高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列

1、2016-4-30(2017高考文科数学)讲义一 数列一、高考趋势1、考纲要求(1) . 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).(2) . 了解数列是自变量为正整数的一类函数.(3) .理解等差数列的概念.(4) .掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式.(5) . 了解等差数列与一次函数的关系.(6) .理解等比数列的概念.(7) .掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.(8) .能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.(9) . 了解等比数列与指数函数的关系.2、命题规律数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12分。考察形式一般有两种，第

2、一种是选择题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。并且全国文科卷解答题第一题是数列和三角函数二选一。因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题。21二、基础知识+典型例题1、等差数列的概念与运算(1) .等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.(2) .等差数列的通项公式如果等差数列%的首项.为ai,公差为d,则它的通项公式是an =a1+(n1)d.(nw N*)(3) .等差中项a b如果A =，那么a叫做a与b的等差中项.2(4) .等差数列的前n项和等差数

3、列an的前n项和公式：Sn =nai +nd =2101101 (ne n*)22(5) .等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，anan-i=d(常数)(n>2) 第二种是利用等差中项，即2an= an+1 + an-1 (n>2.) ,*"背诵知识点一：(1)等差数列的通项公式：an = a1 +(n -1)d (ne N *)(2)等差中项：a,b,c构成等差数列，则 a+c = 2b(3)等差数列的前 n项和：Sn =na1 +n(n-1)d = n(a1 +an) (nN*)22（6）.对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出ai, d

4、.如果再给出第三个条件就可以完成 为，a1，d, n, &的知三求二”问题.这体现了用方程的思想解决问题.考点一：等差数列通项公式及前 n项和公式例1、（15全国卷一）已知an是公差为1的等差数列，&为a。的前n项和，若S8=4S4,则 a。=()A、172B、192C、10D、12例2、 （15安徽卷）已知数列an中,1a1 =1 , a。=a。+( n 之2 ),则数列a。的2前9项和等于2、等差数列的性质(1)通项推广：an= am+(nm)d, ( nw N *) (d 为数列an的公差).(2)若 m+n=p+q(m, n, p, qC N*),则 am+an= ap

5、+aq.特别地：ai + an= a?+an-1= a3+an-2=.(3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m+n = 2p,则am+an=2a>cai + anaz+an-1a3 + an-2(4) Sn=2 n =2 n =2 n= .(5)等差数列的单调性 等差数列公差为d,若d>0,则数列递增.若d<0,则数列递减. 若d=0,则数列为常数列.背诵知识点二：(1)等差中项的性质：若 m+n = p+q(m, n, p, qCN*),则 am+an=ap+aq.(2)等差中项的性质：若m+n = 2p,则am+an=2ap.(3)等差数列的性质：an -am

6、 =(n-m)d考点二：等差数列中项的性质例3、（15全国卷二）设&是等差数列4的前n项和，若a1+as+a5 =3，则& =（）A. 5B. 7C. 9D. 11例4、（15陕西卷）中位数为 1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项为.3、等比数列的概念与运算(1) .等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示.(2) .等比数列的通项公式设等比数列an的首项为ai,公比为q,则它的通项an = aqn，.(nw N * )(3) .等比中项若G2

7、= ab =0 ,那么G叫做a与b的等比中项.(4) .等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(qwQ)其前n项和为Sn,当 q=i 时，$=nai； (n= N *)当qwi时，Sn =ai(1 -qn)i -qi -q(5) .在涉及等比数列前 n项和公式时要注意对公式 q是否等于i的判断和讨论.(6) .等比数列的判定方法:定义法：若aT =q(q为非零常数)或优=q(q为非零常数且n>2)则an是等比数歹L 中项公式法：若数列an中anWO且a2+i = an an+2(nC N ),则数列an是等比数列.背诵知识点三:(1)等比数列的通项公式：an =a1qn(nw N琳

8、)(2)等比中项：a,b,c构成等比数列，则a c = b2(3)等比数列的前 n项和： 当q=1时，Sn=na1；(nN*)当q.时，钎虫区二亘3 (nwN*)1 -q 1-q考点三：等比数列定义与前n项和公式 例5、(15全国卷一) 数列 匕/中a1 =2自4=2an,Sn为an的前n项和，若Sn =126,贝 U n =.例6、(12全国卷) 等比数列an的前n项和为Sn,若S3+3S2 =0,则公比q=例7、（13全国卷一）设首项为1,公比为错误！未找到引用源。的等比数列an的前n项和为Sn,则 （）A. Sn=2an-1B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an例

9、8、（12全国卷） 数列a#满足an+（1）nan=2n1,则aj的前60项和为（）A.3690B.3660C.1845D.18304、等比数列的性质(1)通项公式的推广：an=amqm", (n, mCN*).*(2)右an为等比数列，且 k+i=m+n, (k, l, m, nCN )，则 ak ai = am &(3)若an, bn(项数相同)是等比数列：则入n( 0) " a2, an bn,端仍是等比数列.(4)等比数列的单调性.ai>0ai<0 1 或1 q>10Vq<1u an为递增数列;ai>0ai<0或0<

10、q<1q>1u an为递减数列;q=1U an为非零常数列; q<0。an为摆动数列. an-= qn m(m, nC N ) am背诵知识点四:(1)等比中项的性质：若 m + n= p+ q(m, n, p, q N ),则 ak -al = am -an2(2)等比中项的性质：右m+n= 2p,则am an = ap(3)等比数列的性质：an-= qn m(m, nC N ) am考点四：等比数列中项的性质例9、(14全国卷二) 等差数列小的公差是2,若a2,0 ,a成等比数列，则4的前n项和 Sn =()n(n 1)n(n -1)A. n(n -1)B. n(n -1

11、)C.D.221例10、(15全国卷一)已知等比数列an满足& =一，a3a5 =4(a4-1),则a2 =()411A.2B.1C1D.-28例11、（15浙江卷） 已知an是等差数列，公差 d不为零.若a2, a3, a7成等比数列，且2ai + a2=1,贝U a =, d =.例12、（15广东卷） 若三个正数a, b, c成等比数列，其中 a= 5+276, c=5 2/6, 贝 U b =.5、数列的通项(1) .数列的通项公式：若数列an的第n项an与项数n之间的关系可以用一个式子表示出来，记作an = f (n),称作该数列的通项公式.(2) .等差数列的通项公式：an

12、 =a1 +(n-1)d =am + (n-m)d .(3) .等比数列的通项公式：an =a1qn=amqnjm(4) .等差数列性质： an =am +(n-m)d ；* 右 m, n, p, q = N 且m +n = p +q ,贝U am +an = ap + aq;(5) .等比数列性质：n -m an =amq ; *右 m,n,p,qu N 且 m+n = p+ q,则 aman = apaq(6) .等差数列的判定：定义法；等差中项法(7) .等比数列的判定：定义法；等比中项法(8) .数列通项公式求法 累加法：对于可转化为 an+ =an+f(n)形式数列的通项公式问题 累

13、乘法：对于可转化为 an书=an f (n)形式数列的通项公式问题 构造法：对于化为 an/ = pan + f(n)(其中p是常数)型的通项公式问题§ (n = 1),Sn (n父2) 利用前n项和Sn与第n项an关系求通项公式问题对递推公式为 &与an的关系式(或Sn = f(an),利用an = 进行求解.注意an = Sn - Sn成立的条件是n >2,求an时不要漏掉n =1即an =&的情况,当ai = Si适合an = & -&二时，an = Sn&；当ai=Si不适合an = &&二时，用分段 函数表示背诵

14、知识点五：(1) 数列通项公式求法： 累加法：对于可车专化为an+=an + f (n)形式数列的通项公式问题累乘法：对于可车专化为an+=an f(n)形式数列的通项公式问题 构造法：对于化为an+ = pan +f(n)(其中p是常数)型的通项公式问题 利用前n项和Sn与第n项an关系求通项公式问题考点五：求数列的通项公式、累加法例13、已知数列an满足2口书=an+2n+1, a1 =1,求数列an的通项公式。、累乘法例14、已知数列an满足，an+=2%口，a1 =1 ,求数列an的通项公式。、构造法例15、已知数列an中,ai =1,an书=2an +3,求数列Qn的通项公式、利用前

15、n项和Sn与第n项an关系求通项公式问题例16、已知数列an的前n项和sn = n2 -1 ,求an的通项公式。6、数列的求和(1) .数列an的前 n项和为 Sn =a +a2 +| + an.(2) .等差数列为的前 n 和公式：Sn=nai+n(nd = n(ai+an). 22na1,q=1na1,q=1(3) .等比差数列an的前 n 和公式：Sn = "a1 (1 -qn)=<a1-anq-,q=1,1 -q1 -q(4) .倒序相加法：适用于求首项与尾项有关系的前n项和(5) .分组转化法：适用于求等差数列+ (一)等比数列数列的前n项和(6) .错位相减法：适用

16、于求等差数列x ( + )等比数列数列的前n项和(7) 裂项相消法：适用于求通项为的数列的前n项和,anan+1常见的拆项公式:11111 11=-=:(二一7);n(n 1) n n 1 n(n k) k n n+ kf= dn +1 -7n = F_1 i = (x/nTk- Vn).Tn + Jn+1Vn+Vn + kk1(2n-1) (2n 1)12n 1背诵知识点六：(1) 数列前n项和求法：倒序相加法：适用于求首项与尾项有关系的前n项和 分组转化法：适用于求等差数列+ (-)等比数列数列的前n项和 错位相减法：适用于求等差数列x ( 一 )等比数列数列的前n项和一，一， 、一.，、

17、一 一， 1 一一 裂项相消法：适用于求通项为的数列的前n项和，anan+1考点六：求数列的前n项和、倒序相加法例17、已知等差数列的通项公式为an =ai +(n1)d (nw N*),求数列的前n项和、分组转化法111例18、求数列的刖n项和：1十1, 一十4,2十7,一n；j +3n 2 , a aan、错位相减法 例19、(14全国卷一)已知an是递增的等差数列， a2, a4是方程x2-5x + 6 = 0的根。求GJ的通项公式；(II)求数列|却的前n项和.、裂项相消法例20、（15江苏卷）设数列an满足ai=1,且 +1一 an= n+1（nC N *）,则数列j前10an项的和为.1 一 例21、（14全国卷一） 数列an满足为书=,a8=2,则a1 =1 - an例22、( 13全国卷一)已知等差数列