5相交线与平行线5

1、，只有“三线”出现第五章相交线与平行线第一节、知识梳理：相交线与平行线一、学习目标1. 理解对顶角、邻补角的概念，掌握其性质，会用其性质进行有关推理和计算；2. 掌握垂线、垂线段、点到直线的距离的概念；3. 掌握“三线八角”的内容二、学习重点与难点学习重点：1.邻补角、对顶角以及点到直线距离的概念；2. 掌握两直线平行的三个判定方法 .学习难点：1.对顶角的性质、垂线性质；2. 灵活运用平行线的判定方法来解题 .三、知识概要1. 要正确理解邻补角、对顶角的含义：（1）判断两个角是否是邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是公共边，另外 两边是互为反向延长线；（2）邻补角是成对的，是具有特殊位

2、置关系的两个互补的角；（3）判断两个角是否是对顶角，看这两个角是不是有公共顶点且有相同的邻补角，只 有符合这两个条件时，才能确定这两个角是对顶角2. 垂线、垂线段和点到直线的距离是三个不同的概念，不要混淆：（1）两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在交角都为直角，垂线是其 中一条直线对另一条直线的称呼；（2）垂线是直线，垂线段是一条线段，是图形.（3）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说成垂线段是距离.3. 两条直线的位置关系，是在两条直线在“同一平面内”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：一是相交（有一个公共点），二是平行（没有公共点）：（1）识别同位角、内错角、

3、同旁内角的关键是要抓住“三线八角” 且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角;（2 ）判定两条直线平行时要正确判断出是什么角，什么关系，由此可以推出哪两条直线 平行.四、知识链接1. 本周相交线、平行线是以前学的直线的位置关系的延伸2. 通过内错角、同位角、同旁内角等角度的比较得到平行线.而由平行线又可得到下周的平行线性质.五、中考视点平行与相交线中的垂直是经常考的内容.一般考其基础知识，以填空选择为主.平行线的性质与平移一、学习目标1. 掌握平行线的性质并会应用.2. 理解命题并会判断.3. 理解平移的定义并会应用平移的特征.二、知识概要1. 平行线的性质性质1:两条平行线被第三条直线所截，

4、同位角相等.简单说成:两直线平行，同位角相等.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成:两直线平行，内错角相等.性质3:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.2. 两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的 距离.对于这个概念，应注意三点：（1）两条直线必须是平行的；（2）第三条直线同时垂直于它们；（3）距离是线段的长度，是个具体的数，而不是线段这个图形3. 关于命题判断一件事情的语句叫做命题 每个命题都是由条件和结论两部分组成的4. 平移的概念在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离

5、，这样的图形运动就称做为平移5. 平移的基本特征平移的基本特征是：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等， 对应线段平行且相等，对应角相等三、重点难点学习重点：1.平行线的性质及其应用2. 平移的特征.学习难点：1.命题的判断.2.平移变换及其性质应用.四、知识链接平行线的性质与判定定理有互逆性，平移变换及性质是研究动态几何的基础内容之一.五、中考视点平行线的知识是每年必考的内容，在填空选择中经常直接考平行线的性质.在解答题中经常与其他知识联系，综合考查 .平移知识也是考的比较多的内容，尤其是在做辅助线时经常用 到第二节、教材解读：理解“三线八角”当两条直线 AB和CD被第三

6、条直线 EF所截（如图），可得到八个角.根据位置特征不同，把/ 1和/5、/ 2和/ 6、/ 4和/8、/ 3和/ 7这样的称作同位角；把/ 4和/ 6、/ 3和/ 5这 样的称作内错角；把/ 4和/5、/ 3和/ 6这样的称作同旁内角.在数学中也常把与同位角、内1. 所谓同位角也就是位置特征相同，如/ 1和/ 5同在“左上” （AB和CD左侧，EF上方）;/ 2和/ 6同在“左下” （AB和CD左侧，EF下方）；/ 4和/ 8同在“右上” （AB和CD右侧，EF上 方）；/ 3和/ 7同在“右下” （AB和CD右侧，EF下方）.2. 所谓内错角是指在两条被截直线之内，在第三条直线左右错开的位

7、置的角，如/4和/ 6在AB和CD之内，而在 EF左右两边错开的角；/ 3和/5在AB和CD之内，而在 EF左右两 边错开的角.3. 所谓同旁内角是指在第三条直线同旁，而在两条被截直线之内的位置的角，如/4和错角、同旁内角相关的问题称作“三线八角”问题/ 5同在EF上边而在 AB和CD之内；/ 3和/ 6同在EF下边而在 AB和CD之内.第三节、错解剖析【例1】填空：从直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离.错解：垂线段.【思考与分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，它是一个数量而不是图形错误的原因是概念不清正解：垂线段的长度.【例2】判断正误：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角.错

8、解：正确.【思考与分析】此题错在没有抓住对顶角概念的实质，出现了扩大概念实质和概念外延的错误，把一些不是对顶角的角看成了对顶角，如下图中/1和/ 2有公共顶点且没有公共边,但它们不是对顶角错误的原因是概念不清说的则是两条直线的位置关系，完全不是一码事，所以，平行线的传递性是不能用”等量代换”来表达的错误的原因是位置关系和数量关系混淆正解：平行于同一条直线的两条直线平行.【例4】判断正误：同一平面内不相交的两条线是平行线.错解：正确【思考与分析】平行线是讲同一平面内两条直线的位置关系不相交的两条射线或线段有可能延长或反向延长后相交错误的原因是没有分清“三线”的区别和联系正解：同一平面内不相交的两

9、条直线是平行线.【例5】判断正误：不相交的两条直线是平行线.错解：正确.【思考与分析】在同一平面内不相交的两条直线是平行线，但在空间里很容易找到不相交的两条直线，而且它们并不平行，错误的原因是思考不周正解：在同一平面内不相交的两条直线是平行线.第四节、思维点拨【例1】已知，如图，直线 AB CD相交于 0, 0E平分/ BODMZ AOE=150，你能求出/ A0C的 度数吗？错解：等量代换.又/ A0E=150 （已知），【思考与分析】上面的回答把相等和平行混为一谈，相等说的是两个量的大小关系，平行正解：如果一个角与另一个角有公共端点且两边分别是这个角的两边的反向延长 线，那么这两个角叫对顶

10、角.【例3】如图，若 AB/ CD CD/ EF,则AB/ EF.理由是什么？【思考与分析】观察图形我们可知，/A0E与/ B0E是邻补角，所以/ B0E的度数可求，又由0E是/ B0D勺角平分线可求得 / B0D=Z B0E而/ A0CWZ B0D是对顶角，故/ A0C可求 解： AB是直线（已知）， / A0E与/ B0E是邻补角（邻补角定义） / A0E+Z B0E=180 （补角定义） / BOE=180 - / AOE=180 150° =30°（等式性质）/ OE平分/ BOD （已知）， / BOD=Z BOE（角平分线定义）即 / BOD=Z 30°

11、;= 60° ./ / AOC与/ BOD是对顶角（由图可知）， / AOC=Z BOD（对顶角相等） / AOC= 60° .反思：在思考过程中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键【例3】已知，如图，直线 AB CD互相垂直，垂足为 O,直线EF过点O,Z DOF= 32°，你能求出/ AOE的度数吗？5【例2】 如图，直线 AB CD相交于点O, OELAB于点O, OF平分/ AOE / 1=15° 30', 则下列结论中不正确的是（）A. / 2=45°B. / 仁/ 3C. / AOD与/ 1互为补角D. / 1的余角等

12、于 75° 30'思考与解：I OEL ABAOE=90/ OF平分/ AOE/ 1与/ 3是对顶角，/ 仁/3. B正确/ AOD与/ 1互为补角 C正确/ 1=15° 30',./ 1 的余角=90° -15 ° 30' =74° 30' D不正确故选 D.【小结】我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与条【思考与分析】我们由 AB丄CD可知/ AOC= 90°，因此，/ AOE与/ EOC互余又因为/ EOC 与/ DOF是对顶角，于是/ EOC=32，于是/ AO

13、E可求解法一：直线 CD与EF交于O（已知）， / EOC2 DOF （对顶角相等） / DOF= 32° （已知）， / EOC=32 （等量代换）TAB CD互相垂直（已知）， / AOC= 90° （垂直定义）/ AOE+Z EOC=90 / AOE=90 - / EOC=90 -32 ° =58 ° 解法二：直线 AB CD互相垂直（已知）， / BOD= 90° （垂直定义）/ BOF+Z DOF=90 Z DOF= 32° （已知），Z BOF=90 - Z DOF=58 直线AB与直线EF交于点O（已知）， Z AOEZ

14、 BOF （对顶角相等） Z AOE= 58件冲突【例反思：第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用对顶角，我们在平【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题【例4】 如图3，直线AB与CD相交于点F, EF丄CD,则/ AFE与/ DFB之间的关系是 题】（1 ）如图 1 ,在厶 ABC 中，Z ABC=90° , Z A=50° , BD/ AC,则 Z CBD 的度数 是° .(2) 已知：如图 2，直线AB/ CD直线EF分别交AB CD于点E、F,Z BEF的平分线与Z D

15、FE的平分线相交于点 P.你能说明Z P=90°吗？【思考与分析】我们由所给的条件 EF丄CD得/ CFE=90，也就是说/ AFE+Z AFC=90 , 又根据对顶角相等， 得Z AFC=Z DFB所以Z AFE+Z DFB=90 .本题也可利用平角的定义来解， 即由 Z AFEZ DF聊 Z EFD=180，又因为Z EFD=90，所以Z AFEZ DFB=90 .解： Z AFE与Z DFB互为余角(或Z AFE+Z DFB=90 ).【小结】这类题目的特点是有条件而无结论，要从所给的条件出发，通过分析、比较、猜想，寻找多种解法和结论，再进行说理证明这类题目具有较强的探索性，思

16、维空间较大且灵活，突破了死记概念的传统模式.【例5】 平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有()对.Z C=75°,Z A=25°，则 ZE的度数为:由题意我们知CBD=180 -50 ° -90 ° =40BD/ AC.所以Z ABD+Z BAC=180 .所以ZA. 4 对 B. 8 对C. 12 对 D. 16 对【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD被直线EF所截”、“直线AB和CD被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所 截”、“直线AB和EF被直线GH所

17、截”、“直线EF和CD被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线 EF所截”、“直线GH和 CD被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中 共有16对，因此选择D.解法二：由题意我们知Z C=90° - Z A=90° -50 ° =40 又因为 BD/ AC.所以Z CBDZ C=40° .(2)因为 AB/ CD.所以根据平行线的性质得：ZBEF+Z EFD=180 .又因为EP FP分别平分Z BEF和Z EFD.思考与解：因为/ 1与/ 3互余，/ 3的余角与/ 2互补, 所以/ 1 + Z 2= 180° .1 42

18、 - 1-(匚3EF 厶 EFD、= XL 一所以/ P=180° - (/ 1 + Z 2) = 180 ° -90 ° =90° .(3) 因为 AB/ CD. 所以/ BFE=/ C=75 .所以/ AFE=180° - / BFE= 180 ° -75 ° =105° .所以/ E=180° - / A- / AFE=180° -25 ° -105 ° =50°反思：我们在做这类题的时候，一定要想是不是这样做最简单，是不是只有这一种解法？ 【例6】如图1，如

19、果/ B=Z仁/ 2= 50°,那么/ D=.【思考与分析】我们通过观察图形，由/B=Z仁/ 2 = 50°可得AB/ DC AD/ BC,再利用其性质同旁内角互补可得/D的度数.解：因为/ B=Z 1，所以AB/ DC所以/ B+Z BCD=180，/ BCD=130 .又因为/ B=Z 2，所以AD/ BC所以Z BCDZ D=180°,Z D=50° .反思：我们解题时用的是同旁内角互补.还可以利用Z D=Z 1 = Z B= 50° .也可以利用Z D=Z 2=Z B= 50° .大家可以试一试.【例7】如图2,直线11、丨2

20、分别与直线丨3、丨4相交，Z 1与Z 3互余，Z 3的余角与Z 2 互补，Z 4= 125°，则Z 3 =.所以 11/ 12.所以Z 3=Z 5= 180°Z 4= 55° .反思：我们难以理解的是为什么Z1 + Z 2 = 180 °?我们可由题意列式Z 1 + Z 3 = 90°,90° Z 3+Z 2= 180° .两个式子相加可得Z 1 + Z 2 = 180° .在解决有关平行问题的时候，有时需要添加必要的辅助线，而添加平行线作为辅助线，更是解 决此类问题好的帮手.下面举几例说明.【例8】如图1所示，直

21、线a/ b，Z ACF= 50°，Z ABE= 28°，求Z A的大小.【思考与分析】要求Z A的大小，关键是确定辅助线的位置.于是我们会想到过点 A作 AD/ b，这样利用平行线的知识即可求解.解：过点 A作 AD/ b，则Z DAC=Z ACF= 50° .又因为a / b，所以AD/ a.所以Z DAB=Z ABE= 28° .所以Z BAC=Z DAC-Z DAB= 50° 28°= 22°，即Z A的大小是 22° .反思：在解题时我们做AD/ b，那么是不是必须要做辅助线呢？我们继续思考：Z A在 AB

22、G中，Z ABE也在 ABG中且等于28°，那么只要求出Z AGB的度数，就可求Z A的度数.【例9】如图2，AB/ CD, EO与FO相交于点 O,试猜想Z AEO Z EOF Z CFO之间的关 系，并说明理由【思考与分析】由于Z BEO Z EOF Z DFO三个角的位置较散，设法通过辅助线使之相 对集中，我们可以考虑AB/ CD可以过点 O作MN/ AB,这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想Z AEO+Z CFO+Z EOF=360 .解：过点O作MN/ AB.因为AB/ CD所以 CD/ MN.所以Z AEOZ EOM=180，Z MOFZ CFO=180 .所以/ A

23、EOy CFO+Z EOF玄 AEO+Z EOMkZ MOFM CFO= 180°+ 180°= 360°【例1】 请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数【例10】如图3，已知AB/ ED反思：我们解这道题是用的两组同旁内角之和其实我们还可以连结 EF，正好把这三个角分成一组同旁内角和一个三角形的三个内角由同旁内角和三角形内角和可得出同样的结论.a =Z A+Z E, B =/ B+Z C+Z D.试探索 B 与 2 a 的数【思考与分析】本题有多种分类，如以两条直线的位置关系分类，再考虑第三条直线的位置；又如以三条直线交点的个数分类等下面我们就第二种分类

24、加以说明 解：（1）如图1,三条直线互相平行，此时交点个数为0;（2） 如图2,三条直线相交于同一点，此时交点个数为1;（3） 如图3,三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3;（4） 如图4,其中两条直线平行，都与第三条直线相交，此时交点个数为2.综上所述，平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个（如果按第一种情况进行分类研究，又该如何呢？请大家思考一下）国1国2【思考与分析】我们由已知条件 AB/ ED可知a =Z A+Z E= 180°,于是只需知道 B = Z B+Z C+Z D的大小即可探索出 B与2 a的数量关系此时可以过点 C作CF/ AB,从而求出B = Z

25、 B+Z C+Z D= 360 °，即有 B = 2 a .解：猜想B = 2 a .理由是：过C作CF/ AB,因为AB / ED所以Z a =Z A+Z E= 180° .又因为AB/ ED,所以 CF/ DE 即（Z B+Z 1） + （Z 2+Z D）= 360° .故3 = 2 a .【小结】这道题的思路与我们做的上题是相同的，也可以连结BD来解.第五节、竞赛数学在竞赛试题中，平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中，单独出题的情况朗3朗耳反思：求解中（2）、（ 3）两种情况称为三条直线两两相交 当题目中图形不全或不确 定时，我们一定要注意分类

26、【例2】（1）请你在平面上画出 6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线 都恰与另3条直线相交，并简单说明画法 （2）能否在平面上画出 7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰 与另3条直线相交，如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由【思考与分析】“6条直线相交且任意 3条都不共点”，要解决这个问题，我们可以首先画出两条相交直线，这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线 对于（2）中所求,很少，但当平行和垂直的性质与实际情况结合时，往往也会被做为新题型来考查可以根据（1）得到的结论先对其进行推理，不要盲目的画图解：（1）在平面上任取一点 A,过A作两直线ml与n1在

27、n1上取两点B、C,在ml上 取两点 D、G.过 B 作 m2/ ml,过 C 作 m3/ ml,过 D 作 n2/ n 1,过 G 作 n3/ nl,这时 m2 m3 n2、n3交得E、F、H I四点，如图所示.由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都 恰与另3条直线相交乩I 股战3（2）在平面上不能画出没有 3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点， 又因没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另 3条直线交得的3个不同的交点根据直线去数这些交点，共有3X 7= 21个交点，但

28、每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这 7条直线交点总数为-因为这与交点个数应为整数矛盾 所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的反思：本题在说明理由时应用了假设法利用假设推导出结果是否与题中条件冲突这与我们以后要学的反证法相类似“直线AB和CD被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所 截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线 EF所截”、“直线GH和 CD被直线EF所截” 每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中 共有16对，因此选择D.【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分

29、成若干个“三线八角”【例4】 有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31名交警，刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤，请你画出公路示意图【思考与解】我们可以把公路想象成直线，岔口想象成交点，由警察的人数及题意可知，10条直线刚好有31个交点根据前面所学知识，平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点， 现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这种情况下，通常采取两种 办法：（1）多条直线共点；（2）出现平行线.根据题意，方法（1）不能实现，所以想到使用 平行线在某一方向上有 5条直线互相平行，则减少 10个交点，若6条直线平行，则可

30、减少 15 个交点， 所以这个方向上最多可取 5条平行线，这时还有 4个点要去掉，换一个方向取 3条平 行线，即可再减少 3个交点，这时还剩下 2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向 上互相平行即可，如图所示：.*j-*'r yr【例3】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）对A. 4对 B. 8 对C. 12 对 D. 16 对【小结】 本题考查我们对知识的综合应用能力，在做题时，要牢牢把握平行线的性质，与图 形结合，从简单的图形推理找出问题的入手点【例5】把正方形ABCD边AD平移得到EF,作出平移后的正方形能有几种作法？【思考与解】我们可将原图

31、分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD被直线EF所截”、描述一个平移变换，必须指出平移的方向和移动的距离.形状，在这种情况B C【思考与分析】据题意，平移是指正方形整体平移，只有一个我们根据以前学过的作图方法和本周学的平移作图，作法有如下几个：作法1 :过E作EF的垂线，截取 EG= EF,过G点作EF的平行线，截取 GH= EF （注意 截取方向），连接FH就得到平移后的正方形.如图（1）.作法2 :过E、F分别作EF的垂线，截取 EG= EF, FH= EF （注意截取方向），连接GH 就得到平移后的正方形如图（1）.作法3:过F作EF的垂线，截取 FH= EF,过H点作EF的平行线，截

32、取 GH= EF （注意 截取方向），连接EG就得到平移后的正方形.如图（1）.作法4: 过E作AC的平行线，过F作BD的平行线，截取 EH=AC FG=BD（注意截取方 向）.连接EG GH HF,就得到平移后的正方形.如图（2）.作法5:连接EA FD,过B点作EA的平行线，过 C作FD的平行线.截取BG=EA CH=FD（注意截取方向）如图（3）.连接EG GH HF,就得到平移后的正方形.E F(1) (2)【例6】电脑游戏上有一种俄罗斯方块的游戏， 游戏规则：在所给各种各样的方块中， 通过平移、 旋转的方式，罗列方块使之排满每一横行，每排满一行，便消去一行，得100分，依次类推（本题

33、特殊规定，只准平移），小方块在屏幕顶端居中出现（奇数列时居中偏左）现在电脑屏幕上 显示（如图所示）（1）若按规定，想得分，甲方块需要怎样平移，才可能直接得分或为以后打下得分基础？乙方块呢？（2）若你把甲方块放到左侧，发现屏幕已暗示出丙方块为下，丙方块只需如何移动，便可得多少分？（注：屏幕上一共有10行10列）【思考与分析】第（1）题观察甲方块与底部方块的特点，我们可得出平移方式第（2）题将丙方块通过平移嵌入空隙之中，即可得分解：（1）甲方块可左移3个单位，下移7个单位放到屏幕左侧；乙方块需向右平移3个单位，下移8个单位，放到屏幕右侧（可用其他平移方式）（2）丙方块下移7个单位，便可排满 2行，

34、得200分【小结】解本题的关键是将各个方块通过平移嵌成一个长方形，需根据方块和现有图形选择合理的平移方式【例7】如图1，已知直线l 1 /I2，直线13和直线丨1、丨2交于点C和D,在C D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问/ PAC / APB / PBD之间的关系是否发生变化若点P在C、【小结】平移变换不改变图形的形状、大小和方向连结对应点的线段平行且相等 要D两点的外侧运动时（P点与点C D不重合），试探索/ PAC / APB / PBD之间的关系又是如何?P作出l i的平行线即可知道【思考与分析】若 P点在C D之间运动时，我们只要过点P点与点C D不重合），则可以分为/

35、APB=Z PAC+Z PBD若点P在C、D两点的外侧运动时（如图2和如图3两种情形，同样分别过点 P作出l i或l 2的平行线，即有/ APB=Z PBD-/ PAC或/ APB=Z PAG- / PBD.解：若P点在C D之间运动时，则有/ APB=Z PAC+Z PBD.理由是：如图1,过点P作 PE/ I i,则/ APE=Z PAC 又因为 l i II l 2,所以 PE/ 12，所以/ BPE=Z PBD 所以/ APE+Z BPE =/ PAC+Z PBD 即/ APB=Z PAC+Z PBD.若点P在C D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合)，则有两种情形：(1)如图2，

36、有结论：/ APB=Z PBD-Z PAC理由是：过点 P作PE/ l i，则/ APE=Z PAC 又 因为 I 11 l 2,所以 PE/ l 2,所以/ BPE=Z PBD 所以/ APB=Z BPE-ZAPE 即/ APB=Z PBD-Z PAC.(2)如图3，有结论：/ APB=Z PAC-Z PBD理由是：过点 P作PE/ I2，则/ BPE=Z PBD 又因为 I i / l 2 ,所以 PE/ I 1,所以/ APE=Z PAC 所以/ APB=Z APE-Z BPE 即/ APB=Z PAC-Z PBD.【小结】我们做这类题的时候可以发现：点的移动带动角的位置变化,角的位置变

37、化决定了角之间的关系.因此我们可以利用分类思想来分析题意，解决多种情况的讨论A.78 °B.90C.88 °D.92A.南偏西40B.北偏西50°第六节、本章训练基础训练题一、选择题（每题 5分，共35分）1. 两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线的关系是（）A. 互相垂直B.互相平行C.相交但不垂直D.不能确定2. 下列说法正确的是（）.A. 相等的角是对顶角B. 两直线平行，同位角相等C. 同旁内角互补D. 两直线平行，同位角互补3. 如图1所示，已知 DE/ BC, CD是/ ACB的平分线，/ B= 72°,/ ACB= 40

38、76;,那么/BDC等于（）.4. 下列说法：两条直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；垂直于同一直线的两直线平行，其中是平行线的性质的是（A. B.和C. D.和5. 船向北偏东50°方向航行到某地后，依原航线返回，船返回时方向应该是（6. 线段AB是由线段CD经过平移得到的，那么线段AC与BD的关系为（）.A.平行 B.相交 C.相等 D.平行且相等7. 如果两个角有一条边在同一条直线上，而另一条边互相平行，那么这两个角的关系是（ ）.A.相等B.互补C.相等或互补D.没有关系二、填空题（每题 5分，共35分）8. a / b, a / c 贝U

39、/，根据.9. 经过平移后的图形与原来图形的 .和.分别相等，图形的 .和.没有发生改变.10. 在同一平面上，如果 AB丄EF, AC丄EF,那么点 C与直线AB的位置关系是 .11. 把厶ABC向右平移4cm得厶ABQ，再把 ABG向下平移 3。口得厶A2B2C2,若把 A2B2C2看成是由厶ABC经一次平移得到的，请量一量，其平移的距离是 .cm.12. 船的航向从正北方向依逆时针方向驶向西南方向，它转了 度.13. 已知梯形 ABCD AD/ BC, BC= 6, AD= 3, AB= 4, CD= 2, AB平移后至U DE处，则CDE的周长是14. 如果 ABC 经过平移后得到DE

40、F,若/A= 41 °, /C=32°,EF= 3cm,则/E=. , BC= cm三、解答题（每题10分，共30分）15. 如图，AC丄AB, / 仁30° , / B= 60° ,（1）你能确定 AD与BC平行吗？（2）能确定 AB平行于CD吗？C.北偏西40D.南偏西50°16. 如图，AD平分/ EAC AD/ BC,你能确定/ B与/ C的数量关系吗A和/D的度数.17. 如图所示，AB/ CD,AD/ BC, / A的2倍与/ C的3倍互补，求/所以Z B=Z C.答案一、1.B2.B3.C4.A5.D6.D7.C二、8. b ,

41、c,平行于同一条直线的两条直线平行9. 对应角、对应边，形状、大小10. 在直线AB上11. 512. 13513. 914. 107 °，3三、15.【思考与分析】通过观察图形并结合题中条件我们可以得到：/ACB=180 - / BAC-/ ABC= 180°- 90°- 60°= 30° .由此可得 AD/ BC.但是由题中条件我们求不出/D或者/ACD因此不能判定 AB与CD是否平行.解：（1）因为/ BAC=90，/ B= 60°，且/ BACbZ B+Z ACB=180 ,所以/ ACB=180 -Z BAC-Z B= 18

42、0° - 90°- 60°= 30° .所以AD/ BC （内错角相等，两直线平行）.（2）不能确定.因为求不出Z D或者Z ACD找不到两直线平行的判定条件，所以AB与CD不一定平行.16. 【解题思路】我们通过观察图形并结合题中条件可知，要想知道ZB与Z C的数量关系，就得利用 AD/ BC从而得到Z B=Z 1, Z C=Z 2.只要Z 1 = Z 2，那么Z B=Z C.而题中给 出了 AD平分Z EAC正好得到Z 1 = Z 2!解：因为AD/ BC,所以Z B=Z 1 （两直线平行，同位角相等）.所以Z C=Z 2 （两直线平行，内错角相等）

43、.又因为AD平分Z EAC所以Z 1 = Z 2.17. 【思考与分析】经过仔细分析我们可知，题目要求ZA和Z D的度数，而条件只给出了 Z A和Z C的关系.因此，分清Z A、Z C和Z D三者之间的关系是解题的关键 .解：因为AB/ CD所以Z A+Z D= 180° .所以Z A= 180°-Z D.因为 AD/ BC,所以Z C+Z D= 180° .所以Z C= 180°-Z D.所以Z A=Z C.再由 2Z A+ 3Z C= 180° 解得Z A=Z C= 36° .所以Z D= 144° .提高训练题一、填空

44、题1. 直线l 1 , 12在同一平面内不相交，则它们的位置关系是2. 若直线1 1/ 1 2， 12/ 13,贝U /，其理由是3. 若直线I 11 2, 条射线与1 1有交点，那么这条射线与1 2的位置关系是二、选择题1. 下列哪种情况，直线1 1和12不一定是平行线（）A. 1 1和12是不相交的两条直线B. 11和12都平行于直线1 3C. 在同一平面内11和I 2没有一个公共点D. 在同一平面内，丨1丄1 3 , | 2丄1 32. 若/ 1与/ 2的关系为内错角，/ 1=40°,则/ 2等于（）A. 40 ° B. 140 °C. 40。或 140&#

45、176;D.不确定3. 下列说法正确的是（）A. 若两个角相等，则这两个角是对顶角B. 若两个角是对顶角，则这两个角是相等C. 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等D. 所有的对顶角相等三、解答题1. 如图，已知三角形 ABC，分别过A，B，C三点作它们的对边 BC, CA AB的平行线3. 如图，AD/BC, AE=BE.(1) 过 E 作 EF/BC 交 CD于 F,过 D作 DG/AB 交 BC于 G;(2) EF和AD平行吗？为什么？C2. 如图，a/b , a与c相交，那么b与c相交吗？为什么?答案一、填空题1. 平行2.11, 13,如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也

46、互相平行3. 相交或不相交二、选择题1. A2.D3.B三、解答题1.解：如下图2. 解：相交，理由如下：假设b与c不相交，那么在这个平面内，b/ c.而题中给出了 a / b，所以a/ c,这与题中a、c相交矛盾，所以b与c相交.3. 解：(1)如下图.(2)平行，理由如下：因为AD/ BC 又因为 EF/ BC,所以EF/ AD.强化训练题1.如图，直线a/b的条件是（ ）A.B.C.D.5.如图所示，AB CD相交于点O, OB平分7 DOEAOC= .答案1.C2.D3.C4.B若7 COE=120，则75.307 1 + 7 2=180°f1 M 'I gv2邀團2

47、.如图，下列条件能推出AB/CD的是（）.A.7 A=7 CB. 7 B=7 DC.7 A+7B=180°D. 7 A+7 D=180°3.如图，下列推导正确的是（).A.因为7仁7 3，所以c/dB.因为7仁7 4，所以a/bC.因为71+7 2=180°,所以c/dD.因为72=7 4，所以 a/bD4. 如图，已知直线 AB CD相交于点 O, OA平分7 EOC 7 EOC=70，则7 BOD勺度数等于（)A.30 °B. 35 °C.20 °D.405.如图4, P为直线 m外一点，点 A B、C在直线 m上，且PB丄m,垂

48、足为B, / APC=90 ,相交线与平行线综合训练题则错误的是（）A.线段PB的长度叫做点P到直线m的距离、选择题（每小题 5分，共30分）1.在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（A. 相交、平行B. 相交、垂直C. 平行、垂直D. 平行、相交、垂直B. PA、PB PC三条线段中，PB最短C. 线段AC的长度等于点P到直线m的距离）D. 线段PA的长度叫做点 A到直线PC的距离6.如果直线a / b, b/ c,那么a/ c,这个推理的依据是（）A. 等量代换B. 平行公理C. 同位角相等，两直线平行D.平行于同一条直线的两条直线互相平行、填空题（每小题 5分，共30分）7.如图5，已

49、知直线 AB CD相交于点 O, OE平分/ BOC若/ AOC=40，则/2. 如图 1，直线 AB CD相交于点 0,且/ AOD+Z BOC=100，则/ A0C（）度A.150B.130C.100D.903. 如图2, OALOB OCL0D则/ l与/ 2的大小关系是（）BOC=A. / 1>Z 2B. / l= / 2C. / l< / 2D.以上都不对4.如图3，若/ A与（）互补，可判定 AB/ CD.8. 邻补角的两条平分线互相9. 如图6，已知a丄c, b丄c,那么 / ，这是根据A. / BB. / CC. / DD.以上都不是10.如图7,当图中/ l和/2

50、满足时，能使OA! OB（只需填上一个条件即可）11. 如图8 （己知） BC/ AD （内错角相等，两直线平行）12. 在同一平面内，直线a、b相交于点M,且a / c,则b与c的关系是三、解答题（每题10分，共40分）13. 如图，直线 EF、BC相交于点 O,/ AOC是直角，/ AOE=115，求/ C0R的度数.14. 过钝角的顶点向它的一边作垂线，将此钝角分成两个度数之比为6 : 1的角，求此钝角的度数.15. 如图，已知直线 EF与AB CD分别相交于点 G H,且/ 1 = / 3,那么AB与CD平行吗？ 为什么？BBE是/ B的平分线，交 AC于E,其中/ 1= / 2,那么

51、DE/ BC吗？为什么？A答案一、1.A2.B3.B4.C5.C6.D二、7.140 ° , 110°8.垂直9. a , b，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条不重合的直线互相平行10.互余11. / 1 = 7 412.相交三、13.【解题思路】观察图形并结合题意可以得到两种方法求7COF.是利用余角定义 90°7 AOF 一是利用对顶角相等7 BOE=7 COF.解法一：因为7 AOE=115 （已知），所以7 AOF=180 -115 ° =65°（平角定义）.所以7 COF= 90°7 AO= 90° 65

52、76;= 25° .解法二：因为7 AOE=115 （已知），所以7 BOE= 115 ° -90 ° = 25° .所以7 COF=7 BOE= 25° .14. 【解题思路】首先要理解题意，然后根据题意画出相应的图形，数形结合解题.所以AB/ CD （同位角相等，两直线平行）.16. 【解题思路】要知道 DE BC是否平行，就要找相应的平行线判定条件，由已知71=7 2,只要能说明7 2 = 7 EBC则可说明DE BC平行，而这一点可以由 BE是7 B的平分线可 以得到.解：DE/ BC理由如下：因为7 1 = 7 2 （已知），又因为7

53、 1 = 7 EBC（ BE是7 B的平分线），所以7 2=7 EBC.所以DE/ BC （内错角相等，两直线平行）.无论图1还是图2都把这个钝角分为7 2: 7 1 = 6: 1.而7 2 = 90°，所以这个钝角的7_度数是 90°X ： = 105 ° .15. 【解题思路】要知道 AB CD是否平行，就要找相应的平行线判定条件，对号入座解：平行，原因如下：因为7 1 = 7 GHD（对顶角相等），又因为7 1 = 7 3 （已知）， 所以7 GHD=7 3.A.85B.165C.175D.115平行线的性质和平移一、选择题（每题 5分，共30分）1. 两条平行线被第三条直线所截得到的角中，角平分线互相垂直的是（）A .同旁内角B .内错角C .同位角D .内错角或同位角2. 在同一平面内，下列说法中，正确的有（）个.过两点有且只有一条直线.两条不同的直线有且只有一个公共点过一点有且只有一条直线与己知直线垂直过一点有且只有一条直线与己知直线平行A. 1个 B.2 个 C.3个D.4个3. 关于平移，下列说活正确的是（）A