非线性传染病模型的全局属性

1、非线性传染病的全局属性（译文节选）信息科学与工程学院 自动化1003班杨礼池 作 页码：18731877我们一起进入敏感宿主族群,感染群和恢复的人群,并指示那些在人群中被S、I、R独自地分开的一小部分人（这里S+I+R=1）。我们假设感染后个人从易感人群移动到感染人群，然后进入恢复室。如果恢复意味着永久免疫力, 那么复原的个体依然存留在治愈区间里；一个基于这些假设的众所周知的模型就是SIR模型。如果所有的人开始时都在易感区间，疾病的传播的发生率是由一个f (S,I)的函数确定，那么这个基本的SIR模型就是：S= f (S,I) S,I = f (S,I) I , (1) R= I R.这里，

2、= +是恢复率和死亡率之和。如果传输速率f并不取决于变量R,那么关于第三个方程关于人口的恢复是可以被忽略掉的。 当然, 当所有的S, I 0, 并且 f (0, I) = f (S, 0) = 0的时候，一个生物性可行的发病率f(S,I)是一个绝对的单调递增函数。仅仅从生物角度考虑这些情况的出现的话，我们的分析表明我们将进一步证明他们是不需要的。我们也假设这个函数当S,I0时连续、可导。很多传染病在被感染个体成为传染源之前就已经消殆了。去考虑这种潜在的情形得最简单的方式是增加一个额外的种类,一种向系统暴露主体的类型。现在让我们假设，在人群中S,E,I,和R是独立的易感的、暴露的、感染的和恢复的

3、主体的一小部分；在这里，S+E+R+I=1恒成立；并且平均的潜在情形的持续性为1/,而且疾病的传播的发生率是由一个f (S,I)的函数确定。所以，基本的SEIR模型就是：S= f (S,I) S, E= f (S,I)( +)E, (2)I = E I.R = I R,这是关于恢复人群的等式，是可以忽略的。生物的自然状况函数：f(0, I) = 0 确保了那些系统总是有当S= 1,E = I = 0 同时成立时“传染自由”的平衡态情形 Q。除了这种平衡状态,这些系统也有也有特殊性（积极）的，就像如下等式一样的平衡情形：S = f (S,I) = ( + )E = BI, (3)在SIR模型中B

4、=1,并且在REIR模型中B=( + )/时，符合以上的情形。对于去验证(S,E, I) 0 (S, I ) 0的象限)关于系统（1）的卦限位置，它也是有用的。现在,我们继续分析这些模型的全局特征。 3.模型的全局特性 那些模型的全局反应关键在于基本的复制的数量，并且那是一个被单一感染源引入完全易感人群而产生的第二因数的平均数。对于SIR和SEIR模型而言，基本的复制数量是： 下列定理为系统1和系统2的确定的平衡情形的存在提供了完全的条件。定理3.1 让函数 f(S,I) 单调地增长达到S，并且当时，。如果成立，命名为1和2系统就会有确定的平衡情形。 证明：系统1和系统2在固定点上的等式为：就

5、如上面所知，SIR模型中B=1或者SEIR模型中保持着这样的特性。上述等式定义了一条倾斜的直线q1和一条曲线q2在IS平面上；根据隐函数定理、函数f(S,I)的单调性以及关于那些等式所确定的函数S=h(I)的第二性质，曲线2就是该函数的图像。这个函数是确定的、存在的、当时它还是连续的、或者在该区间内能达到无穷大的函数。关于另一种情形，无论如何，明显的是，当成立时，曲线q1和q2至少有一个交点。根据理论的假设，如果 （4） 则成立。 3.1 关于的自由感染平衡态的全局稳定性 值得注意的是，如果f(s,0)=0，自由感染平衡态总是存在的。理论3.2 当时，让且当时， （5），得如下的函数图像： 直

6、线q1和曲线q2并且所有的I0时， （6）。当然，若，函数将没有确定的平衡态，自由感染平衡态也是全局的渐进地平衡。证明：我们考虑一个函数：这里，是很小的不确定的参数，在SEI模型中A=0，B=1或SEIR模型中A=1，。易知U(S,E,I)在达到它的全局最小值，因此，U(S,E,I)是一个李雅普诺夫函数。对于SIR模型和SEIR模型而言，李雅普诺夫函数满足：由李雅普诺夫函数的结论可得：当成立时，成立。只有当时严格地相等，并且：因此，当所有的时，能保证；当时，成立。容易证明，自由感染平衡态在系统的平面上是一个固定的点，因此，由李雅普诺夫-拉瑟尔渐进稳定理论知，当和时，平衡态达到全局性的渐进稳定。

7、这个描述我们可以推论到整个负区间考虑：E,I平面在横向逐渐变化，区间内部也跟着变化，并且不含不变量，使得0。李雅普诺夫函数的衍生函数在平衡态时一定等于0.在平面上，当时，是一个确定点，系统除了点外，不会达到平衡。3.2 积极特有的平衡态的稳定性和独立性现在我们假设系统有一个肯定的平衡态，比如以下的公式：和 （7）都属于平衡状态。定理3.3 使得系统1与系统2有肯定的平衡态：比如： 与 （8）和 与 (9)对于这些函数，肯定的平衡态是独特的且在处有全局性的渐进稳定性（n=2或3）。证明：我们考虑下面的函数：(10)其中，系统1 B=1，C=0;或系统2,C=1。当S且E,I0时，函数被定义为连续的，且满足：。易知：点是函数的一个不动点；再由式8知，它也是函数的全局性最小