理论力学万能解题法

1、理论力学万能解题法（未完手稿，内部资料，仅供华中科技大学本课堂学生参考）郑慧明huiming121212华中科技大学理论力学教研室 序 言理论力学是工科机械、能源、动力、交通、土木、航空航天、力学等专业的一门重要基础课程，一方面可解决实际问题，此外，培养学生对物理世界客观规律内在联系的理解，有助于培育出新的思想和理论，并为后续专业课程打基础。 但其解题方法众多，不易掌握。有时为了了解系统的更多信息，取质点为研究对象，其计算复杂。有时仅需要了解系统整体某方面信息，丢失部分信息使问题计算简单，有时又将局部和整体分析方法结合在一起，用不太复杂的方法获得我们关心的信息。解题方法众多的根本原因是，静力学

2、所有定理都是由5大公理得到，动力学三大定理都是由公理和牛顿第2定理得到。因为这些定理起源有很多相同之处，故往往可用来求解同一个问题，导致方法众多。正是因为方法众多，但因为起源可能相同，对于复杂题目，往往需要列出多个多立方程才能求解。若同时应用多个定理解题时，往往列出线形相关的方程，而他们的相关性有时很难看出来，而却未列出该列的方程，或列方程数目过多，使解题困难，一些同学感到理论力学不好学，感觉复杂的理论力学题目。虽然可以条条大路通罗马，但因为可选择的途径太多，有时像进入迷宫，绕来绕去，不知下一步路如何走，甚至回到同一点，比如用功率方程和动静法列出的方程表面上不同，实际上是同一个，一些学生会感到

3、困惑，因为有些教科书上并未直接说明功率方程可由动静法推导得到，其本质上也是一个力/矩方程。本书的主要目的是帮助那些对理论力学解题方法多样性无所适从的同学，了解各解题方法的内在关联和差异，容易在众多的解题方法中找到适合自己的技巧性不高的较简单方法，而该方法可以推广到一种类型的题目。大学阶段要学的东西很多，为了高效率掌握一门课程的主要思想，对许多题目可能用同一种较合理的方法来解决，也是同学们所期望的，对于理论力学的学习，因为其方法的多样性，这种追求同一性的求知愿望可能更强烈。理论力学所研究的客观物理世界具备多样性和同一性，为这种追求解题方法的同一性提供了可能。故本书判断一种解题方法的优劣及给出的解

4、题方法遵循如下原则：（1）一种解题方法若计算量不大，又可以推广到任意位置、任意力/矩、任意速度、加速度的复杂系统，则本书认为是较好的举一反三的方法。那些只对一道具体题目才使用的方法，虽然简单，但与本书的“同一性”宗旨不一致，我们也不推荐使用，目的使学生通过反复的应用在有限时间内熟练掌握本课程的主要方法。这一点可能与以往一些理论力学教材作者观点不同，他们可能侧重于强调物理世界的多样性和解题方法的多样性。本书主要是用于那些水平不高的学生尽快提高理论力学解题能力，并侧重于对世界同一性的强调。因篇幅有限，本书难以兼顾物质世界多样性与同一性的统一，不适于追求更高解题技巧及解题方法多样性的读者，提请读者注

5、意。（2）对同一类问题，给出如何在众多方法中找到同一种较容易想到的方法求解。（3）优先考虑尽量避免引入不需求的位置量，使所列的方程个数尽量最少，其次，才考虑尽量用一个方程解出一个未知量。前些年，一本“英语万能作文法”风靡一时，成为考研宝典，并引起一些批评。我们认为，“英语万能作文法”对一些英语水平不高者有较大帮助，而本书的目的是希望那些刚接触理论力学的本科生克服“菜鸟”阶段面对理论力学解题方法众多的无所适从，且本书只是一个教学辅导参考书，无需教科书的刻板和严肃，故本书取名为万能解题法，目的是突出其用同一种方法解题的宗旨和思想，并使读者能在众多的理论力学参考书中因为名称的标新立异而投以一点关注的

6、目光，也许你因此发现本书正适合你。正如“英语万能作文法”，专家褒贬不一，但勿庸置疑，它对那些初学水平的学习者，还是非常有帮助。同样，本书命名了一个哗众取宠的万能解题法，其实是言过其实的，也并不适合所有读者，特此说明。本书许多素材是基于已在美国留学的材料06李智宇、机械07章狄等同学根据本课堂内容整理的。对诸多同学在本课程学习过程中所表现的领悟力及浓厚的兴趣，记忆犹新。武汉科技大学力学系李明博士提供宝贵意见，在此表示感谢。因时间仓促、水平有限，难免有错误和不妥之处，敬请指教。华中科技大学理论力学教研室郑慧明2011 年于华工园【卷首提示】：同一道理论力学习题，解题方法众多，容易造成思路混乱，为了

7、使解题思路清晰和简单，并加深对理论力学各原理的优缺点的深刻了解，本书解题出发点遵循如下原则： 尽量用同一种方法解题，优先考虑尽量避免引入不待求的未知量，使得列出的独立方程数目最少。 其次才追求尽量用一个方程即可求出一个待求量（对于动力学问题，用一个方程即可求出一个待求量是不可能的。）。采用此方法，即可容易将不同的复杂的机械系统看成一个类似系统，采用同一种思路分析，这是本书解题思路与众不同的根源。此外，追求尽量用一个方程即可求出一个待求量解动力学问题几乎是不可能的。因为动力学问题往往还要与运动学方程联立才能求解。 解题方法，实际上就是列完方程后，采用不同的解题技巧而已。考虑到学生已学完线性代数，

8、对方程组与解的内在联系有所领悟，故本书不再过分追求如何列不联立的方程。第1章 静力学公式和物体的受力分析一 问题问题1：有哪五大公理，该注意哪些问题？ 答：五大公理（静力学） （1）平行四边形法则（2）二力平衡公理（一个刚体）共线大小相等，方向相反，一个刚体 （3）力系加减平衡原理（一个，刚体）力的可传递性（一个刚体）三力汇交定理 1.通过汇交面 2.共面 （4）作用与反作用力（运动学、变形体） （5）刚化原理问题2：画受力图步骤及应注意的问题？ 答：画受力图方法原则：尽量减少未知力个数，使得在做题的第一步就将问题简化，以后根据力学原理所列的方程数目就少一些，求解就方便一些。步骤：a ）根据要

9、求，选取研究对象, 去掉约束，先画主动力 b ）在去掉约束点代替等效的约束反力c ）用二力轩、三力汇交，作用力与反作用力方法减少未知量个数，应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考。d ）用矢量标识各力，注意保持标识的一致性。对于未知大小，方向的力将它设为Fx ，Fy 再标识出。问题3：约束与约束力及常见的约束（详见课本）物体（系）受到限制就为非自由体，这种限制称为约束，进而就有约束力（约束反力）。 一般，一处约束就有一处约束力。二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。例1由哈工大1-2（k ）改编; 如图，各处光滑，不计自重。 1）画出整体，AC （不带销钉C ）,BC （不带销

10、钉C ）, 销钉C 的受力图； 2）画出整体，AC （不带销钉C ）,BC （带销钉C ）的受力图； 3）画出整体，AC （带销钉C ）,BC （不带销钉C ）的受力图。解法提示：应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考，尽量减少未知力个数。1）由整体利用三力汇交确定F A 方向，则AC （不带销钉C ）可用三力汇交。BC （不带销钉C ）也三力汇交。 （a ） (b (c (d2）由整体利用三力汇交确定F A 方向，则AC （不带销钉C ）可用三力汇交。BC （带销钉C ）不能用三力汇交。具体参考1）3）由整体利用三力汇交确定F A 方向，BC （不带销钉C ）可用三力汇交。AC （带

11、销钉C ）不能用三力汇交。例2如图，各处光滑，不计自重。 1）画出整体，AB （不带销钉B ）,BC （不带销钉B ）, 销钉B 的受力图；2）画出整体，AB （不带销钉B ）,BC （带销钉B ）的受力图； 3）画出整体，AB （带销钉B ）,BC （不带销钉B ）的受力图。解法提示： 1）由B 点的特点，可用三力汇交确定F A 方向。同样，由C 点的特点，可用三力汇交确定F B 方向。 （a ） (b (c (d2），3）当销钉处没有集中力时，带不带销钉都一样，可把销钉处AB 和BC 间的力当作作用力与反作用力。注意，当销钉处有集中力时，则不能如此。例3 如图，求静平衡时，AB 对圆盘c

12、的作用力方向。各处不光滑，考虑自重，圆盘c 自重为P 。 解法提示： 1）由E 点的特点，可用三力汇交确定为DE 方向。 例4 如图. 各处光滑，不计自重。画受力图：构架整体、杆AB 、AC 、BC （均不包括销钉A 、C ）、销钉A 、销钉C 解法提示： 先对整体用用三力汇交确定地面对销钉C 的力方向。依次由af作图。 （a ）(b (c(d (e (f第2章 平面力系的简化和平衡一 问题问题1：本章注意问题有哪些？ 1）找出二力轩 2）约束力画正确3）平面汇交力系：2个方程能且只能求得2个未知量（以下“未知量”用？表示）1n平面力偶系： 1个方程2个？ 2n 平面平行力系：2个方程2个？

13、3n 平面任意力系：3个方程3个？ 4n一个系统总的独立方程个数为：+4321322n n n n 能且只能求得相应数目？任意力学列方程方法 a 一矩式b ）二矩式 y AB 不（力投影轴） c ）三矩式 ABC 不共线注：a ，b ），c ）可以相互推导得出，在推导的过程中会发现这些限制条件，应注意，否则会线性相关。具体对一个问题分析时注意（1）所列方程必须线性无关，局部：方程1；局部 ：方程2方程1+方程2整体方程 是不行的（2）因此尽量选择一个对象列所有的方程，看未知力与方程数差数目再找其他物体列对应方程说明：方程1+方程2整体方程，局部1，与局部2为整体的分离体，其中包含了两者间的内力

14、，相加后消除内力，就推导出整体方程。 问题2：如何取研究对象，如何列方程 答：、原则：（1）尽量列最少数目的方程只包含待求未知量（优先） F尽量让每个方程能解出一个未知量 、解题思路（重要）:a 先整体，看能从3个方程中列几个有用方程，把能求出的未知量当作已知，方便以后分析，但不必具体求出其中的未知量的大小，以后须用到某个未知量，再回头求。 b 从待求量出发，向其周围前后左右，由近及远，延伸到光滑铰链连接点D 处, 对点D 取矩，依次类推。若碰到其他不待求未知量，表明很可能此路不通，不要再从此处突破。一般常用此方法。(本书称为顺藤摸瓜法 。c 若存在n 个闭合回路，一般至少要多补充n 个多余的

15、方程，其中图中那些方向已知的力的信息必须加以利用，比如向其垂线投影。若不用此信息，此题一般无法求解，因为正是此信息才决定该结构不是其他结构，只有解题时体现其特殊性问题才能求解。 、如何用一个方程解一个未知量：（1）向不待求未知量垂线投影 （2）在不待求未知量交点处取矩问题3：平面桁架关键问题有哪些？ 答：解题方法1）-个独立方程能且只能列截面法：平面任意力系个独立方程。能且只能列节点法：汇交力系322）先找出零力杆。3）（从整体 到 局部）先看整体能求出几个未知量（备用）, 找出零力杆 4）再从局部出发，一般先采用截面法。采用截面法应从以下原则入手：a ）一次截出3个未知量（因为平面任意力系最

16、多只能列出3个方程）, 并最大限度包含待求未知量（目的是使方程个数最少）。b ）在使用截面法，截出3个未知量后，若求其中一个未知量，则另2个未知量要么平行，要么相交。则可解出一个未知量尽量一个方程取矩对不待求未知量汇交点影对不待求未知量垂线投 5）注意零力杆判别二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。 （一）平面任意力系例题【例1】如图. 各处光滑，不计自重。结构尺寸如图，C 、E 处为铰接；已知：P = 10 kN ，M = 12 kNm。求A 、B 、D 处的支座反力。 解法提示： 总共5个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程:【DE 杆】EM0=, 【BC 杆】C

17、 M 0=。答案:FD=12KN,FAX=-6KN,FAY=1KN,FBX=2KN,FBY=5KN 【说明】何锃课后习题2.14与此类似解法。【例2】如图. 各处光滑，不计自重。静定刚架尺寸如图所示，作用有分布力和集中力，集中力作用在销钉C 上。 1）求销钉C 对AC 杆的约束力。 解法提示： 总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程即可:【销钉C+BC杆】BM0=, 【AC 杆不带销钉C 】A M 0=。答案:FCAX=-10KN,FCAY=-10KN2）若仅求销钉C 对B C 杆的约束力。与上述类似，【销钉C+AC杆】AM0=,【BC 杆不带销钉C 】BM0=。3

18、）若仅求A 约束力。【AC 杆】CM 0=, 【AC+BC】B M 0=。 4）若仅求B 约束力。【BC 杆】CM0=, 【AC+BC】A M 0=。4）若同时求A 、B 约束力。总共4个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸 瓜）补充1个方程即可:如【BC 杆】CM0=。或【AC 杆】CM0=，有人问，那为什么不可将这几个方程同时列出呢？因为那样将有5个方程解4个未知量，没必要。【说明】哈工大第6版课后习题3-12,3-13,3-26,3-29与此类似解法。 3-29改编:1 仅求A 的约束反力。 解法提示： 总共3个？，按顺藤摸瓜法，尽量不引入不待求未知量，补充3个方程即可:先整体，【AB

19、CD 】DM0=, 再局部【AB 】B M 0=, 【ABC 】C M 0=,2）若仅求B 对AB 约束力。局部，取【AB 】将引入不待求未知量MA, 故【带销钉B+BC杆】CM0=, 【带销钉B+BCD杆】D M 0=.【例3】由何锃例2.7改编; 如图. 均质小车重P ，如图所示放在组合梁ACB 上，BD 杆上作用形状为直角三角形、强度为q 的分布力；杆重不计，求支座A 、D 的反力。 解法提示： 总共5个？，先对整体3个方程, 再从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程，但因为小车与AC 、CB 形成闭合回路，不可避免引入CB 与小车间F K , 故需补充3个方程:【BD 杆】BM0=, 【CBD

20、 】C M 0=。【小车】H M 0=。答案:MA=GL-Ga,FAX=ql/3+Ga/(2L）,FDX= ql/6+Ga/(2L）,FDY= Ga/(2L） 【说明】哈工大第6版课后习题3-11; 何锃课后习题2.11与此类似解法。【例4】结构及其尺寸、载荷如图。已知Q = 1000 N，P = 500 N，力偶矩m = 150 Nm 。 1）求销钉B 对杆BC 的作用力。 解法提示： 总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补 充2个方程即可:【不带销钉B 的BC 杆】CM0=, 【不带销钉B 的BC 杆+轮C+绳+Q+DC杆】DM0=。答案:FBCX=500N,FBCY=5

21、00N.2）若仅求B 对杆BA 的作用力。与上述类似，但须引入FA ，【整体】BM=，局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【不带销钉B 的BA 杆】D M 0=, 【不带销钉B 的BA 杆+ DC 杆】CM0=. 为了得到FA, 。3）若仅求销钉C 对杆D C 的作用力。与上述1 类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BD 杆】D M 0=【BC 杆+轮C+绳+Q】B M 0=。4）若仅求销钉C 对杆B C 的作用力。与上述1 类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BC 杆】B M 0=【DC 杆+轮C+绳+Q】D M 0=

22、。5）若仅求销钉D 对杆DC 的作用力。与上述1 类似，总共2个？，先对整体3个方程没用, 故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【DC 杆】CM0=, 【BC 杆+轮C+绳+Q+DC杆】B M 0=【说明】何锃课后习题2.12与此类似解法【例5】如图. 构架ABC 由三杆AB 、AC 和DF 组成，杆DF 上的销子E 可在杆AB 光滑槽内滑动，构架尺寸和载荷如图示，已知2400 Nm m =，200 NP =，试求固定支座B 和C 的约束反力。 解法提示： 总共4个？，先对整体3个方程, 再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，但因为AEG 形成闭合回路，不可避免引入F E , 故需补充2个方程:【B

23、A 杆】AM0=, 【DF+AC】GM0=。 共5个方程即可。答案:FBX=-325N,FBY=-400N,FCX=325N,FCY=600N 若仅求G 对EF 的作用力？总共2个？，【DF 】3个方程，三个？，故不需对整体，局部【EF 杆】GM=，沿AB方向，F=0.【说明】1 哈工大第6版课后习题3-20与此类似解法。 2）何锃课后习题2.21. 与此类似解法。2.21 物体重12 kNQ =，由杆AB 、BC 和CE 组成的支架和滑轮E 支持如图示，已知2 mAD BD =，1.5 mCD DE =，不计杆与滑轮的重量，求支座A 的约束力以及BC的内力。 解法提示： 总共3个？，先对整体

24、2个有用方程, 尽量不引入F B , 【整体】BM0=, X 0=，再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，【CE 】D M 0=, 共3个方程即可。若仅求D 对CE 的作用力？用两个方程。 【例6】哈工大第6版课后习题3-19: 解法提示： 总共6个？，先整体列2个方程. 顺藤摸瓜，局部，AB可列3个独立方程，再补充1个，【DF 】EM0=。思考：如下解法正确吗？为什么？总共6个？， 因为AB包含所有未知力，取AB可列3个独立方程，还差3个。按顺藤摸瓜法，【整体】C M 0=, 【DF+AC】C M 0=，【DF 】E M 0=。 共6个方程即可。答案:FAX=0,FAY=-M/2a,FDX=0,

25、FDY=M/a,FBX=0,FBY=-M/2a. 【说明】1 哈工大第6版课后习题3-24与此类似解法： 解法提示： 总共5个？， 因为AB 包含所有未知力，取AB可列3个独立方程，还差2个。按顺藤摸瓜法，【整体】EM0=, 【DB 】D M 0=。 共5个方程即可。【例7】 AB、AC 、BC 、AD 四杆连接如图示。水平杆AB 上有铅垂向下的力P 作用。求证不论P 的位置如何，AC 杆总是受到大小等于P 的压力。（只允许列三个方程求解）。 解法提示：求F AC ，但F AC 与AD、AB相关，单独分别取AD或AB，必将引入A 点AD 或AB 的作用力，不能直接求出F AC 。按顺藤摸瓜法，

26、为了不引入A 点AD 或AB 的作用力，故取DAB,则将在点B 、D 、 E引入未知力。而E 点力最多，故【DAB 】EM0=。对引入的F B 、F D ，再次把其当作待求量，按顺藤摸瓜法， 得到【BA 杆】AM0=, 【整体】C M 0=。共3个方程即可。【补充】如何用4个方程求E 处作用力？【解】除了上述2个外，补充【AD 】:AM=;（2）BC;CM0=【思考】:(1如何用4个方程求CB的C 处作用力？（2） 如何用4个方程求AD的A 处作用力？（3）为什么需要4个？答：若仅BC 则1个闭合回路，再加上AD, 则2个闭合回路，外加待求的2个未知力。故需要4个方程。 【例8】 解法提示：

27、总共2个？，但因为DGC 形成1个闭合回路，不可避免引入F B , 故需列3个方程:按顺藤摸瓜法，【DCB 】CM0=, 【DCB+FC】E M 0=，【整体】A M 0=。 共3个方程即可。答案:FDX=37.5N,FDY=75N注：一般串联结构可以几个？就列几个方程；并联结构则可能引入不待求量。【例9】组合结构的荷载及尺寸如图，长度单位为m ，求支座反力及二力杆1，2，3，4的内力。 解法提示： 总共7个？，先对整体3个方程, 可求出支座反力。再从局部（顺藤摸瓜）补充4个方程。因为二力杆1，2，3，4与DE 相关，故取【DE 杆】可列3个方程，再补充一个即可。同样，顺藤摸瓜，取【3，4+C

28、B杆】: CM0=.（二）平面桁架例题 【例1】 解法提示： 按解题套路，先去除CE上部所有的的0杆，DE为0杆（去掉）。【切断AD 、CD 、CF ，取右边部分】：BM0=。答案:FD =2F 【例2】桁架由边长为a 的等腰直角三角形为基本单元构成，已知外力110F = kN，2320F F = kN。求4、5、7、10各杆的内力。 解法提示： 按解题套路，先由整体得到F B , 尽量用最少方程求解。故 整体;0=AM【切断4、5、6，取右边部分】：KM0=得到F4, Y 0=得到F5.【切断6、7、8，取右边部分】：Y 0=得到F7. 【切断8、9、10，取右边部分】：GM=得到F10.答

29、案:F4=21.83KN,F5=16.73KN,F7=-11.83KN,F10=51.83KN.【例3】哈工大第6版课后习题3-38。求1、2、3杆的内力 解法提示： 按解题套路，先去除AE左边所有的的0杆，再尽量用最少方程（3个）求解。故【切断AB 、3、FB ，取上边】：KM=得到F2, 由点F 得到F1,F2.答案:F1=-4F/9,F2=-2F/3,F3=0.【说明】1 哈工大第6版课后习题3-37与此相同。3-34，3-36类似解法：2若求F AB ,F BC ,F3,(何锃课后习题2.17(b,与此类似：求出F BF 和地面对B 点的力后，用节点法即可求得F AB ,F BC 【例

30、2。18何锃】（三）其他题型答：应用合力矩定理求合力作用线方程。【例1】何锃例题2.2. 如图平衡系统中，大小相同的矩形物块AB 和BC 上分别作用力偶1M 、2M ，12M M M =。不计重力，求支座A 、C 的约束力。 解法提示：1 若按一般常规方法，A 、C 点总共4个？，先对整体3个方程, 再对【AB 杆】:BM0=。此方法与以前方法一样，思路清晰，故本书推荐此法。2）方法2:利用二力平衡，确定F A 、F C 方向, 再用力偶平衡理论作。此方法不易想到，仅对特殊题目适用。【例2】合力作用线方程，何锃例题2.4. 如图的平面一般力系由力123, , F F F 和力偶M 组成，已知各

31、力173N F =，2100N F =，3200N F =，汇交点A 的坐标为(5,5，单位为m ，力偶矩400Nm M =。求该力系的合力作用线方程。 解略。三 其他类似典型习题（若读者对上述方法已很熟练，可跳过此部分）（一）平面任意力系（来自哈尔滨工业大学理论力学（第七版）课后题）【1】 3-19 构架由杆 AB ，AC 和 DF 铰接而成，如图 3-19a 所示，在杆 DEF 上作用 1 力偶矩为 M 的力偶。各杆重力不计，求杆 AB 上铰链 A ，D 和 B 受力。解法提示：求杆 AB 上铰链 A ，D 和 B 的共6个未知力，故需列6个方程。 按解题套路，【先整体：3个方程，未引入新

32、的未知量一个Fc 可贡献2个方程，0=CM, 0=X 】，【再AB:3个方程包含所有待求力，未引入新的未知量，均可用】，【再DF:0=EM】【2】 3-20 构架由杆 AB ，AC 和 DF 组成，如图 3-20a 所示。杆 DF 上的销子 E 可在杆 AC 的光滑槽内滑动，不计各杆的重量。在水平杆 DF 的一端作用铅直力 F ，求铅直杆 AB 上铰链 A ，D 和 B 受力。解法提示：求杆 AB 上铰链 A ，D 和 B 的共6个未知力，故需列6个方程。 按解题套路，【先整体：3个方程，未引入新的未知量2个（C 处），可贡献1个方程，0=CM, 】，【再AB:3个方程包含所有待求力，未引入新

33、的未知量，均可用】， 【再DF ：未引入新的未知量1个（F E ），可贡献2个方程:0=EM, (0E F =】【说明】:E处力的方向已给，一般必须利用此信息，否则，题目信息不足，无法求解（在【方法中已提到】） 【2】 3-21 图 3-21a 所示构架中，物体重 P=1 200 N，由细绳跨过滑轮 E 而水平系于墙上， 尺寸如图。不计杆和滑轮的重力，求支承 A 和 B 的约束力，以及杆 BC 的内力 。解法提示：求四个个未知力，故需列4个方程。 按解题套路， 【先整体：3个方程】【再CE+轮E:3个方程包含D 处2个新的未知量，可贡献1个方程：0=DM】【3】 3-26 图 3-26a 所示

34、结构由直角弯杆 DAB 与直杆 BC 、CD 铰链而成，并在 A 处与 B 处用固定铰支座和可动铰支座固定。杆 DC 受均布载荷 q 的作用，杆 BC 受矩为 M = qa 的力偶作用。不计各构件的自重。求铰链 D 受力。 解法提示：求2个个未知力，故需列2个方程。 按解题套路， 【先整体：3个方程, 自身有3个未知力，无用】 【再DC:0=CM】, 【再DCB:0=B M 】【4】 3-28 图 3-28a 所示结构位于铅垂面内，由杆 AB ，CD 及斜 T 形杆 BCE 组成，不计各杆的自重。已知载荷 F 1 ， F 2 和尺寸 a ，且 M = F 1a ， F 2 作用于销钉 B 上，

35、求：（1）固定端 A 处的约束力；（2）销钉 B 对杆 AB 及 T 形杆的作用力。 解法提示：(1若仅求固定端 A 处的约束力，3个个未知力，故需列3个方程。 按解题套路，【AB ：0=BM,【再ABC:0=C M 】, 【再ABCD:0=D M 】(2若仅求销钉 B 对杆 AB 杆的作用力，2个未知力，故需列2个方程。 按解题套路，顺藤摸瓜。【AB ：0=AM, 不行，因为A 处有无法消除的未知力偶矩M,故【销钉B+BC:0=C M 】, 【再销钉B+BC+CD:0=D M 】(3若仅求销钉 B 对T 形杆的作用力，2个未知力，故需列2个方程。 按解题套路，【BC(无销钉B:0=CM】,

36、【再BC+CD(无销钉B:0=D M 】【5】 3-29 图 3-29a 所示构架，由直杆 BC ，CD 及直角弯杆 AB 组成，各杆自重不计，载荷分布及尺寸如图。销钉 B 穿透 AB 及 BC 两构件，在销钉 B 上作用 1 铅垂力 F 。已知 q ，a ， M ，且 M = qa 2 。求固定端 A 的约束力及销钉 B 对杆 CB ，杆 AB 的作用力。解法提示：(1若仅求固定端 A 处的约束力，3个个未知力，故需列3个方程。 按解题套路，【AB ：0=BM,【再ABC:0=C M 】, 【再ABCD:0=D M 】(3若仅求销钉 B 对杆 AB 杆的作用力，2个未知力，故需列2个方程。

37、按解题套路，顺藤摸瓜。【AB ：0=AM, 不行，因为A 处有无法消除的未知力偶矩M,故【销钉B+BC:0=C M 】, 【再销钉B+BC+CD:0=D M 】(2若仅求销钉 B 对CB 形杆的作用力，2个未知力，故需列2个方程。 按解题套路，【BC(无销钉B:0=CM】, 【再BC+CD(无销钉B:0=D M 】说明：可以看出，按本文的解题思路，此题解法与上题几乎完全一样。【6】 3-30 由直角曲杆 ABC ，DE ，直杆 CD 及滑轮组成的结构如图 3-30a 所示，杆 AB 上作用有水平均布载荷 q 。不计各构件的重力，在 D 处作用 1 铅垂力 F ，在滑轮上悬吊一重为 P 的重物，

38、滑轮的半径 r = a ，且 P = 2F ， CO = OD 。求支座 E 及固定端 A 的约束力。说明：可以看出，该题实际上就是前文【例3】演变而来。方法自然同【例3】。实际上，读者只需作几道典型问题，其他题目进图形表面不同而已，按本文的扥分析思路，将发现其实际是相同的。如上述几题。 前文例3图 【7】 3-31构架尺寸如图 3-31a 所示（尺寸单位为 m ），不计各杆的自重，载荷 F = 60 kN 。 求铰链 A ，E 的约束力和杆 BD ，BC 的内力。解法提示：6个未知力，列6个方程即可。【整体】、【AB 】、【EC 】，每个均可列3个方程，3选2即可。【说明】(1若仅求杆 BD

39、 ，BC 的内力，2个未知力，故需列2个方程。 按解题套路，【AB ：0=AM,【再EC:0=E M 】【8】 3-32构架尺寸如图 3-32a 所示（尺寸单位为 m ），不计各构件自重，载荷 F 1 = 120 kN ， F 2 = 75 kN 。求杆 AC 及 AD 所受的力。解法提示：2个未知力，列2个方程, 但因为闭合回路，且D 处力方向一致，一般需利用，故列3个方程。【整体：0=AM】, 【AD+AC+CD：0=C M 】, 【AD+AC+CD+BC：0=B M 】, 【9】 3-32构架尺寸如图 3-32a 所示（尺寸单位为 m ），不计各构件自重，载荷 F 1 = 120 kN

40、， F 2 = 75 kN 。求杆 AC 及 AD 所受的力。解法提示：2个未知力，列2个方程, 但因为闭合回路，且D 处力方向一致，一般需利用，故列3个方程。【整体：0=AM】, 【AD+AC+CD：0=C M 】, 【AD+AC+CD+BC：0=B M 】,（二）平面桁架（来自哈尔滨工业大学理论力学（第七版）课后题）【1】 3-19 构架由杆 AB ，AC 和 DF 铰接而成，如图 3-19a 所示，在杆 DEF 上作用 1 力偶矩为 M 的力偶。各杆重力不计，求杆 AB 上铰链 A ，D 和 B 受力。解法提示：求杆 AB 上铰链 A ，D 和 B 的共6个未知力，故需列6个方程。 按解

41、题套路，【先整体：3个方程，未引入新第3章 空间力系的简化和平衡一 问题问题1：本章应注意问题有哪些？ 答：力偶的合成方法；空间力系最终简化结果； 力螺旋；如何选取合适的轴对其取矩 问题2：一般解题方法是什么？答：a 对轴而不是对点取矩（说明：平面问题的对点取矩实际上也是对轴取矩）b 选取轴AB 的原则二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。 【例1】力对任意轴的矩问题。何锃例题3.3.长方体各边长分别为0.2 m, 0.1 ma b c =，沿对角线AB 作用的力F =。求力F 对轴 之矩。解：因为 轴通过O 点，因此我们先求力F 对O 点之矩( O M F 。A 点；未知力最多的汇交

42、点，B 点： B点为其他未知力最多的汇交点或AB ，使其他未知力最多的与AB 平行0.20.10.1 201010AB F AB =-+=-+F i j k i j k 0.20.1OA =+i j 力F 对O 点之矩为( 0.20.120101024O OA =-=-+ij k M F F i j k因此，力F 对轴 之矩为( ( Nm5O O OC M OC =+=M F M F i k 【例2】求合力偶问题问题。何锃课后习题3.7.将图示三力偶合成。已知123456100 NF F F F F F =，正方体每边长1 mL =。 解法提示：1 若按一般万能方法，无论力偶在何任意面上，通过

43、平面3点坐标，得到平面的平面方程，由此得到该平面的法向单位矢量i ，则该平面的力偶矩i i i =±。再将各i 的各分量相加即可。 比如OAB 平面，由 得到OAB 平面方程Ax+By+Cz+D=0,则 OAB 的顺序，用右手安培定则确定。2）具体针对此题，用空间解析几何的其他方法将更简单。但因为上述方法对任意力偶合成均适用，故推荐使用此法。【说明】何锃课后习题3.8，3.113.13，解法与此类似。【例3】空间力系平衡问题。哈工大第6版例题4-10. 已知各尺寸，求F4,F5,F6.F1,F2,F3. 解法提示：1）根据解题方法，因为A 点不待求未知量最多，故先确定A 点，则1，2

44、，3的力矩为0。再确定B 点，4，5的力矩为0，故对AB ：ABM0=得到F6. 类似找到AE ，AEM0=，得到F5。AD M 0=，得到F6。尽量依次选用x,y,z 三个方向，这样不容易遗漏，且计算力臂简单，尽量避免对AF 之类取矩，那样力臂计算复杂。2）A 点使用完后，再找不待求未知量第2多点，有几个，选取F 点，尽量依次选用x,y,z 三个方向，即可求得F1,F2,F3.实际求得3个力后，用x,y,z 三个方向力的投影即可求得另外3个力。不过，本书推荐全部使用对轴取矩法。【说明】何锃课后习题3.16，哈工大第6版课后习题4-18，4-19，4-20. 解法与此类似。【】 4-20 2

45、个均质杆 AB 和 BC 分别重 P 1 和 P 2，其端点 A 和 C 用球铰固定在水平面上，另1 端 B 由球铰链相连接，靠在光滑的铅直墙上，墙面与 AC 平行，如图 4-20a 所示。如 AB 与水平线交角为 45°， BAC = 90 求 A 和 C 的支座约束力以及墙上点 B 所受的压力 第4章 摩擦一 问题问题1：本章难点是什么？ 答：1）自锁问题2）解题方法对非临界状态，把摩擦力当未知力，用任意力力系方法求解即可 先排除不可能的临界状态列出的即将动的临界状态 对每一种基本组合，在假设的运动状态下确定达到临界状态的面的摩擦力的方向和大小，其他的未假设的面上摩擦力大小及指向

46、与正压力无关，当作未知量（大小，指向均未知） 问题2：解摩擦问题的解题思路是什么？ 解题步骤：一、若选取对象只在3点处受力（结合三力汇交定理），则可用几何法（应用摩擦角），否则用解析法； 二、用解析法解题步骤1先看系统总共有多少个未知量n 1，及能列出多少个独立方程n 22若=12n n 非临界状态，用任意力系方法做（把摩擦力当作与正压力FN 无关的量） 3若121=-n n ，则需补充一个方程（能且只能）（即使存在多个摩擦面） 补充方程来源 4其中一个摩擦面达到临界存在4种可能（摩擦力向左、右，滚阻为逆时针、顺时针）。 考虑4种可能之前，排除不可能情形 5差2个方程时，列出所有基本, 可能的

47、两两组合后， 先一个摩擦面 两个摩擦面 列出所有可能 的临界状态组合 基本理论直觉a 排除不可能组合b 确定摩擦力方向滚阻6若集合b 已被集合a 包含，则不考虑集合b, 仅讨论集合a 即可。 9再对剩下的组合根据假设，在假设的摩擦力方向下，一一求解即可。二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。【例1】利用摩擦角解题。 哈工大第6版课后习题5-6. 何锃课后习题4.1.3。 若楔子两侧面与槽之间的摩擦角均为s ，则欲使楔子被打入后而不致自动滑出，角应为多大？ 解法提示：利用摩擦角。答案：2s 【说明】何锃课后习题4.7解法与此类似。 【例2】应用解析法解题。 何锃课后习题4.9。均质长方体

48、A ，宽1m 、高2m 、重10 kN，置于30的斜面上，摩擦系数8. 0=f ，在长方体上系一与斜面平行的绳子，绳子绕过一光滑圆轮，下端挂一重Q 的重物C ，求平衡时重量Q 的范围。 解法提示：按照上述解析法解题步骤1先看系统总共有多少个未知量n 1，及能列出多少个独立方程n 2A 处：2个，绳：1个，轮B ：2个，+Qc,共计6个。方程：A 处：2个，轮B ：3个。故尽管有2个摩擦面，但仅需由摩擦条件补充1个临界方程。2补充1个临界方程来源：A 处：（E 处摩擦力任意，A 摩擦力到临界，但只能向左，有F As =fFAN ）. (第1种可能 E 处：（A 处摩擦力任意，E 摩擦力到临界，可

49、能向左，可能向右。F Es =fFEN ）.(2种可能 在这3种可能中，第1种可能已包含了：E 摩擦力到临界，向左。故知讨论2种基本的可能临界了。在所假设的临界条件下，补充一个摩擦力与正压力关系方程即可求解了。其求解方法仍同静力学，尽量不要引入新的未知量，尽量用1个方程即可求出一个未知量。 3）至于B 可能脱离地面情况，对B通过对K 取矩，即可排除这是不可能的。4）A 、E 处摩擦力同时达到临界的情形，必然包含于上述2种基本情形之中。不用单独讨论。 【具体解法】：1）A 摩擦力到临界，向左，有F As =fFAN （1） 整体:EM 0=. 在对A 求出F AN . 即可求得Q 。2）E 摩擦

50、力到临界，向右，有F Es =fFEN 整体:AM0=.整体除去A 的剩余部分:kM0=. 即可求得Q 。3）比较大小，得到范围。【说明】1）何锃课后习题4.10解法与此类似。 何锃课后习题4.10圆柱重G ，放在倾角30=的斜面上，由一直角弯杆挡住，如图所示。圆柱各处摩擦系数均为f ，不计杆重。求向上拉动弯杆所需的最小力min P 解法提示：按照上述解析法解题步骤 1系统仅需由摩擦条件补充1个临界方程。 2补充1个临界方程来源：A 处：（B 处摩擦力任意，A 摩擦力到临界，依题意只能向上，有F As =fFAN ）. (第1种可能 B 处：（A 处摩擦力任意，B 摩擦力到临界，只能向下。F

51、Es =fFEN ）.(第2种可能在这2种可能中，互不完全包含。故要分别讨论。其求解方法仍同静力学，尽量不要引入新的未知量，尽量用1个方程即可求出一个未知量。【具体解法】：1）A 摩擦力到临界，向上，有F As =fFAN （1） 轮C:BM0=.(2AD:X 0=.(3 得到P1.2）B 摩擦力到临界，向下，有F bs =fFbN （1） 轮C:AM0=.(2整体:X 0=.(3 得到P1.3）比较大小，得到范围。2）哈工大第6版课后习题5-15，对轮C ，分别利用对地面、AB 与C 的接触面取矩，从而确定出各摩擦面的摩擦力方向后，剩下的临界可能性就少多了。哈工大第6版课后习题5-18，解法

52、与此类似。【例3】应用解析法解题。 何锃课后习题4.9。 *5-15 重为 P 1 = 450 N 的均质梁 AB 。梁的 A 端为固定铰支座，另 1 端搁置在重 642 F F s ' 1 = 240 NW 2 = 343 N 的线圈架的芯轴上，轮心 C 为线圈架的重心。线圈架与 AB 梁和地面间的静滑动摩擦因数分别为 f s1 = 0.4 ， f s2 = 0.2 ，不计滚动摩阻，线圈架的半径 R = 0.3 m ，芯轴的半径 r = 0.1 m 。在线圈架的芯轴上绕 1 不计重量的软绳，求使线圈架由静止而开始运动的水平拉力 F 的最小值。 解法提示：按照上述解析法解题步骤1先看系

53、统总共有多少个未知量n 1，及能列出多少个独立方程n 2 尽管有2个摩擦面，但仅需由摩擦条件补充1个临界方程。 2补充1个临界方程来源：D 处：（E 处摩擦力任意，D 摩擦力到临界2种可能. 但对轮C:对E 点取矩，排除了摩擦力向左。（第1种要讨论的情形）E 处：（D 处摩擦力任意，E 摩擦力到临界2种可能. 但对轮C:对D 点取矩，排除了摩擦力向右。（第2种要讨论的情形）3 .故只需讨论2种情形。在第1种要讨论的情形中，为了不引入E 处2个未知力，【轮C:0=EM】【AB:0=A M 】，再补充D 处摩擦条件方程即可。在第1种要讨论的情形中，为了不引入D 处2个未知力，【轮C:0=DM】【整

54、体:0=A M 】，再补充E 处摩擦条件方程即可。第5章 点的运动学和刚体的基本运动 一 问题问题1：点的运动的主要知识点是什么？ 答：直角：22( (y x y x y x a a a a a v v t y y t x x += 矢径：dtrd V =弧坐标：222 (, (t n t n t a a a pV a dt t dv a dtdsV +=问题2：点的运动难点是什么？答：如何由X(t,Y(t求t 时刻曲率半径。 切向加速度，全加速度 问题3 刚体简单运动1）平动：在同一瞬时，各点a v, 一样，且0,0=w ，在其他任意时刻，尽管a v, 可能与上一时刻不同，但在同一时刻，各点a v, 一样，且0, 0=w ，机构特点为平行四边形。而瞬时平动，仅在此瞬时，各点v一样，且0=w 。机构特点:只要此时某一刚体上有两点的速度平行，且与两点连线不垂直。2）定轴：=2Rw a R a wR V n t 矢量表示法A r W A V =（A r 起点必须为为 向量上任一点）W二 典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。【例1】由X(t,Y(t求t 时刻曲率半径。 哈工大第6版例题6