(经典讲义)求数列通项公式

1、求数列通项公式的常用方法观察法例1根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4） 针对训练1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：公式法例1：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2）针对训练1：已知数列的前项和满足，求数列的通项公式针对训练2：（2010年高考陕西卷理科16）,已知是公差不为零的等差数列, ，且成等比数列.求数列的通项; 求数列的前n项和累加法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。针对训练1： 已知数列满足，求数列的通项公式。针对训练2： (2010年全国高考宁夏卷17）设数列满足（1） 求数列的通项公

2、式；（2） 令，求数列的前n项和累乘法例1 已知数列满足，求数列的通项公式。针对训练1：已知数列，且（），求通项公式针对训练2：已知数列，且，求通项公式构造法类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知数列满足，求。变式1:已知数列，且，求通项公式类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，求。变式1:已知， ，求。类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例1:已知数列中，求.变式1:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_变式2:

3、（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）（选讲)证明：类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例1:已知数列中，,，求。变式1:（2006，全国I,理22）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：类型5 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例1：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.变式1:（2006，陕西,理,20

4、本小题) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 类型6 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例1:设数列：，求.变式1:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.类型7 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式

5、，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例1:已知数列中，,，求。例2:数列：， ，求数列的通项公式。变式1:已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 变式2: 数列：， ，求数变式3:已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待

6、定系数法求解。例1：已知数列中，求数列变式1:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 变式2:（2005，江西,理,21）已知数列（1）证明 （2）求数列的通项公式an.类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例1：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。变式1若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 变式2

7、（2006，江西,理,22,）已知数列an满足：a1，且an，求数列an的通项公式；变式3 已知数列满足时，求通项公式。类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例1：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 例2：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？变式1:（2005，重庆,文,22,）数列记（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和做差法例1已知无穷数列的前

8、项和为，并且，求的通项公式？例2：已知数列满足，求的通项公式。例3已知数列满足，求的通项公式。针对训练1：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.针对训练2：已知数列满足，求的通项公式。巩固练习与课后作业1、已知数列的前项和，求数列的通项公式2、已知数列的前项和满足，求数列的通项公式3、已知数列，且，求通项公式4、已知数列，且，求通项公式5、已知数列，且，求通项公式6、已知数列，且，求通项公式7、在数列中，且，求通项公式8、在数列中，且，求通项公式9、已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.10、在数列中，且，求通项公式11、数列：， ，求数列的通项公式。12、已知数列中，是其前项和，并且，