高中数学人教A版必修(第二册)第六章-平面向量及其应用知识点

1、精选优质文档-倾情为你奉上第六章 平面向量及其应用1向量的概念与向量的模（1）向量概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量海拔、温度、角度都是数量，不是向量。向量可以平移，与位置无关。（2）向量的几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB、BC，字母表示，用小写字母a、b，表示有向线段的长度为模，表示为AB、a（3）向量的模：AB的大小，也就是AB的长度

2、（或称模），记作AB（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，零向量的长度为0，方向是任意的（5）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是 ±ABAB）（6）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性（7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量如果a，b，c是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则 abc。任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行平行向量没有传递性。相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。（8）

3、相反向量：与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量，记作 - a2向量的加法运算（1）三角形法则：AB+BC=AC特征：首尾相接的几个向量相加，等于从首向量的起点指向末向量的终点的向量。（2）平行四边形法则：ABCD为平行四边形，则AB+AD=AC特征：同起点的两个向量相加，等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量（起点不变）（3）向量的加法性质 a+0=0+a=a；a+（-a）=0； a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c） a+b a+b4向量的减法运算法则： OA-OB=BA特征；同起点的两个向量相减，等于由减向量终点指向被减向量终点的向量.(一个向量等于由第三点指向终

4、点的向量减去由第三点指向起点的向量)5向量数乘和线性运算（1）向量的数乘：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的大小为a a，其方向与的正负有关若a0，当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反当0时，a与a平行对于非零向量a、b，当0时，有aba=b.（2）向量数乘运算法则 1a=a；（1）a= -a；（）a=（a）=（a）；（+）a=a+a； （a+b）a+b向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量，注意 a-a=0。一般地，a+b叫做a，b的一个线性组合（其中，、均为系数）如果l=a+b，则称l可以用a，b线性表示（3） 向量a (a0

5、 )与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使b=a.（4） A、B、C三点共线 ACAB AC=AB .6平面向量数量积（1）向量的夹角：对于两个非零向量a，b如果以O为起点，作OA=a，OB=b，那么射线OA，OB的夹角叫做向量a与向量b的夹角，其中0（2）向量的数量积：如果两个非零向量a，b的夹角为，那么我们把abos叫做a与b的数量积，记做a b 即：ab=abcos规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0a=0注意：ab 表示数量而不表示向量，符号由cos决定； 符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是

6、：0（3）平面向量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为，则： a e =ea =acos； ab ab =0；（判定两向量垂直的充要条件） 当a，b方向相同时，ab =ab；当a，b方向相反时，ab =-ab；特别地：aa=a2或a=aa（用于计算向量的模） cos=ab ab（为锐角 a b>0且abab； 为钝角 a b < 0且ab -ab） a b ab（4）平面向量数量积的运算律交换律：ab =b a；数乘向量的结合律：（a）b=（ab ）=a （b）；分配律：（a+b）c=a c+b c（5） 平面向量数量积的运算性质（a

7、± b）2 =a 2± 2ab +b 2（a-b）（a+b）=a 2-b2 a（bc）（ab）c，（6） 投影：b在a上的投影是一个数量bcos，它可以为正，可以为负，也可以为0（7） 投影向量：a在b上的投影向量等于acose （其中e为与b同向的单位向量）7 平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量a，有且仅有一对实数1、2，使a=1e1+2e2我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底8平面向量的坐标运算（1）平面向量的坐标表示：a=（x，y）表示以原点为起点，以（x，y）为终点的向量（2）平面向量的坐标运算：若A

8、（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2x1，y2y1）若a=（x，y）则 a=x2+y2，a2=a2=x2+y2，a=（x，y）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则：a+b=（x1+x2，y1+y2）；a-b=（x1x2，y1y2）；ab= x1x2+y1y2。平面向量平行的坐标表示：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ba（a0） b=a x1y2x2y10平面向量垂直的坐标表示：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ba ab=0 x1x2+ y1y20向量的夹角公式： cos=ab|a|b|=x1x2+y1y2x12+y12x22+y229向量中一些常

9、用的结论：（1）在中，若，则其重心的坐标为。为重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；（2）向量PA、PB 、PC 三终点A、B、C共线存在实数、使得PA=PB +PC 且+=1.10三角形中的重要结论 在三角形中，大边对大角，中边对中角，小边对小角，等边对等角。 在三角形中，只有最大的角才可能是钝角或直角，当然也可以是锐角，中间的角和最小的角一定为锐角。 三角形内角的正弦值一定大于0，锐角的余弦值大于0，直角的余弦值等于0，钝角的余弦值小于0.11三角形中的诱导公式 12正弦定理和余弦定理三角形常用面积公式定理正弦定理余弦定理内容asinA=bsinB=

10、csinC=2R （ R是ABC外接圆半径）a2b2+c22bccosA，b2a2+c22accosB，c2a2+b22abcosC变形形式 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC； sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R； asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA a：b：csinA：sinB：sinC；ab=sinAsinBasinA=a+bsinA+sinB=a+b+csinA+sinB+sinCcosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他

11、两条边；已知两边和一边对角，求另一边和其他两角 边角互化已知三边，求各角；已知两边和一角，求第三边和其他两角13三角形常用面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA = abc4R= 12（a+b+c）r14 三角形解的个数的判断已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则:A为锐角A为钝角或直角图形关系式b sin Ab sinAb sin Abbbb解的个数无解一解两解一解一解无解平面向量基础知识练习题1、 与a共线的单位向量是_，a的相反向量是_2、 平行向量也叫_3、 AB+BC=_ OA-OB=_ a-a=_4、 |a+b | _ |

12、a | + | b |5、 向量a (a0 )与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使_6、 A、B、C三点共线 ACAB _7、 ab=_ a 2= _ 0a=_8、 a，b方向相同 _ a，b方向相反 _a，b夹角为锐角 _ a，b夹角为直角 _a，b夹角为钝角 _9、 b在a上的投影= _ ， e为与b同向的单位向量，a在b上的投影向量等于_10、 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量a，有且仅有一对实数1、2，使_我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个_11、 平面向量的坐标运算：若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=_若a=（x，y）则 |a|=_ ，a2=_，a=_若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则：a+b=_；a-b=_；ab=_平面向量平行的坐标表示：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ba（a0）_ 平面向量垂直的坐标表示：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 ba _向量的夹角公式： cos=_=_12、 向量PA、PB 、PC 三终点A、B、C共线存在实数、使得PA=PB +PC 且_13、 下列运算错误的是_(1) a+0=0+a=a；a+（-a）=0；(2