -lTt;-1.卜tana + 3tana -34 .函数 f (a )=acos a+ bsina (a,b为常数)，可以化为 f( a ) = ,a2 + b2sin( a + 6 )或 f ( a ) =-a2+ b2cos(a6),其中6可由a, b的值唯一确定.难点正本疑点?#源 三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设

4、条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升哥与降哥”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值 代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.热身训练1. 已知 sin( a + 6 ) = 7, sin( a - 6 ) = - 7,则当的值为35 tan q 2. 函数 f(x)=2sin x(sin x+cos x)的单调增区间为 4冗 43. （2012 ,江苏）设a为锐角，若cos ct十一1=三 则<6） 54

5、.、#sin a + cos a 1 (2012 .江西Wsinacos a =2,则 tan 2 ”等于A.3B.4C.4D.35. (2011 辽宁)设 sin( +0)=；,则 sin 2 0 等于43A.B.1 C.97D.9典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题例11 (1)化简：1 1a "、- tan - a a 2 - 1 + tan a - tan Itan y<2 J(2)求值：2sin 50 ° + sin 10 ° (1 +tan 10 ° ) 42sin 280°.C2的值变式训练1在 ABC中，已知三个内角A

6、 B, C成等差数列，则tan A+ tan C+ J3tan |tan为.题型二 三角函数的给角求值与给值求角问题.WORD.格式.兀, H 1【例2已知0< 3 <-2< e <兀，且cos a - 1 .9, sin1 - - P ''l = Q,求 cos( a + B )的值；231 ._1(2)已知 a , B C (0 ,兀)，且 tan( a - 3)=2，tan §= 7,求 2a § 的值.变式训练2已知cos 口1c、 13 一 c兀一7, cos( a - 3 ) =14，且 0< B < a &l

7、t;万，求 B .题型三三角变换的简单应用一 (，1 O例 3已知 f(x)= 1 +|sin x -2sin x+ | - sin x -< tan x J<4 J 44)若tan a =2,求f(a)的值；.专业资料.整理分享.WORD.格式.,一兀%八(2)右xC |衣，工,求f(x)的取值范围., 冗、f Ji )变式训瞬 3 已知函数 f(x)=3sin| + 2sin 2 J -12kxe R).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合.利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12 分)(2011 北京)已知函数 f(x)=4cos x

8、 sin x + i 1. <6J(1)求f(x)的最小正周期；冗 JT(2)求f (x)在区间 U , 上的最大值和最小值.6 4总结方法与技巧1 .巧用公式变形:和差角公式变形：tan x±tan y=tan( x%) - (1?tan xtan y)；倍角公式变形：降哥公式cos2 a =1 + cos 2 a配方变形：1 + sin a = 'sin土cos J' 1 + cos a = 2cos=, 1 cos a = 2sin =. 222.222 .利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.由丫=2$所a + bcos a =Ja2+ b2sin( a

9、+6)(其中tan 6=b)有a2+ b2刁 y|. a3 .重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.4 .已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化.5 .熟悉三角公式的整体结构

10、，灵活变换.本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要 掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.失误与防范1 .运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运 用，要注意“ 1”的各种变通.2b2 .在（0,兀）范围内，sin（ a + B）=孑所对应的角 a+B不是唯一的.3 .在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.过手训练（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）3 71. (2012 山东)若 0 C |一,一 , sin

11、 2 e=T",则 sin 0 等于 _4 28A.53D.44B.52. 已知 tan( a + 3)=1， tan 1 P - i'= 7，那么 tan c(+土等于5 I 4，4<4 J13 A.1813 B. 223C. 221D. 6兀兀J-3. 当2-& xw 万时，函数 f (x) = sin x+q3cos x 的A.最大值是1,最小值是一 1一 二 1B.最大值是1,最小值是一2C.最大值是2,最小彳1是2D.最大值是2,最小彳1是1、填空题（每小题5分，共15分）.专业资料.整理分享.4.已知锐角 a满足cos 2a = COS兀Ct4,则

12、sin 2 a5.已知cos j -i= S0 0,- I,则14 Jcos 2 aSin 了 + a6.设xC 0,- 则函数C2J2sin 2x+ 1，-y=的最小值为sin 2 x三、解答题7.(13(2)分）（2012 广东）已知函数f（x） = 2cos cox+,|（其中求3的值;717t65'课后习题（时间：35分钟，满分:、选择题（每小题5分，共20分）(2012 江西)若 tan1+= 4 则tan 04,人sin 22.3.4.3>0, xC R）的最小正周期为16尸17,求COs( a + 3 )的值.57分)1A.51B.41 C.o31D.2（2012 大纲全国）已知a为第二象限角,sina + COS专,则cos 2 a等于 3C.D.已知a , 3都是锐角,若sin乎，sin5,10 10兀A.4B 37tC.D.3兀 4(2011 福建)若a 6Ji0,且 sin2a + cos 2 a =4,tan a的值等于3B.yC. 2二、填空题（每小题5分，共15分）5. cos 275° -Fcos215° + cos 75cos 15的值为6.小tan 12 ° 3kuS2i2° -2 sin 127.B