三维随机变量的分布与性质

1、三维随机变量的分布与性质摘要：由所学的二维随机变量的分布和性质来研究三维随机变量的分布和性质，将概率分布的问题由平面扩展到空间。具体探讨了三维随机变量的分布函数、分布列、密度函数等概念及其主要性质。关键词：三维随机变量；分布函数；分布列；密度函数1、三维随机变量及其联合分布函数1.1 三维随机变量的定义 定义1：如果是定义在同一个样本空间=上的三个随机变量，则称为三维（三元）随机变量或随机向量。1.2 联合分布函数定义2：对任意的三个实数，称为三维随机变量的联合分布函数。 类似二维随机变量的分布函数，有如下的性质：定理1：设为三维随机变量的联合分布函数，则具有以下四条基本性质：单调性：分别对，

2、或是单调不减的，即当时，；当时，；当时，.有界性：对任意的，,有，且；.右连续性：对每个变量都是右连续的，即；.非负性：对任意的，有图 1.1注：如图1.1所示，表示随机变量在空间域内取值的概率。1.3. 联合分布列和联合密度函数 三维随机变量的联合分布列定义3：如果三维随机变量只取有限个或可列个数对，则称为三维离散型随机变量，并称为的联合分布列。注：三维随机变量的联合分布列具有性质非负性：； 正则性： . 三维随机变量的联合密度函数定义4：如果存在三元非负可积函数，使得三维随机变量的分布函数可表示为则称为三维连续随机变量，并称为的联合密度函数。注：在偏导数存在的点上有 . 且的联合密度函数具

3、有下面的基本性质：非负性：；正则性：.2、三维随机变量的边际分布2.1 边际分布函数在三维随机变量的联合分布函数中，令,可得=,称之为的边际分布函数,记为 . 类似的，在中令,可得的边际分布函数 在中令,可得的边际分布函数 2.2 边际分布列和边际密度函数 边际分布列在三维随机变量的联合分布列中,对于求和得到 =称之为的边际分布列。类似地,对求和得到的边际分布列 =；称之为的边际分布列。 =称为的边际分布列。 边际密度函数 如果三维连续随机变量的联合密度为,由 ，得到 ；即为三维随机变量关于的边际密度函数。同样有 ； .分别为三维随机变量关于（或）的边际密度函数。 .三维随机变量的独立性定义

4、5 设三维随机变量的联合分布函数为,如果对任意三个实数有，则称随机变量相互独立。定理2 对三维离散型随机变量,如果对其任意三个实数，有 ， 则相互独立。对三维连续型随机变量,如果对其任意三个实数，有，则相互独立。注：利用联合分布与边际分布的关系及独立性的定义易证，略。例1：设是三维离散随机变量，的边际分布列如下：1/41/21/41/21/21/32/3如果,试问: 是否独立?解：，.由所以，不是相互独立的。3、三维随机变量函数的分布 3.1 三维离散型随机变量函数的分布设为三维离散型随机变量，则某一函数是一维随机变量,当取值较少时,可将的取值一一列出，并可求出其分布列。例2 设的联合分布列如

5、下所示： -1011/201/203/204/201/203/202/201/201/201/202/200试求: 的分布列。解:易见的可能取值有，且；.从而，的分布列为3.2.三维连续型随机变量的分布对于三维连续型随机变量，其和的分布有如下结论：定理3：设的联合密度函数为，则的密度函数可以表示为； 或 ；或 .特别地，若相互独立，则有；或 ；或 .证明： 其他类似可以得证。4、三维随机变量的数字特征值4.1 三维随机变量函数的数学期望定理4：（1）若三维离散型随机变量的联合分布列为则的数学期望为；（2）若三维连续型随机变量的联合密度函数为，则的数学期望为. 例3 从数字0,1,5中任意取3个

6、不同的数,求这三个数之和的数学期望。解：设这三个数字分别为,其取值方法有种，的分布列为34567891011121/201/202/203/203/203/203/202/201/201/20 .特别地，取时,可得的数学期望为 .4.2 数学期望和方差的性质性质1 设是三维随机变量,则有 .证明:不妨设为连续随机变量，(离散随机变量可类似证明)其联合密度函数为. 若令,则由定理4可得： 性质2 若三个随机变量相互独立,则有. 证明:不妨设为连续随机变量,(离散随机变量可类似证明)其联合密度函数为. 若令,则由定理2和定理4可得 .性质3 若三个随机变量相互独立,则有 说明：利用两个随机变量独立的结论易证。例4.已知随机变量相互独立,且求的数学期望、方差、和标准差。 解：； ； . 说明：对于三维随机变量的性质问题，主要讨论了独立条件下的期望和方差性质，这里没有作更进一步深入的探讨。参考文献: