从交比到调和点列到Apollonius圆到极线极点

1、从交比到调和点列到 Apollonius圆到极线极占八、2010年10月17日结束的2010年全国高中数学联赛平面几何题目为：如图 1,锐角三 角形ABC的外心为 O, K是边BC上一点（不是边 BC的中点），D是线段AK延长线 上一点，直线 BD与AC交于点N ,直线CD与AB交于点 M .求证：若 OKLMN,则ABDC 四点共圆.图1本题颇有难度，参考答案的反证法让有些人“匪夷所思”，其实这是一系列射影几何中常见而深刻结论的自然“结晶”，此类问题在国家队选拔考试等大赛中屡见不鲜。本文拟系 统的介绍交比、调和点列、完全四边形、Apollonius圆、极线等射影几何的重要概念及应用， 抽丝剥

2、茧、溯本求源，揭示此类问题的来龙去脉，并在文中给出上题的一种简洁明了的直接 证明。知识介绍定义1线束和点列的交比：如图2,共点于O的四条直线被任意直线所截的有向线段比T T称为线束OA、OC、OB、OD或点列ACBD的交比。1AD BD定理1 线束的交比与所截直线无关。证明：本文用ABC表示ABC面积，则T TAC/BC _AOC/BOCAD BD AOD BODCO sin . AOC / CO sin . COB /DO sin . AOD DO sin . BODsin . AOC / sin . COB /sin . AOD sin . BOD从而可知线束交比与所截直线无关。r tAC

3、 BC定义2调和线束与调和点列：交比为-1,即3=一厘的线束称为调和线束，点列称为AD BD调和点列。显然调和线束与调和点列是等价的，即调和线束被任意直线截得的四点均为调和点列，反之，调和点列对任意一点的线束为调和线束。定理2 调和点列常见形式：(O为CD中点)211(1)、=一 十一AD AB AC(2)、 2(B (A *(3)、 AC*AD=AB*AO(4)、 AB*OD=AC*BD证明：由基本关系式变形即得，从略。定理3 一直线被调和线束中的三条平分当且仅当它与第四边平行(由定义即得，证略)定义3 完全四边形： 如图3,凸四边形 ABCD各边延长交成的图形称为完全四边形ABCDEF ,

4、 AC、BD、EF称为其对角线(一般的四条直线即交成完全四边形)2。定理4完全四边形对角线互相调和分割。即 AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列。图3分析：只需证 EHFI为调和点列，其余可类似证得，也可由线束的交比不变性得到。证法一：面积法 he IF=LAECBDFHF IE AFC BDE二AECACDBDFBEFACDAFCBEFBDEEC AD DC AF /口 HE IE=1,即=一。CD AF EC ADHF IF证法二：由Ceva定理EH JDmHF DAAB .、 =1 ,由 Menelaus te理得到BEEIIFFD AB d .x = 1,故DA BEHE IE

5、=，即EHFI为调和点列。HF IF定理5 完全四边形 ABCDEF中，四个三角形 AED、ABF、EBC、FDC 为完全四边形的密克（Miquel）点。证明：设出两圆交点，证它在其余圆上即可。的外接圆共点，称P图4定义4 阿波罗尼斯（Apollonius）圆：到两定点A、B距离之比为定值 k （k>0且k¥1）的 点的轨迹为圆，称为 Apollonius圆，为古希腊数学家 Apollonius最先提出并解决2（注：当 k=1时轨迹为AB中垂线也可看成半径为无穷大的圆） 。、一 ，一 . ，一 AC AD AP证明：如图4由AP=kPB ,则在AB直线上有两点 C、D满足 =

6、-=,故PC、BC| | BD| | BPPD分别为/ APB的内外角平分线，则 CPXDP,即P点的轨迹为以 CD为直径的圆O（O为 CD中点）。（注：解析法亦可证得）显然图4中ACBD为调和点列。定理6 在图4中，当且仅当 PBXAB时，AP为圆O的切线。证明：当PB XAB时/ APC= / BPC= / CDP故AP为圆O的切线，反之亦然。定理7 Apollonius圆与调和点列的互推如下三个条件由其中两个可推得第三个：1 .PC （或PD）为/ APB内（外）角平分线2 . CPXPD3 .ACBD构成调和点列（证略）定义5 反演：设A为。（r）平面上点，B在射线OA上，且满足 OA

7、*OB=r*r，则称A、 B以。为基圆互为反演点。定理8 图4中，以Apollonius圆为基圆，AB互为反演点。（由定理2 （2）即得。）定义6 极线与极点：设A、 B关于。O （r）互为反演点，过 B做OA的垂线l称为A点 对圆O的极线；A点称为l的极点。3定理9当A点在。O外时，A的极线为A的切点弦。（由定理6即得。）A图5定理10若A的极线为1,过A的圆的割线 ACD交l于B点，则ACBD为调和点列。证明：如图5,设A的切点弦为 PQ,则BC =QPC=CP CQ=AP丝=处即acbd为调和点列。BD QPD DP DQ AD AQ AD定理11配极定理：如图6,若A点的极线通过另一点

8、 D,则D点的极线也通过 Ao 一般 的称A、D互为共轲点。证法一：几彳S法，作 AFLOD于F,则DFGA 共圆，得 OF*OD= OG*OA = OI 2 ,由定义6知AF即为D的极线。A证法二：解析法，设圆。为单位圆，A（ Xi,y1），D（ X2, y2）, A的极线方程为x%+yy1=1,由D在其上，得x2x1+y2y1 =1,则A在xx2+yy2 =1上，即A在D的极线上。定理12在图6中，若A、D共轲，则AD2 =A的曷+D的曷（对圆O）证明：AD2 =AG2+DG2_2222=（AG +BG ）+（DG -BG ）=A的曷+D的曷（对圆O）定义7 调和四边形：对边积相等的圆内接

9、四边形称为调和四边形。（因圆上任意一点对此 四点的线束为调和线束，故以此命名）定理13 图5中PDQC为调和四边形。证明：由定理9的证明过程即得。例题选讲例1 如图7过圆O外一点P作其切线 PA、PB, OP与圆和AB分别交于I、M , DE为过 M的任意弦。求证：I为 PDE内心。（2001年中国西部数学奥林匹克） 分析：其本质显然为 Apollonius圆。证明：由定理 6知圆。为P、M的Apollonius圆，则DI、EI分别为 PDE的内角平分线， 即I为乙PDE内心。例2 如图8, AABC中，AD ± BC, H为AD上任一点，则/ ADF= / ADE （1994年加拿

10、大 数学奥林匹克试题）图8证明：对完全四边形 AFHEBC ,由定理4知FLEK为调和点列。又 AD ± BC ,由定理7得 / ADF= / ADE 。图9例3 如图9,完全四边形 ABCDEF中，GJXEFf J,则/ BJA= / DJC （2002年中国国家集训队选拔考试题）证明：由定理 4及定理7有/ BJG=/DJG且/ AJG=/CJG,贝U/ BJA= / DJC。图10例4 已知：如图 10, ABC内角平分线 BE、CF交于I,过I做IQ，EF交BC于P,且IP=2IQ。求证：/ BAC=60 °IQ D'I DI PI证明：做AX，EF交BC于

11、Y,由定理4知AD 'ID为调和点列，故收"石二二茂 二YA，又 IP=2IQ , 则 AX=XY , 即 EF 为 AY 中垂线，由正弦定理，则AFYC 共圆，同理 AEYB 共圆，故/ BYF= / BAC=CF FY FA CFsin. FYC 一 sin. 1 - sin. 2 - sin. FAC/ CYE= / EYF ,故/ BAC=60例5如图11, P为圆。外一点，PA、PB为圆O的两条切线。PCD为任意一条割线，CF 平行PA且交AB于E。求证：CE=EF （2006国家集训队培训题） 证明：由定理10及定理3即得。例6 如图12, PAB、PCD为圆O割

12、线，AD交BC于E, AC交BD于F,则EF为P的极 线。（1997年CMO试题等价表述）证法一：作 AEB外接圆交 PE于M ,贝U PE*PM=PA*PB=PC*PD ,故 CDME共圆（其实 P 为三圆根心且 M为PAECBD密克点）,从而/ BMD= / BAE+ / BCD= / BOD, BOMD 共 圆。/ OMT= / OMB+ / BMT= / ODB+ / BAE=90 故 M 为 ST 中点，PS*PT= PA*PB=PE*PM ,由定理2 （3）知E在P极线上，同理 F亦然，故 EF为P的极线。PP图11证法二：如图13,设 PS、PT为圆 O切线。在 ABT中，可以得

13、到AU * BV*TWUB VT WAASsin ZAST BDsin /BDA TCsin/TCB AS BSsin. BST DT sin. TDA ACsin. ACB - BSBD TC PS PB PC /1AC DT PB PC PT由塞瓦定理逆定理知ST、AD、BC三线共点于E,同理F亦然，故EF为P的极线。至此，点P在圆O外时，我们得到了 P点极线的四种常见的等价定义：1、过P反演点做的OP的垂线。2、过P任意作割线PAB, AB上与PAB构成调和点列的点的轨迹所在的直线。3、P对圆O的切点弦。4、过P任意做两条割线 PAB、PCD, AD、BC交点与AC、BD交点的连线。（注

14、：切线为 割线特殊情形，故 3、4是统一的）例7 4ABC 内切圆I分别切 BC、AB于D、F, AD、CF分别交I于G、H。求证：DF GHFG DH= 3（2010年东南数学奥林匹克A图12证明：如图14,由定理13知GFDE为调和四边形，据托勒密定理有GD*EF=2FG*DE ,同理 HF*DE=2DH*EF 相乘得 GD*FH= 4DH*FG 又由托勒密定理 GD*FH=例8 已知：如图15, AABC内切圆切BC于D, AD交圆于E,作CF=CD , CF交BE于 Go求证：GF=FC （2008年国家队选拔）证明：设另两切点为 H、I, HI交BD于J,连JE。由定理10知AEKD

15、为调和点列，由定 理11知AD的极点在HI上，又AD极点在BD上，故J为AD极点；则JE为切线，BDCJ 为调和点列，由 CF=CD且JD=JE知CF/JE,由定理3知GF=FC。（注：例8中BDCJ为一组常见调和点列）例9如图16,圆内接完全四边形 ABCDEF中AC交BD于G,则EFGO构成垂心组（即 任意一点是其余三点的垂心）。证明：据例6知EG, FG共轲，由定理12EG2FG2=（E的幕+G勺幕）-（F的幕+G的幕尸E的幕F的幕二EO2 -FO2则OGLEF,其余垂直同理可证。A图14注：4EFG称为极线三角形。本题结论优美深刻，初版于 1929年的4已有介绍，它涉 及到调和点列、完

16、全四边形、密克点、极线、 Apollonius圆、垂心组等几何中的核心内容。 本文开头提到的2010年联赛题为本题的逆命题，熟悉上述内容的情况下，采用参考答案的 反证法在情理之中：如图 1 ,设D不在圆O上，令AD交圆。于E, CE交AB于P, BE交 AC于Q。由例9得PQ/MN ;由定理4得MN、AD调和分割BC,同理PQ亦然，贝U PQ/MN/BC , 从而K为BC中点，矛盾！故 ABCD共圆。其实本题也可直接证明，如下：如图 17,由例3得/ 1 = /2;又K不是BC中点，类似 1例4证明可得OBJC共圆；/ MJB= / NJC= 1/BOC =/BAC ,由定理5得J为ABDCM

17、N密克点，则/ BDM= / BJM=Z BAN故ABDC 共圆。以例9为背景的赛题层出不穷，再举几例，以飨读者。例10 4ADE中，过AD的圆。与AE、DE分别交于 B、C, BD交AC于G,直线 OG与 ADE外接圆交于 P。求证： PBD、APAC共内心（2004年泰国数学奥林匹克）分析：本题显然为密克点、Apollonius圆、极线及例9等深刻结论的简单组合。证明：如图16,由定理5及例9知PG互为反演点，据定理 8知圆。为PG的Apollonius 圆，由例1知4 PBD与 PAC共内心。例11 4ABC中，D在边BC上且使得/ DAC= /ABC ,圆。通过BD且分另交 AB、AD

18、 于E、F, DE交BF于G, M为AG中点，求证：CM ±AO （ 2009年国家队选拔）A证明：如图18,设EF交BC于J。由定理 3得AKGL为调和点列，由定理 2 （4）有LK*GM=LG*KA ,又/ CAD=ABD= / JFD 故 EJCA ,贝U =JC KALG.一一即JGCM而由GM例 9 有 JGLOA,故 CM ±AOo例9中OG _LEF对圆外切四边形亦然。例12 如图19,设圆O的外切四边形 A'B' C'D'对边交于 E'F', A'C'交B'D'交于G',

19、则OGE'F'。（2009年土耳其国家队选拔）图17证明：设四边切点为 ABCD , AC交BD于G, AB交CD于E, AD交BC于F,由例6知 BD、AC极点E'、F'在EF上，则G'与G重合，由例9,即得OG'E'F'。A图18例13 如图20, ABCD为圆O的外切四边形， OELAC于E,则/ BEC= / DEC（2006年协作题夏令营测试题）分析：由定理7知垂直证等角必为调和点列。证明：如图20,做出辅助线，由例 12知FI、GH、BD共点于M ,且为AC的极点，从而OE也过 M,且BLDM 构成调和点列，由定理 7得/ BEC=/DEC。 最后我们看一道伊朗题及其推广例14 AABC内切圆I切BC于D, AD交I于K。BK、CK交I于E、F,求证：BF、AD、 CE三线共点。（2002年伊朗国家队选拔考试题）分析：本题一般思路为 Ceva定理计算，计算量较大。而且有人将其推广为对AD上任意一点K,都有本结论成立（如图 21）。推广题难度极大，网络上有人用软件大量计算获证，也 有高