《对数》（2）教学设计

1、教学设计对数及其运算导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容：1对数的定义2指数式与对数式的互化abNlogaNb.3重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)loga10，logaa1；(3)对数恒等式alogaNN.下面我们接着讲对数的运算性质教师板书课题思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则am·anamn；am÷anamn；(am)namn；.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题推进新课(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作

2、指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？(2)如我们知道amM，anN，am·anamn，那mn如何表示，能用对数式运算吗？(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.(5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？(6)上述结论能否推广呢？(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题 (2)来说明(2)如am·anamn，设Mam，Nan，于是MNamn，由对数的定义得到MammlogaM，NannlogaN，MNa

3、mnmnlogaMN，logaMNlogaMlogaN.因此mn可以用对数式表示(3)令Mam，Nan，则am÷anamn，所以mnloga.又由Mam，Nan，所以mlogaM，nlogaN.所以logaMlogaNmnloga，即logalogaMlogaN.设Mam，则Mn(am)namn.由对数的定义，所以logaMm，logaMnmn.所以logaMnmnnlogaM，即logaMnnlogaM.这样我们得到对数的三个运算性质：如果a0，a1，M0，N0，则有loga(MN)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM(nR)(4)以上三个性

4、质可以归纳为：性质：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；性质：幂的对数等于幂指数乘底数的对数(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a0，a1，M0，N0.(6)性质可以推广到n个数的情形：即loga(M1M2M3Mn)logaM1logaM2logaM3logaMn(其中a0，a1，M1M2M3Mn均大于0)(7)纵观这三个性质我们知道，性质的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算性质的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算性质从左往右仍然是降级运算利用对数的性质可以使两正数

5、的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值思路1例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga(x2yz)；(2)loga；(3)loga.活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正利用对数的运算性质，把整体分解成部分对(1)可先利用性质1，转化为两数对数的和，再利用性质3，把幂的对数转化为两数对数的积对(2)(3)可先利用性质2，转化为两数对数的差，再利用性质1，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质3，转化为幂指数与底数的对数的积解：(1)loga(x2yz)logax2logaylogaz2loga

6、xlogaylogaz.(2)logalogax2loga(yz)2logaxlogaylogaz.(3)logalogaloga(y2z)logax2logaylogaz.点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算变式训练1若a0，a1，x0，y0，xy，下列式子正确的个数为()logax·logayloga(xy)logaxlogayloga(xy)logalogax÷logayloga(xy)logax·logayA0 B1 C2 D3答案：A2若a0，a1，xy0，nN，下列式子正确的个数为()(logax)nnlogax(

7、logax)nlogaxnlogaxlogalogalogaxlogaxlogalogaxnnlogaxlogalogaA 3B4C5D6答案：B例2 计算：(1)log3(92×35)；(2).活动：学生审题，回顾对数的运算性质和运算顺序，严格按性质和法则解题，注意运算结果的准确性解：(1)log3(92×35)log392log335log3345log33459；(2)lg lg 102×2.例3 计算：(1)lg 142lglg 7lg 18；(2)；(3).解：(1)解法一：lg 142lglg 7lg 18lg(2×7)2(lg 7lg 3)

8、lg 7lg(32×2)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.解法二：lg 142lglg 7lg 18lg 14lg2lg 7lg 18lglg 10.(2).(3).点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数运算性质特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视例4 科学家以里氏震级来度量地震的强度若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r0.6lg I，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度解：设6.9级和7.8级

9、地震的相对能量程度分别为I1和I2，由题意，得因此0.6(lg I2lg I1)0.9，即lg1.5.所以101.532.因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍思路2例1 求下列各式的值(1)log525；(2)log0.41；(3)log2(47×25)；(4)lg.解法一：(1)log525log5522；(2)log0.410；(3)log2(47×25)log247log225log222×7log2252×7519；(4)lglg 102lg 10.解法二：(1)设log525x，则5x2552，所以x2；(2)

10、设log0.41x，则0.4x10.40，所以x0；(3)log2(47×25)log2(214×25)log221919，或log2(47×25)log247log2257log222log2252×7519；(4)设lgx，则10x，所以x.点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式例2 计算：(1)2log510log50.25；(2)2log5253log264；(3)log2(log216)解：(1)因为2log510log5102log5100，所以2log510log50.25log5100log50.25log5(100×0.25

11、)log5522log552；(2)因为2log5252log5524log554,3log2643log22618log2218，所以2log5253log26422；(3)因为log216log2244，所以log2(log216)log24log2222.点评：要注意灵活运用对数的运算性质，特别是公式的逆用例3 计算下列各式的值：(1)lglglg；(2)lg 52lg 8lg 5·lg 20(lg 2)2；(3).活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差

12、、积进行计算再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算(1)解法一：lglglg(5lg 22lg 7)×lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5(lg 2lg 5)lg 10.解法二：lglglglglg 7lglg(×)lg.(2)解法一：lg 52lg 8lg 5·lg 20(lg 2)22lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 2lg 5)22(lg 10)2213.解法二：lg 52lg 8lg 5·lg 20(lg 2)22

13、lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(1lg 5)22lg 10lg 52(1lg 5)lg 5(1lg 5)22lg 5(2lg 5)(1lg 5)222lg 5(lg 5)212lg 5(lg 5)23.(3)解法一：.解法二：.点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值例4 已知a，b，c均为正数，3a4b6c，求证：.活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程从求证的结论看，解题

14、的关键是设法把a，b，c从连等号式中分离出来，为便于找出a，b，c的关系，不妨设3a4b6ck(k0)，则a，b，c就可用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论证法一：设3a4b6ck，则k0.由对数的定义得alog3k，blog4k，clog6k，则左边2logk3logk4logk9logk4logk36，右边2logk6logk36，所以.证法二：对3a4b6c同时两边取常用对数得lg 3alg 4blg 6c，alg 3blg 4clg 6.所以log63，log64.又log6(9×4)2，所以.点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质灵活运用指数、对数

15、的概念及性质解题，适时转化1用logax，logay，logaz，loga(xy)，loga(xy)表示下列各式：(1)loga；(2)loga；(3)loga()；(4)loga；(5)loga；(6)loga3.解：(1)logalogalogay2zlogax(2logaylogaz)logax2logaylogaz；(2)logalogaxlogalogax(logaz3logay2)logaxlogaylogazlogaxlogaylogaz；(3)loga()logaxlogaylogaxlogaylogaz；(4)logalogaxyloga(x2y2)logaxlogaylog

16、a(xy)(xy)logaxlogayloga(xy)loga(xy)；(5)logalogalogayloga(xy)loga(xy)logay；(6)loga33logaylogaxloga(xy)3logay3logax3loga(xy)2已知f(x6)log2x，则f(8)等于()A. B8 C18 D.分析：因为f(x6)log2x，x0，令x68，得x，所以f(8).解析：因为f(x6)log2xlog2x6，所以f(x)log2x.所以f(8)log28log223.答案：D已知x，y，z0，且lg xlg ylg z0，求··的值活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导大胆设想，运用对数的运算性质由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.解：令··t，则lg tlg xlg ylg z3，所以t103即为所求1对数的运算法则2对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用3对数与指数形式比较：式子abNlogaNb名称a幂的底数b幂的指数N幂值a对数的底数b以a为底的N的对数N真数运算性质am·anamn；am÷anamn；(am)namn(a0