232平面向量的正交分解及坐标表示

1、向量的坐标运算1 .若向量 a= (1,1) , b= ( 1,1) , c= (4,2)满足(ka+ b) II c,贝U k=2 .已知四边形 ABCD勺三个顶点A(0,2),氏1, 2) , C(3,1)，且BC = 2 aD，则顶点的坐标为3 若 A(3 , 6) , 5,2) , C(6 , y)三点共线，则 y=14 .已知 a= ( 2,1 cos 0) , b= (1 + cos 0， 4)，且 a I b,则锐角 0 等于5 .已知向量 a= (sin 0 , cos 0 2sin 0 ) , b= (1,2)，且 a I b,贝U tan 0 =都有OC =入6.已知向量

2、a= (2 , 1) , b= ( 1, m) , c= ( 1,2)，若(a+ b) I c ,7 .已知点 A( 1, 1)、巳1,3)、C(x, 5),若对于平面上任意一点O(1 入)oB ,入 R,贝y x=8.已知向量a= ( 2,3) , bl a ,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上，则点标为.9.已知A B、C三点的坐标为(一1,0)、(3 , 1)(1,2),并且 AE1=3 AC ,B的坐求证：EF I AB10.平面内给定三个向量a= (3,2) , b= ( 1,2) , c= (4,1),回答下列问题:(1)求 3a+ b 2c；求满足a= mb nc的实数

3、 m n；(3)若(a+ kc) I (2 b a),求实数 k.答案:1.解析：ka+ b= (k 1, k +1),由(ka+ b) / c,得 2(k 1) 4(k + 1) = 0，解得 k = 3.答案：-32.解析：令D(x, y)，由已知得xy2，=2,7 解得f 7顶点D的坐标为(2 ,-).y=.2答案：7(2 ,).3.解析:AB = ( 8,8),AC = (3 , y + 6)./ aB / AC , 8( y+ 6) 24= 0. y = 9.答案：-912 24. 解析：由 a / b 得一2X (才)=1 cos 9 = sin 0 , 9为锐角,sin0 = 4

4、5答案：455. 解析：T a / b,. 2sin 9 = cos 9 2sin 9 . 1即 4sin 9 = cos 9 , tan 9 = 4.6. 解析：a+b= (2 1, 1+m) = (1 ,m1)，由(a+b)/c,得 1x2 (m 1) x( 1) = o,即 m= 1.答案：17.解析：取点 O0,0)，由OCoA+(1 入)OB，得(x, 5)=入(一1 , 1) + (1 入)(1,3),解得x = 2.x = 一 入 + - 入 ,5 =一入+ 入 I答案：28. 解析：由b / a,可设b= a= ( 2入，3入).设点 B坐标为(x, y)，则 AB一 = (x

5、 1, y 2) = b.-2 入=x - 1, 由3入=y- 2,g y2),aB = (4 , 1).依题意有 aC = (2,2), aE=3 A,x=12 入，y= 3 入 + 2.又B点在坐标轴上，则1 2入=0或3入+ 2= 0,12-入=刁或入=3，代入式得23B点坐标为(0 , 2)或(7, 0).77答案:(0, 2)或(3 0)9. 证明：设E、F的坐标分别为(X1, y"、BC = ( 2,3),- (X1+ 1, y1) = *2,2)点E的坐标为(一1, 2).同理点F的坐标为(f,0),8=(3， 3).又IX ( 1) 4X ( 3) = 0,10. 解：(1)3 a+ b 2c= 3(3,2) + ( 1,2) 2(4,1)=(9,6) + ( 1,2) (8,2)=(9 1 8,6 + 2 2) = (0,6).(2) / a= m+ nc, (3,2) = m 1,2) + n(4,1) = ( m+ 4n, 2m+ n).54n= 3 且 2m n= 2，解得 m= 一,9(3) (a+