三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结材料

1、实用标准文档一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：(1) ABDAEC (2) / a+/ BOC=180例1.如图在直线 ABC的同一侧作两个等边三角形 AABD与ABCE,连结AE与CD,证 明(1) MBE -ADBC上(2) AE -DC EAE与DC之间的夹角为60 口(4)；：AGB 三；：DFB/干 二EGB 三 CFB/(6) BH 平分 AHC GF AC1；文案大全变式精练1：如图两个等边三角形 AABD与ABCE,连结AE与CD ,证明(2)(1) ABE 三 DBC AE =DC(3)AE与DC之间的夹角为6

2、0AE与DC的交点设为H , BH平分/ AHC变式精练2：如图两个等边三角形 AABD与ABCE,连结AE与CD,证明(2)(1) ABE 三 DBCAE - DC(3)AE与DC之间的夹角为60(4)AE与DC的交点设为H , BH平分/AHC2：如图，两个正方形 ABCD与DEFG，连结AG,CE,二者相交于点H问：(1) AADG与ACDE是否成立?(2)(3)(4)AG是否与CE相等？AG与CE之间的夹角为多少度?HD是否平分/AHE ?例3：如图两个等腰直角三角形 ADC与EDG ,连结AG,CE ,二者相交于点H问：(1) &ADG与&CDE是否成立?(2)(3)

3、(4)AG是否与CE相等？AG与CE之间的夹角为多少度?HD是否平分/AHE ?例 4：两个等腰三角形 AABD 与 ABCE,其中 AB = BD ,CB = EB, NABD =N CBE =a ,连结AE与CD ,问：(1) AABE三ADBC是否成立？(2) AE是否与CD相等？"(3) AE与CD之间的夹角为多少度？(4) HB是否平分/AHC?EB二、倍长与中点有关的线段倍长中线类?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线， 倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。1【例1】 已知： MBC中，AM是中线.求证： AM <

4、;-(AB +AC).【练1】在 ABC中，AB=5,AC=9,则BC边上的中线 AD的长的取值范围是什么?【练2】如图所示，在 MBC的AB边上取两点E、F ,使AE = BF ,连接CE、CF ,求 证：AC +BC >EC +FC .【例2】 如图，已知在 MBC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 BE交AC 于 F , AF =EF ,求证：AC =BE .【练1】如图，已知在 MBC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，且 BE = AC , 延长BE交AC于F ,求证：AF =EF【练2】如图，在 iABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF /A

5、D交CA的延长 线于点F ,交 AB于点G ,若BG =CF ,求证： AD为AABC的角平分线.【练3】如图所示，已知AABC中，AD平分工BAC , E、F分别在BD、AD上.DE=CD, EF =AC .求证：EF / AB【例3】 已知AM为MBC的中线，ZAMB , /AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于 F .求证：BE +CF >EF .【练1】在RtMBC中，F是斜边 AB的中点， D、E分别在边 CA、CB上，满足 /DFE =90*.若AD =3 , BE =4 ,则线段DE的长度为 .实用标准文档【练2】在9BC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的

6、点，且MD _L ND . (1)若/A=90©,以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能，该三 角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？2222. .212_ 2(2)如果 BM +CN =DM +DN ，求证 AD2 =；(AB2 十AC2 ).【例4】 如图所示，在 MBC中，AB =AC ,延长AB至iJ D ,使BD4B , E为AB的中点, 连接 CE、CD ,求证 CD =2EC .【练1】已知 MBC中，AB =AC , BD为AB的延长线，且 BD = AB, CE为AABC的AB 边上的中线.求证：CD =2CE全等之截长补短： 人教八年级上册课本中，

7、在全等三角形部分介绍了角的平分线的性 质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方1.如图所示，&ABC中，/C =90°,2B =45° , AD平分/BAC交BC于实用标准文档AE+CD=AC 。如图所示，在 AABC中，/B=60°, AABC的角平分线 AD、CE相交于点 O。求证:2 .如图所示，已知 /1=/2, P为BN上一点，且/BAP +/BCP =180°。文案大全3 .如图所示，在 RtMBC 中，AB=AC , /BAC=900, /ABD=/CBD, CE 垂直于BD的延长线于

8、 E。求证:BD=2CE 。5如图所示，在 AABC中，/ABC=900, AD为/BAC的平分线，/C=30°, BE _L AD 于 E 点，求证:AC-AB=2BE 。6 .如图所示，已知 AB/CD , NABC,NBCD的平分线恰好交于 AD上一点巳求证：BC=AB+CD。7 .如图，E是/AOB的平分线上一点， EC_LOA, ED_LOB,垂 足为 C、Do 求证：(1) OC=OD ; (2) DF=CF。三、截长补短问题1:垂直平分线（性质）定理是 问题2 :角平分线（性质）定理是问题3:等腰三角形白两个底角 ，简称;如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也

9、,简称.问题4:当见到线段的 考虑截长补短，构造全等或等腰转移 、车移,然后和 重新组合解决问题.三角形全等之截长补短（一）一、单选题（共4道，每道25分）1.已知，如图，BM平分/ABC P为BML上一点，PDL BC于点D, BD=AB+C D或长法）证明，如图，在g匚上截取白E=艮工连接PE在ZVMF和£且F中 'AB=ES, Z1 = Z2SF= BP:(SAS)CD=ED:FD l BC . PE=PC请你仔细观察下列序号所代表的内容：平分443C，二一；/ 仁/2;/A=Z B EF> AP=PE; BD = AB + CD，N3 = ZPCD 'B

10、DAB+CD .'.BDBE + ED VZ5£f+Z3= 180° ：.BE + EE); AB + CD ，= W + C。；，ZSAP+Z3 = lgO°；AZ3 = ZfCCVZBSF+Z3 = 18O°，Zfi/P+ZBCF = 1SO 口以上空缺处依次所填最恰当的是()A.B.C.D. 2.已知，如图，BM平分/ABC点P为BML上一点，PDL BC于点D, BD=AB+D C 求证：/ BAP廿 BCP=180 .切平花.Z1=Z2在Eb和中'BE = BD，Z1 = Z2BP= BP:'BE0Zl>F （SA

11、S）在Af小和乙干节匚中rPE=PD1 "&4 ZFTC_AE = CD二FE$连凸严口口 (SAS)/. ZC=ZPAE,/Z4?-Z/;jr=£Oe.Z5J1P-ZJBCP=1SO3请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长BA,过点P作PEBA于点E;延长BA到E,使AE=DC连接PE;'：BD = BA+CD '：BD=BA+CD延长BA到E,使DC=AE， BD = BA+AE - BE ；:RL）二 BE/. PE = PD, £PEA 二4PDB 'SPD1BC"PRE = 98/. ZPQC = 90°

12、;二 .以上空缺处依次所填最恰当的是（）:PE二 PD, /P£A = /PDB 二 PDLBG：.ZPDB = J/PDC = 90Q，a4 = 90。A.B. C.D.BC+DE=CD3 .已知，如图，在五边形 ABCD中,AB=AE AD平分/ CDE / BAE=Z CAD求证:'.4D 平分2(?£|£二 Z 1=2在a#。和乙小。中AD = AD，Z1 = Z2DP-DR；,d在的瓜a£D (SAS)在瓯和d4FC巾 AS= AF，Z6 = Z5AC = AC/. 4错04珏七($A$).,.BC-CF.'.BC-DE=CF-

13、DF=Cl>请你仔细观察下列序号所代表的内容：在CD上截取CF=CB连接AR在DC上截取DF=DE连接AF;在 DC上截取 DF=DE AE=AF AF=AE Z 4=Z 3;Z 4=Z 3;'AB = AE'AB = AE'ZBAE=2ZCAD：,AB = AF：.AB = AF'BAS = 2/CAO： £CAD = Z3+Z6JZ4 = Z3 £CAD = Z3+Z67NCAD = N3+/6即/4+/5 二/3+/6即 N4+/5 = N3+/6二 J/5 = N6，N5 = /6以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.

14、4 .已知，如图，在五边形 ABCD中,AB=AE / BAE=N CAD / ABC+ AED=180 ,求证：BC+DE=CD工"”0d即tSAi>-Z2-Z3, JC-JF在凸匚加用上鼻£>金角 口3D- ADAC.JDS2Af.JD (SAS)请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长DE至IF,使EF=BC连接AF;延长DE至1F,使BC=EF: 43（7+/。= 180" Nl+乙超口二侬口延长DE至IF,连接AF;:ZABC=ZA:上RAE ="A口：.ACAD= Z2 +Z4 ZCAD = Z2+Z4 = N3+/4=Z3+Z47

15、£ABC =Z1；®即NCAD二£FAD ；®Z,Z.CAD = NFAD ：,CD = DF'：DF = DB+EF /.CD = DFEF = BC "F = £ + ££.EF= DE+BC =DE+SCmDE = 5 ； ®：.BC+DE = CD 以上空缺处依次所填最恰当的是（）A.B.C.D.BA ,则/ PBP/的度数是四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)问题二：旋转都有哪些模型？例1 如图，P是正 ABC内的一点，若将 P

16、BC绕点B旋转到 P/()A. 45°B, 60°C. 90°D. 120°例2如图，正方形BAFE与正方形 ACGD共点于A,连接BD、CF , 求证：BD=CF并求出/ DOH的度数。【例3】 如图，正方形 ABCD中，/ FAD = / FAE 。求证：BE+DF =AE。BEC1 .题干中出现对图形的旋转 一一现成的全等2 .图形中隐藏着旋转位置关系的全等形一一找到并利用3 .题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在一一通过作辅助线构造旋转！【例4】已知：如图：正方形 ABCD中，/ MAN = 45° , / MAN的两边分别交 C

17、B、DC于点M、N。求证：BM+DN=MNo【例5】如图，正方形ABCD中，/EAF = 45°,连接对角线+ BM2= MN2BD交AE于M,交AF于N,证明：DN2【例6】如图，已知 OAB和OCD是等边三角形，连结 AC和BD,相交于点 E, AC和BO交于 点F,连结BC。求/ AEB的大小。【例7】如图所示： ABC 中，/ACB = 90°, AC = BC, P 是 ABC 内的一点，且 AP=3, CP=2, BP= 1,求/ BPC的度数。本课总结问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？（构造旋转的条件）1 .图中有相等的边（等腰三角形、等边三角形、

18、正方形、正多边形）2 .这些相等的边中存在共端点。3 .如果旋转（将一条边和另一条边重合），会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、 被分割的特殊角。问题二：旋转都有哪些模型？构造旋转辅助线模型：1 .大角夹半角2 .手拉手（寻找旋转）3 .被分割的特殊角测试题1 .如图，P是正 MBC内的一点，且 BP是/ ABC的角平分线，若将 APBC绕点P旋转到 用BA ,则/PBP'的度数是（）B. 60°C. 90°D. 120A. 45FBCBC中，AB = AC, BC为最大边，点 D、E分别在BC、AC上，BD=CE, F为BA延长线 上一点，BF = CD,则下列正

19、确的是（）A. DF = DEB. DC = DFC. EC= EAD,不确定3 .如图，四边形 ABCD中，/ ABC =30 °, Z ADC = 60 °, AD = DC ,则下列正确的是（）A. BD2=AB2+BC2B, BD2vAB2+BC2C, BD2>AB2 + BC2 D,不确定4 .已知ABC中，/ACB =90° , CD _LAB于D , AE为角平分线交 CD于F,则图中的直 角三角形有（）A. 7个B. 6个C. 5个D. 4个5 .如图，DAAB, EAXAC, AD=AB, AE=AC,则下列正确的是（）A. ABDACEB

20、. ADFAES ADCABEC. ABMF CMS卜列一定正确的是D.)6.如图，已知P为正方形 ABCD的对角线AC上的一点（不与A、C重合），PEBC与点 E,PF±CD 与点F,若四边形 PECF绕点C 逆时针旋转，连结 BE、DF,则A. BP= DPB.BE2+ EC2= BC2C.BP= DFD.BE=DF7.如图，等腰直角4的是（）A. BE= DCADB与等腰直角 AEC共点于B. AD / CEC.A,连结BEXCEBE、则下列一定正确BE=CED.AFC共点于A,连接BF、CE ,则ZEOB的度数为（）8.如图，等边三角形ABE与等边三角形A. 45°

21、 B. 60°C. 90°D. 120°9.如图，在四边形 ABCD中，AB=AD, /B=/D=90）E、F分别是边BC、CD上1的点，且/ EAF =一/ BAD 。则下列一定正确的是2A. EF=BE+FDB.C. EF <BE+FDD.EF BE FDEF2 =BE2 FD210.在正方形 ABCD 中，BE=3, EF = 5, DF = 4,则/ BAE + Z DCF 为()A. 45°B. 60°C. 90°D. 120DC五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等

22、.在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.下面介绍寻找 全等三角形的几种方法，供同学们参考.一、利用公共角例 1 如图 1, AB = AC, AE = AF.求证：Z B =/C.分析：要证明/ B =/C,只需证明 BOEA COF或ABF0ACE.而由图形可知/ A是公共角，又由 已知条件 AB = AC, AE= AF,所以 ABFA ACE,于是问题获证.二、利用对顶角（题目中的隐含条件）例2如图2, B、E、F、D在同一直线上，AB = CD, BE = DF , AE = CF,连接 AC交BD于点O. 求证：

23、AO = CO.分析：要证明 AO = CO,只需证明 AOEA COF或AOB/COD即可.根据现有条件都无法直接证明.而由已知条件 AB =CD, BE = DF, AE = CF可直接证明 ABEA CDF ,贝U有/AEB=/CFD, 进而有/ AEO =/CFO,再利用对顶角相等，即可证明。三、利用公共边（题目中的隐含条件）例 3 如图 3, AB = CD, AC = BD,求证：/ B =/C.分析：设 AC与BD交于点 O,此时/ B与/ C分别在 AOB和 DOC中，而用现有的已知条件是不可 能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形.此时可以连接AD,

24、那么 AD是4ABD和 DCA的公共边，这样可以证明 ABDADCA.ABCD的对角线 BEC =/ DFA,AC上的两点，AF = CE.求证：BE/DF.此时可以转换为证明/ AEB =Z CFD,进而证明 AEB四、利用相等线段中的公共部分例4如图4, E、F是平行四边形分析：要证明 BE/ DF,只需证明/CFD.图4五、利用等角中的公共部分例 5 如图 5,已知/ E = 30° , AB = AD, AC = AE, / BAE=/DAC.求/ C 的度数.分析：已知/ E = 30° ,要求/ C,可考虑证明 ABCA ADE,由/ BAE = / DAC,结合图形可知/ BAC = / DAE,于是问题获解.六、利用互余或互补角的性质考点：同角或等角的余角相等例6如图6,已知/ DCE = 90° , ZDAC = 90° , BEX AC于B,且 DC = EC,能否找出与 AB+AD相 等的线段，并说明理由.分析：由于AC = AB+BC,可以猜想 AC = AB+AD,或BE = AB+AD,此时只需证明