高等代数(下)期终考精彩试题及问题详解(C卷)

1、实用标准高等代数(下)期末考试试卷(C卷)一.选择题(每空2分，共12分)1 .( D )下列集合哪一个是 R n的子空间(A) ( ai,0,.，0, an)| aan R, a 二 an (B)( ai , a2，,an ) | a- Z, i = 1,n n(C)( ai , a2，,an ) ai =1 a R i J n(D)( ai , a?，an ) ai =0, a R i -12. ( B )令之二(X1, X2, X3)是R3的任意向量.下列哪一个映射。是R3的线性变换(A)仃(口 )=之+口 ,其中a ¥0是R3的固定向量(B)二()=(2 X1 - X2 +

2、X3, X2X3 , - X3)(C):()=(X1 , x2, X3 )(D) 1 )=(X1 1 ,X2,0)3. (C)如果M , V2是线性空间V的两个子空间，且dim(V1)= 3, dim (V2) = 2 ,dim(V1?V2)1，那么 dimM + VQ 为(A) 2(B) 3(C) 4(D) 524. (C )若4阶方阵A的初等因子为(l + 3) ,+3,2.则A的不变因子是2(A) 1, (+3), (+2), (l +3);2(B) 1,1,( +3) (+ 2) , (l+ 2)(l+ 3);2(C) 1, 1, (+3), (l + 2)(l + 3);2(D) 1

3、,1,( +2), (l + 2)(l + 3);5. ( B )设矩阵A的全部不同特征值为 ,%,.,九s,则下列哪一说法与 A可对角化不等价(A) A有n个线性无关的特征向量；(B) R(E-A)=ni(i =1,2,.s)(其中 n为"的重数)；(C) 九的特征子空间V?的维数dim (V» =%的重数(i=1,2,.,s)；(D) A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积；6. (D)在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为（A） 10；（B） 4;（C） 9;（D） 6;.填空题（每空2分，共 18分）1、已知a是数域P上的一个固定的数，

4、而 W=（a,x2,|,xn） xi w P, i = 2,|,n 是pn书的一个子空间，则 a =, dim （ W） =.2 .设。”是P2的两个线性变换，定义如下二（x,y）=（2x y, 0）,.（x,y）=（y, x y） （"x, y P）则tct（x ,y ）=.100'3 .已知九EA的标准形为0 九 0 ，则A的特征多项式、0 0 九（九2），, 2 _一一 一一 .EE 一 A =九（九-2）, A的最小多项式为 的特征向量.y=13 '1、4 .设A =，则向量 是A的属于特征值<22,200 )20 0、5 .若A= 001 与B=0y0

5、相似，则x©1xj<00-b6 .设三阶实对称矩阵 A的特征值 = % = 1, %=3,则R（3E - A） =。3 .判断题（对的打“,错的打" X"，每小题2分，共10分）1 .对于矩阵的加法和数乘，V0 = B B'=B, BWRn殉是Rn圻的子空间（）2 .任一实对称矩阵 A都与对角阵A既相似又合同（）3 .设仃是数域P上线性空间V的线性变换，W是一维仃-子空间，那么W中任何 一个非零向量都是 。属于特征值 人的特征向量.（）4 .在欧几里得空间 V中，保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换仃 必为正交变换.（）5 . A（九）与B（九）等

6、价当且仅当它们有相同的行列式因子.（）4 .计算题（共3小题，33分）22 .1 .设3, e2和h1, h2是线性空间R的两组基，仃是R的线性变换，已知s(ei,e2)= (ei- 2e2, 2ei + e2), (hi, h2)= (e + e2, 2e1 + 3金)(1)求o在基e, e2下的矩阵A; (2)求基e , e2到基h1, h2的过渡矩阵X ；(3)求。在hi, h2下的矩阵。.(7分)2.设%,0(2,%是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为1-1 2 '-1 2-112 一1 6,(1)令 y =% +«2，求 ? ；(2)若P =«1

7、+仪2 +k%与个正交，求k的值.(10分)2223.设一次型 f (x1, x2,x3 ) = 2x1 +2x2 +2x3 -2x1x2 -2x1x3 -2x2x3,(1)写出二次型所确定的矩阵；(2)用正交线性替换将二次型化为标准形；(3)求二次型的秩；(4)判断二次型的正定性.(16分)五.证明题(每题9分，共27分)1 .设V1与V2分别是齐次方程组 x1 + x2 +. + xn = 0,*=x2 = . = xn/=xn的解空间，证明：Pn=V1$V2.2 .证明：若A是实对称矩阵，则Rn中分别属于A的不同特征值九,N的特征向量«,?必正交3 .设V是一个n维欧氏空间，。

8、是V的一个对称变换，证明：值域仃(V)是核。(0)的 正交补.答案幻灯片1高等代数(下)期末考试C卷解答二、选择题(2X 6=12分)1、 ( D )下列集合哪一个是 Rn的子空间(A) ( ai,0,.，0, an)| ai,an - R,ai 二 an(B) ( ai ,a2 ，,an ) | ai 三 Z, i = 1,，nn(C) ( ai , a?，an ) | ' ai = 1 a - Ri An(D) ( ai ,a2,，an)|< ai =0, ai - Ri i文档大全幻灯片2一、选择题(2X 6=12分)2、( B )令C=(Xi,X2,X3樨R3的任意向量，

9、 3 下列哪一个映射是 R的线性变换。(A)仃代)=+ot ,其中a#0是R3的固定向量 (B)二(. ) = (2 Xi -X2 + X3, X2X3,X3)(C)二(. ) =( Xi , X2, X3 )(D)二(')=(Xi 1 ,X2, 0)3、 ( C )如果 V,V2是线性空间V的两个子空间，且 dim(M)= 3,dim M)= 2,dim N ? V2) 1, 则 dim(V + V2)为(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5幻灯片3一、选择题(2X 6=12分)2 .4、 ( C )若4阶方阵A的初等因子为(1 + 3),1 + 3,1 + 2则A的不变因子是2(

10、A) 1,1 +2,1 +3,(1 + 3)2(B) 1,1,(1 + 2)(1 + 3),(1 + 2)(1 + 3)2(C) 1,1,(1 + 3),(1 + 2)(1 + 3)2(D) 1,1,(1 + 2),(1 + 2)(1 + 3)幻灯片4一、选择题(2X 6=12分)5、 ( B )设矩阵A的全部不同特征值为 九，£2,，黑 则下列哪一说法与A可对角化不等价：(A) A有n个线性无关的特征向量；(B )R(九EA)=n ,(i =1,2,.s),(其中 n 为九的重数)(C ,的特征子空间V)的维数dim(V-=九的重数(i =1,2,., s)(D) A的最小多项式均

11、是数域 P上互素的一次因式的乘积6、 ( D )在实数域 R中，由全体4阶反对称矩阵所构成 的线性空间W的维数为(A) 10;(B) 4;(C) 9;(D) 6;3 2 1幻灯片5二、填空题(每空2分，共18分)1、已知a是数域P上的一个固定的数，而W =(a,x,H|,Xn)|xi wp,i =1|,n是pn+的一个子空间，则 a= 0 , dimW= n2(a,Xi"|,Xn) =(2a,2%|H，2Xn) W=2a = a =, a =0i；i = 0,0,川1,0,l|0i =2,3，,n 1是W的一个基。幻灯片6二、填空题(每空2分，共18分)22、设仃，7是P2的两个线性

12、变换，定义如下：二(x, y) =(-2x y,0), (x, y) =(-3y, x y)-x,y P则.；二(x, y) = (0, -2x y)二(x,y) = .(2x y,0) =(0, -2x y)0 10-2 0或 c (x, y) =(x,y) 102f-2Mx,y). (x, y). 110 1(x,y) =(x, y)一3 1-2 001= (x, y) I' ,104 1= (x, y)-21=0, -2x y幻灯片二、填空题（每空2分，共18分）1003、已知正-A的标准形为0九00 0 九（九一2）,则A的特征多项式是九2（九一2）A的最小多项式是九（九一 2

13、）|：EA=Dn =di d2 dn -n阶复数方阵A的最小多项式 mA （九）正是A的 第n个不变因子dn （九）（P351）幻灯片8二、填空题（每空2分，共18分）1 3、八4、设A =,则向量 是A的属于特征值42J4的特征向量0 0y 0相似，则0 -1 ,25、若 A = 0x = 00 *21 与 B= 0x.)L0N= 1|a| = 2 =|b =2y= y =1tr A =2 x =tr B =1 y- x =0幻灯片9二、填空题(每空2分，共18分)6、设三阶实对称矩阵 A的特征值 九二池=1,九3 =3则 R(3EA)= 2实对称矩阵必可对角化，所以V也即(E _A)X =

14、0解空间的维数为2 ,故 R(E_A)=1乂也即(3E -A X =0解空间的维数为1 ,故 R(3E - A) =2幻灯片10三、判别题（对的打”，”,错的打" X”，2X5=10分）1、对于矩阵的加法和数乘，Vo= B| B' = B, BWRn>n是RnM的子空间（V ）2、任一实对称矩阵A都与一对角阵既相似又合同（ V）3、设仃是数域P上线性空间V的线性变换， W是一维 O子空间，那么 W中任何一个非零向量都是 。的 属于特征值九的特征向量（v）W =L ："二： W= : :- -二 k、"W,"0:-；k -k. kk : k

15、k: -幻灯片114、在欧几里得空间V中，保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换（X ）保持任意两个非零向量的夹角不变的线性变换未必是正交变换。如：令 A ：. 二2二、 二工三V口八 口，、, 一 A ：，A 2: ,2 ： 二,一：显然 线性变换, 且 iT_jjp =_; no=11 ni' A . |Ab：2 I|2b 二 b但 AA 吕： 2-,2二）=4 二二所以A不是正交变换。但有一一 实数域R上欧氏空间V的线性变换A是正交变换o（=V,有 |Aa| = |c（|幻灯片12三、判别题（对的打”,错的打" X”，2X5=10分）5、A（?J与B（冷等价

16、当且仅当它们有相同的行列式因子（V）四、计算题（7+10+16=33分）1、设副，逐和1尸2是线性空间线性变换，已知：s（e,e2）=（0- 2e2, 2e + e2）,R2的两组基，。是R2的(1)(2)(3)求0在基齿，&下的矩阵(%,儿)=佃+ %,20 + 3e2)A ；求由基,后2到基ni尸2的过渡矩阵X ； 求仃在基%, %下的矩阵Bo解:(1)s(ei,e2)= (e- 2e2, 2ei+ e2)=%)本；2?仃在基S1电下的矩阵A = 121-2 1幻灯片131、设荷，逐和“1,1是线性空间 R2的两组基，。是R2的 线性变换，已知：s(e©)= (0- 2弓

17、，2e + %), (%,、)=佃+ %,20 + 电)(1)求仃在基齿,私下的矩阵A ；(2)求由基务，彩到基？产2的过渡矩阵X ;(3)求仃在基？，下的矩阵Bo解：(2)(hi,h2)= (e + e2, 2ei+ 3e2)= (。©)?1 2?期 2?1 3由基S1,电到基“1，2的过渡矩阵X = 9 3?(3)求仃在基)尸2下的矩阵31 ；-1426-9幻灯片14四、计算题（7+10+16=33分）2、设5,0（2,。3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的122 2度量矩阵为:I2 /6）（1）令 / =5 +a2，求 |（2）若P =£1 +口2 +皿3与.?正交，

18、求k的值。1-1 2 ¥l :解：（1）（7尸）=（1 1 0）1 2-1 1，1 ;,=1-1 6大叮（1）之解法二：（N 为=（5 + 5，。1+ a2）二（二1, ）（二1, "） .（二2,二1）1：工2,12 二1-1-1 2=1=J （r飞=1幻灯片15四、计算题(7+10+16=33分) 2、设5,0(2,口3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为:(1)令 Y =5 +0.2 ,求丁正交,求k的值。(2)若 P =£1 +«2 +kot3 与解：(2).”13= 1 1 k 1 22-12-16110幻灯片16四、计算题(7+10+

19、16=33分) 2223、设二次型 f(x,x2,x3)=2x +2x2 +2%2xix22X1X32x2X3 (1)写出二次型所确定的矩阵；(2)用正交线性替换将二次型化为标准形；(3)求二次型的秩；(4)判断二次型的正定性。2/_1、&1、解：(1)二次型 f 俨,x2 ,x3 )=(x,x2 ,x3) -1 2 -1 x2U -12 大x3,2-1 -1 ;所以二次型的矩阵是：A=2-1I一1 2幻灯片17四、计算题(7+10+16=33分) 2223、设二次型 f(x,x2,x3)=2x +2x2 +2%2xix22X1X32x2X3 (1)写出二次型所确定的矩阵；(2)用正交

20、线性替换将二次型化为标准形；(3)求二次型的秩；(4)判断二次型的正定性。Z-211解：(2)p,E -A= 1九21 =，1a3)211九2A的特征值为：儿=0,% =% =3.对九=o,解方程组(0EA)x =。得一基础解系：?1 = 1,1,1幻灯片18四、计算题(7+10+16=33分)2223、设二次型 f(x,x2,x3)=2x +2x2 +2%2xix22X1X32x2X3(1)写出二次型所确定的矩阵；(2)用正交线性替换将二次型化为标准形；(3)求二次型的秩；(4)判断二次型的正定性。解：(2)对儿=71s =3,解方程组(3E A )X =0得一基础解系：.2 = -1,1,

21、0，、工 3 = -1,0,1把0(1单位化，把06,0(3正交规范化，得；一1,1,。，, - -1,-1,2 幻灯片19四、计算题(7+10+16=33分) 2223、设一次型 f(x,4,x3)=2x +2x2 +2x3 -2x1x2 -2x1x3 -2x2Xj (1)写出二次型所确定的矩阵；(2)用正交线性替换将二次型化为标准形；(3)求二次型的秩；(4)判断二次型的正定性。解：(2)令 T - -1 , 1-2 , 1-'3作正交变换：X=TY 22则二次型化为标准形：f xi,x2,x3 =3y2 ,3y3(3)由(2)知二次型的秩为2 ;(4)由(2)知二次型是半正定的。幻灯片20五、证明题(每题9分，共27分)1、设V1与V2分别是齐次方程组Xi +X2 + Xn = 0,和X1 x2 =. = xn工=xn的解空间，证明P V1