分数维布朗运的动与金融衍生品定价

1、分数维布朗运动与金融衍生品定价【摘要】 本文介绍分数维布朗运动的基本性质，建立在分数维布朗运动基础上的随机积分，以及股票价格由分数维布朗运动驱动情况下的欧式期权定价问题。【关键词】分数维布朗运动、随机积分、Wick积，欧式期权 经典的金融市场衍生品定价理论建立在标准布朗运动和Itô随机积分的基础上，已经建立了较为完善的理论体系，得到了大量具有理论和实际价值的结果。标准布朗运动的典型特征是具有独立增量，对应于Hurst指数等于0.5；但是实际数据的实证结果显示，股票价格的变动不具备独立增量特性，实际中股票价格的Hurst指数常常大于0.5。为使理论更加贴近实际结果，有必要以分数维布朗运

2、动为出发点，研究金融市场衍生品定价问题。一、分数维布朗运动定义及性质定义1.1 ，一个Hurst指数为H的分数维布朗运动（fBM）为一个连续的中心化的高斯过程，且满足如下条件：.特别的，当H=1/2时，是标准布朗运动。定义1.1*（fBM的积分表示）为标准布朗运动，为gamma函数，则是一个Hurst指数为H的分数维布朗运动。分数维布朗运动的统计性质：1. ，且，.2. 与同分布.3. 是高斯过程，且.4. 的轨道连续。5. H>0.5时，与正相关；H=0.5时，与独立；H<0.5时，与负相关。进一步，令，则fBM路径的图示H=0.1，fBM的路径（具有负相关性）H=0.5，fBM

3、（即标准布朗运动）的路径H=0.8，fBM的路径（具有正相关性）H=0.1,H=0.5,H=0.8，fBM的路径二、分数维布朗运动的随机积分和相关结果依照不同的定义方式，分数维布朗运动上可以不同的随机积分，不同的积分定义适用于不同的情况，对同一问题使用不同的积分定义，得到的结果也不尽相同。分数维布朗运动的随机积分分别有Wiener型积分、路径（Pathwise）积分和Wick Itô Skorohod型积分（简称Wick型积分）等，金融数学中广泛用到的是Wick Itô Skorohod型积分，该积分可以看做是经典Itô积分在fBM上的推广。本文主要介绍Wick

4、Itô Skorohod型积分1. Wick积与Wick Itô Skorohod型积分令是一个简单函数，关于分数维布朗运动的随机积分定义为是一个确定性函数，存在一列简单函数收敛于，关于分数维布朗运动的随机积分定义为Gripenberg和Norros（1996）得到如下结果：（*）定义一个二元函数，在确定型函数构成的空间上定义一个子空间，记为。上定义范数，内积，可以证明，在上述定义下构成一个Hilbert空间。于是（*）可写成Gripenberg和Norros（1996）得到如下结果：是一个均值为0，方差为的正态随机变量。下面引入概率空间，p可积的（）随机变量空间记为。Du

5、ncan（2000）证明了对于，随机变量可以被确定性函数的Wick指数的线性组合任意精度逼近，Wick指数的定义如下Wick指数有如下性质：1.，因为是一个均值为0，方差为的正态随机变量。2.3.，特别的.Duncan（2000）借助Wick指数隐式的定义了Wick积“”：Wick积具有如下性质：1.2.3.4.5.6.其中是的Malliavin微分。Wick型Riemann和记为，为0,T上的划分。随机过程关于Wick Itô Skorohod型积分定义为进一步得到第二个式子称为“分数维的Itô等距”。分数维Stratonovich型积分定义为Duncan（2000）证明

6、了Wick积分和Stratonovich积分之间具有如下关系：，其中是的Malliavin微分。关于有如下结果1.2.3.（为标准布朗运动）.2. 分数维形式的Itô公式和Girsanov定理分数维形式的Itô公式令F,G是满足一定条件的随机过程，对于随机过程，函数有如下等式成立特别的时，分数维形式Girsanov定理 首先定义算子，是一个确定性函数 其中在测度下随机过程Y具有如下表示：存在测度，使得Y在测度下具有如下表示：其中是测度下的Hurst指数为H的fBM。关于的Radon-Nikodym导数为三、分数维布朗运动在衍生品定价中的应用分数维布朗运动情况下的套利分析1.

7、 使用路径积分现有两项资产，无风险资产和风险资产，不妨设；构造投资组合，称为“自融资的”，如果下面令于是根据路径积分的定义可计算出因此是一个“自融资”的投资策略，但是，始终可以保持正的收益，所以市场存在套利。2. 使用Wick型积分现有两项资产，无风险资产和风险资产，由Wick型分定义可以计算出构造投资组合，称为“自融资的”，如果下面令Bender（2003a）证明了，和使用路径积分一样，是一个“自融资”的投资策略，但是，始终可以保持正的收益，市场存在套利。3. 将资产组合推广成Wick型沿用上面的记号，构造新的资产组合，称为”Wick自融资的”，如果现假设是Wick自融资的，于是定义，由分数

8、维的Girsanov定理，存在测度使得为该测度下的fBM。于是，在测度下由分数维的Itô公式可得由0到T积分得到在测度下两端同时求期望由无套利理论可知是无套利的。进一步，Hu和Øksendal（2003）证明了此时的市场是完备的。分数维情况下的欧式期权定价记现在为0时刻，一份欧式看涨期权的期限是T，敲定价格为K，利率为r，股票收益率为，波动率，股价的Hurst指数为H，0时刻股价为，股价服从几何分数维布朗运动该期权t时刻的价格记为，和经典BS市场不同，这里的定价测度不唯一，定价测度的选择依赖于投资者的风险暴露情况，Sottinen和Valkeila（2003）建议使用“平均

9、风险中性测度”Q，在该测度下的条件分布是正态的，均值和方差分别是其中直接对求期望，经过和经典的欧式看涨期权相同的推导过程得到其中同样的可以得到欧式看跌期权的定价特别的，当时，上述结果等于经典的结果。看涨看跌平价公式成立看涨期权的希腊值：特别的，当时，上述结果收敛于经典的结果。【参考文献】1.Bender,C.(2003a):Integration with respect to Fractional Brownian Motion and Related Market Models.University of Konstanz,Department of Mathematics and Sta

10、tistics：Ph.D.thesis。2.Bender,C.(2003b):An S-transform approach to integration with respect to a Fractional Brownian Motion,Bernoulli 9(6),p.955-983.3.Bender,C.(2003c):An Itô Formula for Generalized Functionals of a Fractional Brownian Motion with arbitrage Hurst Parameter,Stoch Proc Appl 104,p.

11、81-106.4.Bender,C.,Elliott,R.J.(2004):Arbitrage in a Discrete Version of the Wick Fractional Blak-Scholes Market.Math Oper Res 29,p.935-945.5.Bender,C.,Sottinen,T.,Valkeila,E.(2006):Arbitrage with Fractional Brownian Motion?,Theory of Stochastic Process 12(28).6. Gripenberg, G., Norros, I. (1996): O

12、n the prediction of Fractional BrownianMotion, J Appl Probab 33, p. 400410.7.Hu,Y., Øksendal,B.(2003):Fractional White Noise Calculus and Applications to Finance,Infin Cimens Anal Qu6(1),p.1-32.8.Norros,I.,Vlkeila,E.,Virtamo,J.(1999): An elementary approach to a Girsanov formula and other analytical results on fractional Brownian motion,Bernoulli 5, p. 571587.9.Rostek,R.(2010